湖南省益阳市沅江市共华中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省益阳市沅江市共华中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.在函数为常数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为( )
A. B. C. D.
4.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. I与R的函数表达式是
C. 当时，
D. 当时，则
5.河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义.其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示.观察图象，下列说法不正确的是( )
A. 当没有粮食放置时，的阻值为
B. 粮食水分含量为时，的阻值为
C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
6.下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如果2是方程的一个根，则常数k的值为( )
A. 1B. 2C. D.
8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
9.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
10.某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.将一元二次方程通过配方转化成的形式为常数，则______，______.
12.关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为______.
13.对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的是______.
14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给____个人.
15.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为______.
16.若函数是反比例函数，则m的值是__________.
17.如图，点在双曲线上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点若，则点C的坐标是______.
18.已知两个反比例函数，，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且，则的解析式为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题7分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点
求反比例函数的解析式；
将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点B，与y轴交于点C，且的面积为，求直线BC的解析式．
20.本小题7分
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象.结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数
当时，；当时，；则______，______.
在的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点，，且，则m的取值范围；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是______.
21.本小题8分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第四象限，轴.
求k的值；
以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积.
22.本小题8分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接OA，OB，求的面积；
直接写出关于x的不等式：的解集.
23.本小题9分
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为亿元．
求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过亿元？
24.本小题9分
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过A、B两点，且对称轴为直线
求抛物线的表达式；
如果点Q是这抛物线上位于x轴下方的一点，且的面积是求点Q的坐标．
25.本小题9分
已知关于x的方程
若这个方程有两个相等的实数根，求a的值；
若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根．
26.本小题9分
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元/千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
求千克与元/千克之间的函数表达式；
为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C.，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选：
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：，
函数为常为常数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
故选：
先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：正比例函数和反比例函数的一个交点为，
另一个交点与点关于原点对称，
另一个交点是
故选
根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数和反比例函数的另一个交点与点关于原点对称．
本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
4.【答案】D
【解析】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
故选：
根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解．
本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意；
C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意．
故选：
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
本题主要考查了从函数图象获取信息，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
由已知方程得到，属于一元一次方程；
方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程；
不是整式方程，不是一元二次方程．
故选：
一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得关于k的方程，然后解关于k的方程即可．
【解答】
解：是一元二次方程的一个根，
，解得
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为
【解答】
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且
且，
故选：
9.【答案】D
【解析】解：由题知，
，
所以一元二次方程可化为，
即
故选：
利用配方法对所给方程进行变形即可．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为吨，2014年的产量为吨，
根据题意，得，
故选：
2014年的产量年的产量年平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键．
11.【答案】4 3
【解析】解：，
，
则，即，
、，
故答案为：4、
依据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12.【答案】1
【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得，，
又，
的最小整数值为1，
故答案为：
根据题意可以得到，又因为，从而可以解答本题．
本题考查根的判别式、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13.【答案】①②④
【解析】解：①当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么①一定正确．
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程的一个根，得当，则；当，则不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由，得由是一元二次方程的根，则成立，那么④正确．
综上：说法正确的有①②④．
故答案为：①②④．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
14.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：设每次降价率为x，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去
故答案为：
设每次降价率为x，根据原价及警告过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：若函数是反比例函数，
则，
故答案为：
形如为常数，的函数叫做反比例函数，也可以写成为常数，，据此解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟知其定义是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：点在双曲线上，
双曲线解析式为
如图，作轴，轴，作，垂足分别为D、H、
，
，
，
点的横坐标为
又C在双曲线上，
故答案为：
由题意，点，则，同时可得双曲线解析式，再作轴，作，可得，又，再结合双曲线解析式可以得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
18.【答案】或
【解析】解：当B在A的右边时，如图1，
过A作轴于C，过B作轴于D，
，
∽，
，
，
，
，
的解析式是，
当A在B的右边时，如图2，
过A作轴于C，过B作轴于D，
，
∽，
，
，
，
的解析式是，
故答案为或
过A作轴于C，过B作轴于D，则∽，得出，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出结果．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
19.【答案】解：直线过点，
，解得，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为；
设直线BC的解析式为，
连接AC，由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，且的面积为，
的面积，
，
，
直线BC的解析式为
【解析】将A点坐标代入直线中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；
根据直线的平移规律设直线BC的解析式为，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为列出方程，解方程求出，即，进而得出直线BC的解析式．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：把，代入得，，
，
把，代入得，；
故答案为：3，6；
①，
故可作图如下：
②是函数图象上的点，
，
，
，
由函数图象知，当时，，
在函数图象上，
，
故m的取值范围为：；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是，
故答案为：；
将，；，分别代入函数和得关于a和b的二元一次方程组，解方程组得a和b的值；
①根据解析式的特点画出函数的图象即可；
②由①中函数图象可直接得出的取值范围．
③由①中函数图象可直接得出的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．
21.【答案】解：点在直线上，
，
即点A的坐标为，
点是反比例函数的图象与正比例函数图象的交点，
，
即k的值是2；
由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
，
点，
，
菱形ABCD是以AB、BC为边，且轴，
，
菱形的面积
【解析】根据点在上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，即可求得k的值；
因为B是反比例函数和正比例函数的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标；然后利用菱形的面积计算公式解答即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：反比例函数的图象过点和点，
，
，
，
，，
把A、B的坐标代入得，
解得，
一次函数为，反比例函数为；
令，则，
解得，
，
；
观察图象，关于x的不等式：的解集为或
【解析】利用待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据求得即可；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
23.【答案】解：设这两年该企业年利润平均增长率为根据题意得
，
解得，不合题意，舍去
答：这两年该企业年利润平均增长率为
如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：
，
答：该企业2019年的利润能超过亿元．
【解析】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
设这两年该企业年利润平均增长率为根据题意得，解方程即可；
根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．
24.【答案】解：直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
则点A、B的坐标分别为：、，
对称轴为直线，则函数与x轴另外一个交点为：，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
过点Q作x轴的垂线交AB于点P，
设点，点，
的面积，
解得：或4，
故点Q的坐标为：或
【解析】点A、B的坐标分别为：、，对称轴为直线，则函数与x轴另外一个交点为：，即可求解；
过点Q作x轴的垂线交AB于点P，的面积，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
25.【答案】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
即或；
解：设方程另一根为，
由题意得，，解得，
，
即a的值为，另一个根为
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于a的方程，解方程即可得到结论；
设方程另一根为，根据根与系数的关系先利用两根之积求出，然后利用两根之和求出
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，
26.【答案】解：设y与x之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，解得：
与x之间的函数表达式为
由题意得：，
整理得：，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
设当天的销售利润为w元，则：
，
，
当时，
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．销售单价元/千克
55
60
65
70
销售量千克
70
60
50
40