安徽省皖豫名校联盟2023届高三第三次大联考数学试题

这是一份安徽省皖豫名校联盟2023届高三第三次大联考数学试题，共16页。试卷主要包含了已知，则，若在中，，则等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数，满足，，则的最大值为（ ）
A.B.C.4D.
3.将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A.0B.C.2D.
4.某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6,0.2,0.1.现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为（ ）
B.0.4
5.在室温下，某型号硅二极管的伏安特性曲线可用公式来表示，其中是导通电流，规定时视为二极管关断，否则视为二极管开通，是加在二极管两端的电压.若在室温下，分别在该型号二级管两端加0.78V正向电压（即）和0.78V反向电压（即），则此时二极管的状态分别为（ ）
A.开通、开通B.关断、关断C.开通、关断D.关断、开通
6.如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则（ ）
A.B.C.D.2
8.已知抛物线，过坐标原点作两条相互垂直的直线分别与抛物线相交于，两点（，均与点不重合）.若直线恒过点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若在中，，则（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，已知四棱锥的外接球的直径为4，四边形为正方形，平面平面，为棱的中点，，，则（ ）
A.平面B.
C.与平面所成角的正弦值为D.四棱锥的体积为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点与位于双曲线右支上的关于轴对称，点与关于轴对称，，为双曲线上一动点（不与，，重合），且直线与的斜率均存在，则
A.B.
C.四边形的面积为D.直线与的斜率之积为3
12.已知函数的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.方程在区间上的所有实根之和为144
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆与圆的公共弦经过点，则________.
14.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音（左起第49个键）的频率为440Hz，钢琴上最低音的频率为27.5Hz，则左起第61个键的音的频率为__________Hz.
15.将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为__________.
16.设函数，若存在，，，，使得成立，则实数的最大值为________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列满足，.
（Ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，证明：数列的前项和小于.
18.（12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（I）证明：；
（II）若，，求的面积.
19.（12分）
某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：，，.
（Ⅰ）根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；
（Ⅱ）现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，，，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数.
20.（12分）
已知平行六面体的各棱长均为2，，，分别是线段，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，且当直线的倾斜角为时，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在轴上方，为线段的中点，粗圆的左焦点为，直线（为坐标原点）与交于点，求（表示面积）的取值范围.
22.（12分）
已知函数在区间上的最小值为，函数，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，，是的两个不同的极值点，且，证明：
皖豫名校联盟”2023届高中毕业班第三次考试
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
答案A
命题意图 本题考查集合的运算.
解析 由题意得，，，所以.
2.答案B
命题意图 本题考查复数的几何意义.
解析 因为，所以，所以，所以的最大值为.
3.答案D
命题意图 本题考查向量的数量积.
解析 根据题意可知，.
4.答案C
命题意图 本题考查概率的计算.
解析现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为.
5.答案C
命题意图 本题考查函数模型的应用.
解析 当时，，所以二极管开通；当时，，所以二极管关断.
6.答案B
命题意图 本题考查几何体的表面积.
解析 根据题意，上部分圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，下部分圆柱的侧面积为，所以该整流罩的外表面的面积约为.
7.答案D
命题意图 本题考查三角恒等变换.
解析 ，，
即，令，，
则，，，，，
，，故.
8.答案A
命题意图 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系.
解析 设，，直线为，联立抛物线的方程得，所以，.又，所以，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线过定点，故，即，所以.由抛物线的方程可得，所以，当且仅当时取等号.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.答案 BD
命题意图 本题考查二项式定理.
解析 令，则，，故A错误；令，则，故B正确；，故C错误；，故D正确.
10.答案 ABC
命题意图 本题考查线面位置关系、几何体的体积及线面角.
解析因为，平面，平面，所以平面，故A正确；平面平面，且，所以，又，，从而平面，所以，故B正确；易知，所以四棱锥的外接球的直径为，所以，所以，所以，因为平面，所以为与平面所成的角，所以，故C正确；因为平面平面，过作，根据面面垂直的性质定理，可知平面，因为，所以，所以，故D错误.
11.答案 ACD
命题意图 本题考查双曲线的方程与性质.
解析 根据双曲线的对称性，可得，所以，故A正确；根据题意，四边形为等腰梯形，，设，由余弦定理可得，即，解得，所以，故B错误；梯形的高为，，所以四边形的
面积为，故C正确；设，易知，所以，，则，故D正确.
12.答案 AC
命题意图 本题考查函数的图象与性质及函数的零点.
解析 因为为偶函数，所以，即，又，可得，故的图象关于点对称，故A正确；，故是以4为周期的周期函数，根据题意，，，，，，故，故B错误；，其中，故，故C正确；是周期函数，最小正周期是8，由，得其对称轴为，，显然与的图象有公共的对称轴，，方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可知，，所以，由图易知在，，…，上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，故在区间上的所有实根之和为，故D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案
命题意图 本题考查两圆的公共弦.
解析 圆的圆心，两圆的公共弦所在的直线的方程为，，所以，所以.
14.答案 880
命题意图 本题考查等比数列的性质.
解析 设等比数列的公比为，则，所以，则左起第61个键的音的频率为.
15.答案 2
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质.
解析 由题可知.因为，所以.因为，的图象大致如图所示，要使的图象在区间上有且仅有两条对称轴、两个对称中心，则，解得，因为，所以.
16.答案
命题意图 本题考查导数的综合应用.
解析 由题意知，存在，，，使得成立.令，，则，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则的取值范围是，故，，则，则，故.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
命题意图 本题考查等比数列的定义及裂项相消法.
解析 （Ⅰ）因为，即，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
即.
（Ⅱ）
.
所以.
所以，
故数列的前项和为.
18.命题意图 本题考查解三角形.
解析（Ⅰ）由及正弦定理得，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以或，
即或（舍去）.
（Ⅱ）由及正弦定理得，
由，得，
所以，.
由余弦定理得，得，
整理得，解得或.
当时，，
当时，可得，此时不满足，故舍去.
综上所述，的面积为.
19.命题意图 本题考查相关系数及离散型随机变量的期望.
解析（Ⅰ）由题可知
.
故可用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）设家庭中套中小白兔的人数为，则，
所以.
设家庭的盈利为元，则，
所以.
设家庭中套中小白兔的人数为，
则的所有可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，
所以.
设家庭的盈利为元，则，
所以.
因为，所以家庭的损失较大.
20.命题意图 本题考查线面垂直及空间向量的应用.
解析（Ⅰ）如图，设，交于点，连接，，.
因为平行六面体中，各棱长均为2，且，
所以为等边三角形，四边形为菱形，
所以为的中点，.
所以.
因为，所以平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，为等边三角形，
所以，故.
解可得，.
因为平面，
所以平面平面，
故在平面上的射影落在上，连接，
所以，.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，所以，，所以，，.
设平面的法向量为，
由得，取，则.
由（Ⅰ）知为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
21.命题意图 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题.
解析（Ⅰ）依题意，，得，
则椭圆.
设直线的斜率为.
由题易知，故当倾斜角为时，直线.
联立可得，解得或.
故，解得.
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）依题意，，.
设，，则，.
连接，因为分别为线段，的中点，
所以，
，
的面积为.
记，得.
设直线，与椭圆的方程联立，消去得，
由根与系数的关系可得，.
令，其中，
则可得.
当时，，，此时.
当时，，所以，
又，解得.
所以，解得，
又因为，
所以实数的取值范围是.
22.命题意图 本题考查导数在求函数最值及不等式证明中的应用.
解析（Ⅰ）依题意有，
令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（i）若，即，则在上单调递减，则，
所以，所以，不符合题意；
（ii）若，即，则在上单调递增，则，所以，，符合题意；
（iii）若，则，，不符合题意.
综上可知。
（Ⅱ）由（I）可知，
所以，
.
由题意可知，是方程，即的两个根，
则，，
所以等价于.
因为，所以原式等价于.
因为，，
作差得，即，
所以原式等价于.
因为，所以恒成立.
令，，则不等式在时恒成立.
令，则.
令函数，则在上单调递减，
所以，
则时，，所以在上单调递增.
又，所以在上恒成立，
故.