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四川省仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题
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这是一份四川省仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题集合，命题集合则是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
4．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上的最大值和最小值分别为，则（ ）
A．-4B．0C．2D．4
7．已知函数方程有两个不同的根分别是，则（ ）
A．0B．3C．6D．9
8．已知是上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．-2B．0C．2D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是减函数D．在上是减函数
10．已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（ ）
A．当实数解的个数为1时，B．当实数解的个数为2时，
C．当实数解的个数为3时，D．当实数解的个数为3时，
11．函数及其导函数定义域均为，记，若均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则不等式的解集是______．
13．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为______．
14．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，，（且）
（1）求的定义域．
（2）判断的奇偶性，并说明理由．
16．（15分）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品，已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为．
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
（2）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
17．（15分）已知函数．
（1）画出的图像，并直接写出的值域：
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）已知二次函数的最小值为-4，且关于的不等式的解集为
（1）求函数的解析式：
（2）若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
19．（17分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义判断在区间上的单调性：
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围，
仁寿一中北校区2025届高三数学入学考试试题答案
9．BC10．AC11．BC
12．13．14．-3
15．【详解】（1）令得：定义域为
令得：定义域为的定义域为
（2）由题意得：
为定义在上的偶函数
16．【解析】
（1）该企业的月处理成本，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元．（7分）
（2）因为，所以每吨的平均处理成本
．因为，当且仅当时，等号成立，所以，即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元．（15分）
17．【解析】（1）当时，，当时，，当时，
，所以
的图象如图：
由图可知，函数的值域是．
（2）若不等式恒成立，则，
则，即，解得或．
18．【解析】
（1）因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，
所以，所以当时，，所以，
故函数的解析式为．（6分）
（2）因为函数与的图象关于轴对称，所以，
当时，的图象恒在直线的上方，所以，在上恒成立，
即，所以，（9分）
令，则，因为（当且仅当，即时，等号成立），所以实数的取值范围是．（15分）
19．【解析】（1）设函数的图象的对称中心为，则，
即，整理得，
可得解得，所以的对称中心为．（4分）
（2）函数在上单调递增；证明如下：任取且，
则
因为且，可得且
所以即
所以函数在上单调递增．（8分）
（3）由对任意，总存在，使得
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，（9分）
当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，解得，
当时，即时，在单调递减，在单调递增，（11分）
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时
欲使，
只需
且（13分）
解不等式，可得，又因为，此时；
当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以
解得，
综上可得：实数的取值范围是．（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
D
A
A
B
D
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题集合，命题集合则是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
4．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上的最大值和最小值分别为，则（ ）
A．-4B．0C．2D．4
7．已知函数方程有两个不同的根分别是，则（ ）
A．0B．3C．6D．9
8．已知是上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．-2B．0C．2D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是减函数D．在上是减函数
10．已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（ ）
A．当实数解的个数为1时，B．当实数解的个数为2时，
C．当实数解的个数为3时，D．当实数解的个数为3时，
11．函数及其导函数定义域均为，记，若均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则不等式的解集是______．
13．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为______．
14．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，，（且）
（1）求的定义域．
（2）判断的奇偶性，并说明理由．
16．（15分）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品，已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为．
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
（2）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
17．（15分）已知函数．
（1）画出的图像，并直接写出的值域：
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）已知二次函数的最小值为-4，且关于的不等式的解集为
（1）求函数的解析式：
（2）若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
19．（17分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义判断在区间上的单调性：
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围，
仁寿一中北校区2025届高三数学入学考试试题答案
9．BC10．AC11．BC
12．13．14．-3
15．【详解】（1）令得：定义域为
令得：定义域为的定义域为
（2）由题意得：
为定义在上的偶函数
16．【解析】
（1）该企业的月处理成本，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元．（7分）
（2）因为，所以每吨的平均处理成本
．因为，当且仅当时，等号成立，所以，即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元．（15分）
17．【解析】（1）当时，，当时，，当时，
，所以
的图象如图：
由图可知，函数的值域是．
（2）若不等式恒成立，则，
则，即，解得或．
18．【解析】
（1）因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，
所以，所以当时，，所以，
故函数的解析式为．（6分）
（2）因为函数与的图象关于轴对称，所以，
当时，的图象恒在直线的上方，所以，在上恒成立，
即，所以，（9分）
令，则，因为（当且仅当，即时，等号成立），所以实数的取值范围是．（15分）
19．【解析】（1）设函数的图象的对称中心为，则，
即，整理得，
可得解得，所以的对称中心为．（4分）
（2）函数在上单调递增；证明如下：任取且，
则
因为且，可得且
所以即
所以函数在上单调递增．（8分）
（3）由对任意，总存在，使得
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，（9分）
当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，解得，
当时，即时，在单调递减，在单调递增，（11分）
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时
欲使，
只需
且（13分）
解不等式，可得，又因为，此时；
当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以
解得，
综上可得：实数的取值范围是．（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
D
A
A
B
D
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