[数学]湖北省十堰市郧阳区2024届高三下学期5月月考试题(解析版)

这是一份[数学]湖北省十堰市郧阳区2024届高三下学期5月月考试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
3. 展开式中的系数为（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】A
【解析】若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
4. 已知是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等比数列an的公比为，因为，所以，
得到，所以，由，得到，
所以，
故选：C.
5. 某单位设置了a，b，c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙的工资比b档高，丙领取的不是b档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（ ）
A. a，b，cB. b，a，cC. a，c，bD. b，c，a
【答案】B
【解析】由丙领取的不是b档工资，乙的工资比b档高，
可得只有甲领取的是b档工资；
又由甲的工资比c档高和乙的工资比b档高推出乙只能领取档工资；
而从甲、乙、丙三人工资各不相同可推出丙只能领取c档工资；
所以甲、乙、丙领取的工资档次依次为b，a，c.
故选：B.
6. 三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A. B. C. 18D. 36
【答案】C
【解析】因为平面，平面，
所以，，
故，
因为，所以，故，
则该三棱锥的最长的棱为，故，
最短的棱为或，
当最短的棱为，即时，
由勾股定理得，
故，故，
当且仅当时，等号成立，
故三棱锥体积为，
当最短的棱为，即时，
设，则，则，
故，
三棱锥体积为，
当且仅当，即时，等号成立，
当最短的棱为，即时，
设，则，则，
故，
三棱锥体积为，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，该三棱锥的最大体积为18.
故选：C.
7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】如图所示，
根据双曲线的定义，，，
在中，由余弦定理得,
即，
又因，所以，
所以，即.
在中，由余弦定理得，，
且,
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，则
故离心率.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 有最小值D. 在上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，易知，故A正确；
对于D，易知，故D正确；
对于B、C，易知可取，则,
，所以，
，故B正确；C错误；
故选：ABD.
10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. D. 边上的高的最大值为
【答案】AD
【解析】在中，由及正弦定理，得，而，
则，由余弦定理得，
而，解得，
对于A，，A正确；
对于B，显然，当且仅当时取等号，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，令边上的高为，则，解得，D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线斜率为
B. 方程有无数个实数根
C. 曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
D. 在上单调递减
【答案】BCD
【解析】对于A，，则，
故，A错误；
对于B，由于为周期函数，当时，，
故的图象大致如图示：
结合图象可知，当x增大到一定数值满足后，
大于的数将有无数个满足，B正确；
对于C，设为y=fx上任意一点，则，
由于，故，
由于时，，故曲线y=fx上任意一点与坐标原点连线的斜率在时才取到正值，
则时，取正值时，，取负值时，显然成立；
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，故，
由于取等号条件和取等号条件不一致，
故，C正确；
对于D，设，则，
故在上单调递减，则，则；
设，
，
故在1,+∞上单调递减，D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______．
【答案】210
【解析】数列满足，若，，则，
所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列
所以数列的前20项的和为
.
13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为______．
【答案】
【解析】延长相交于点，连接交于点，连接，
因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，
所以MN=AM2+AN2=22，，，
因为∽，，故，，
在上取点，连接，则，
同理可知，所以四边形为平行四边形，
故四点共面，
则平面MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形，
，，
同理，
故截面周长为.

14. 已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】联立，
由题意知该方程有两个不等正根，
即，所以；
如图所示，
由图形的对称性，
不妨设，
易知四边形为等腰梯形，
其面积为，
又点在抛物线上则有：，
而，
所以，
，
则，
令，则，
令，
易得时，此时单调递增，
时，此时单调递减，即，
则，时取得等号.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
解：（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，．

（1）求三棱台的高；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求．
解：（1）作于点O，因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，即为三棱台高，
又因为平面，所以，连接，
因为，，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱台的高为；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
可取，
设，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，
解得，或（舍去，因为，则，所以），
所以．
17. 已知函数，其中且．
（1）若是偶函数，求a的值；
（2）若时，，求a的取值范围．
解：（1）由题意，，即，
解得，或（舍），经检验时，是偶函数，
所以a的值为；
（2）当时，，成立；
当且时，，，
又已证，故此时符合题意；
当时，，
因为函数都是增函数，
所以函数f'x在上单调递增，且，
故存在，使得当时，，从而单调递减，
所以，存在，使得，此时不合题意．
综上所述，且．
18. 已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点．
（ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）；
（ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意，得．
又在上，得，从而，故E的方程为．
（2）（ⅰ）当为的顶点时，，
不妨设在第一象限，直线的方程为，
联立的方程为，可得．
由，得．
联立直线的方程与抛物线的方程，可得，
则点的纵坐标为，
由对称性知，
故直线在轴上的截距为．
（ⅱ）要使（2）中的直线与相切，必有，
即，
解得或（舍去）．
设Px1,y1，Qx2,y2，，则，，．
直线方程为，即．
联立椭圆方程可得
，
由
可得，
即．
同理可得．
因为直线同时经过点，所以的直线方程为．
联立椭圆方程可得，
于是．
故直线与椭圆相切，因此符合题意．
19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义
（1）若，求和；
（2）求；
（3）证明：．
（1）解：
若，，
而；
（2）解：当时，．
当时，由
，
可得．
因此，；
（3）证明：要证，
只需证
，
令，
一方面，，
另一方面，，
当且时，由于，
比较两式中的系数可得，
则，
由可知，
当时，由，可知：
，
此时命题也成立．
当时，也成立．
综上所述，．