八年级上册4.3 实数巩固练习

这是一份八年级上册4.3 实数巩固练习，共31页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17146" 【题型1 实数与数轴的综合应用】 PAGEREF _Tc17146 \h 1
\l "_Tc1604" 【题型2 比较实数的大小】 PAGEREF _Tc1604 \h 2
\l "_Tc23508" 【题型3 实数的有关运算】 PAGEREF _Tc23508 \h 2
\l "_Tc12874" 【题型4 估算无理数】 PAGEREF _Tc12874 \h 3
\l "_Tc18730" 【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 PAGEREF _Tc18730 \h 4
\l "_Tc5807" 【题型6 程序设计与实数的运算】 PAGEREF _Tc5807 \h 4
\l "_Tc5345" 【题型7 新定义下的实数运算】 PAGEREF _Tc5345 \h 5
\l "_Tc20093" 【题型8 实数中的实际应用题】 PAGEREF _Tc20093 \h 6
\l "_Tc3009" 【题型9 实数中的规律探究题】 PAGEREF _Tc3009 \h 7
\l "_Tc16792" 【题型10 实数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc16792 \h 7
【知识点1 实数】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数与数轴的综合应用】
【例1】（2023春·八年级单元测试）如图，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−1B．1−2C．2−2D．2−2
【变式1-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(b−a)2−|a+b|−3b3化简结果为 ．
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且AD=AE，则点E表示的数是（ ）
A．7B．7−1C．1+7D．1−7
【变式1-3】（2023春·河北沧州·八年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是______．
(2)求m+22−m−1的值；
(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有2c+4与d−4互为相反数，求2c+3d的立方根．
【题型2 比较实数的大小】
【例2】（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）比较大小：5+12 3．（填＞，＜，＝）
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）若0A．x<1xC．1x【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）若a=39，b=5，c=2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b【题型3 实数的有关运算】
【例3】（2023·全国·八年级假期作业）若35取1.71，计算435−835+10435−100的结果是（ ）
A．71B．171C．1.71D．17.1
【变式3-1】（2023·江苏·八年级假期作业）若a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，试计算（a﹣c）2013＋b2014的值．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）计算下列各题：
(1)−35÷(−7)×(−17)−(23−112−415)×(−60)
(2)−14−1−0.5×169×38−−22
【变式3-3】（2023·全国·八年级专题练习）计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364，
（2）7−2−2−π−(−7)2，
（3）−62+1−2−38+−52．
【知识点2 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型4 估算无理数】
【例4】（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中）在数轴上表示−5和330的两点之间表示整数的点有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【变式4-1】（2023春·八年级单元测试）判断11+1之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4B．4，5C．5，6D．6，7
【变式4-2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断12应该在下列线段的（ ）

A．OA上B．AB上C．BC上D．CD上
【变式4-3】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）规定a表示小于a的最大整数，如3=2，10=3．现将37进行如下操作：37 第一次→ 37=6 第二次→ 6=2 第三次→ 2=1．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为 ．
【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】
【例5】（2023春·湖北宜昌·八年级校联考期中）若n<10【变式5-1】（2023春·广东河源·八年级校考阶段练习）已知k是5的小数部分，则1k+1= ．
【变式5-2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知6+10的小数部分为a，6−10的小数部分为b，则a+b2023的值是（ ）
A．1B．−1C．10D．36
【变式5-3】（2023春·四川眉山·八年级校考期中）已知6+11的整数部分为a，6−11的小数部分为b，
(1)求a+b的值；
(2)求a−b的值．
【题型6 程序设计与实数的运算】
【例6】（2023·八年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【变式6-1】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．2B．3C．2D．3
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）根据如图所示的计算程序，若输入的x的值为4，则输出的y的值为 ．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是 ．
【题型7 新定义下的实数运算】
【例7】（2023春·四川达州·八年级校考期末）对于实数a、b， 定义mina，b的含义为∶ 当ab时，min{a，b}=b，例如∶min{1，−2}=−2．已知min{30，a}=a，min{30，b}=30，且a和b为两个连续正整数，则2a−b的值为 ．
【变式7-1】（2023春·江苏·八年级期末）我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（其中a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．例如：(4,1)的一对“和谐数对”为12,1和1,12．
(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________；
(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，则b的值为________；
(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，直接写出ab的值________．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3，
(1)仿照以上方法计算：[4]=_____；37=_____；
(2)计算：[1]+2+3+⋯+36；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即10=3→[3]=1，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【变式7-3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如果有一个三位数p，百位数为9，十位数和个位数之和也是9，我们把这个三位数称为“九伴数”，把p的百位数和个位数互换位置得到数p′．并规定F（p）=p+p'9．
例如918
∵1+8=9且百位是9
∴918是“九伴数”， F（918）=918+8199=193．
(1)若a=946，b=936，直接判断a，b是否是“九伴数”，如果是请求出F（a）或F（b）的值．
(2)若s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n．
①分别用含m，n的式子表示F（s）和F（t）．
②若2F（s）+F（t）=570．比较nF(s)与mF(t)的大小并求此时m值．
【题型8 实数中的实际应用题】
【例8】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1 ）
【变式8-1】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14)
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）
【变式8-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【题型9 实数中的规律探究题】
【例9】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）按一定规律排列的一列数:3，82，153，244，其中第7个数为( )
A．437B．637C．357D．337
【变式9-1】（2023春·福建漳州·八年级校考阶段练习）22+4+1=3,32+6+1=4,42+8+1=5,52+10+1=6,…请用含n(n≥2且为正整数)的等式表示它们的规律：
【变式9-2】（2023春·八年级课时练习）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对(m,n)表示第m排，从左到右第n个数，如(4,2)表示实数8，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是 ．
【变式9-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在草稿纸上计算：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：13+23+33+⋯+203= ．
【题型10 实数性质的综合应用】
【例10】（2023春·八年级单元测试）已知a是19的整数部分，b是19的小数部分，求2a+b的值．
【变式10-1】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b<0，且b的倒数是它本身，且a、c满足c−42+a+3=0．
（1）计算：a2−2a−c的值；
专题4.3 实数【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17146" 【题型1 实数与数轴的综合应用】 PAGEREF _Tc17146 \h 1
\l "_Tc1604" 【题型2 比较实数的大小】 PAGEREF _Tc1604 \h 4
\l "_Tc23508" 【题型3 实数的有关运算】 PAGEREF _Tc23508 \h 6
\l "_Tc12874" 【题型4 估算无理数】 PAGEREF _Tc12874 \h 8
\l "_Tc18730" 【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 PAGEREF _Tc18730 \h 10
\l "_Tc5807" 【题型6 程序设计与实数的运算】 PAGEREF _Tc5807 \h 12
\l "_Tc5345" 【题型7 新定义下的实数运算】 PAGEREF _Tc5345 \h 14
\l "_Tc20093" 【题型8 实数中的实际应用题】 PAGEREF _Tc20093 \h 18
\l "_Tc3009" 【题型9 实数中的规律探究题】 PAGEREF _Tc3009 \h 20
\l "_Tc16792" 【题型10 实数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc16792 \h 22
【知识点1 实数】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数与数轴的综合应用】
【例1】（2023春·八年级单元测试）如图，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−1B．1−2C．2−2D．2−2
【答案】C
【分析】根据中点得AC=BC，然后从A点向左平移即可；
【详解】解：∵点A是BC的中点，
∴ AC=BC=2−1，
∴点C所表示的数为：1−2−1=2−2．
故选：C
【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．
【变式1-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(b−a)2−|a+b|−3b3化简结果为 ．
【答案】−3b
【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b， b−a，a+b的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a>0，b<0，且|a|>|b|，
因此，a+b＞0，b−a＜0，
所以，(b−a)2−|a+b|−3b3=b−a−a+b+b=a−b−a−b−b=−3b．，
故答案为：−3b
【点睛】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提．
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且AD=AE，则点E表示的数是（ ）
A．7B．7−1C．1+7D．1−7
【答案】C
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为7+1．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为7，即AB2=7，
∴AB=7，
∵AB=AE，
∴AE=7，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为7+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题，算术平方根，关键是结合题意求出AB=AE=7．
【变式1-3】（2023春·河北沧州·八年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是______．
(2)求m+22−m−1的值；
(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有2c+4与d−4互为相反数，求2c+3d的立方根．
【答案】(1)3−2
(2)3
(3)2
【分析】（1）根据数轴上右加左减的规律求解即可；
（2）把m的值代入m+22−m−1化简即可；
（3）根据非负数的性质求出c和d的值，再求求2c+3d的立方根．
【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，
∴实数m的值是3−2．
故答案为：3−2．
（2）解：当m=3−2时，
m+22−m−1
=3−2+22−3−2−1
=3−3−3
=3；
（3）解：∵2c+4与d−4互为相反数，
∴2c+4+d−4=0，
∵d−4≥0，2c+4≥0，
∴2c+4=0，d−4=0，
即2c+4=0，d−4=0，
∴c=−2，d=4，
∴32c+3d=32×−2+3×4=38=2
即2c+3d的立方根是2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，实数与数轴的关系，相反数的定义，以及立方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【题型2 比较实数的大小】
【例2】（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）比较大小：5+12 3．（填＞，＜，＝）
【答案】<
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：5+122=5+25+14=3+52，32=3，
∴5+122−32=3+52−3=5−32，
∵52=5<32=9，
∴5<3，
∴5+122−32=3+52−3=5−32<0，
∴5+122<32，
又∵5+12>0，3>0，
∴5+12<3，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2023·全国·八年级专题练习）比较2−1和2−2的大小
【答案】2−1<2−2
【分析】利用作差法及无理数的估算，即可比较出大小．
【详解】解：2−1−2−2=2−1−2+2=−3+22，
∵22=8<9，
∴22<3，
∴−3+22<0，
∴2−1−2−2<0，
∴2−1<2−2．
【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法-作差法，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）若0A．x<1xC．1x【答案】B
【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．
【详解】解：∵0∴令x=14
∴1x=4，x=12，x2=116
∵116<14<12<4
∴x2故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）若a=39，b=5，c=2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b【答案】C
【分析】根据无理数的估算判断出2<39<2.2，2.2<5，即可得到答案．
【详解】解：∵8<9<10.648，
∴2<39<2.2，
∵4.84<5，
∴2.2<5，
∴2<39<5，即c故选：C．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【题型3 实数的有关运算】
【例3】（2023·全国·八年级假期作业）若35取1.71，计算435−835+10435−100的结果是（ ）
A．71B．171C．1.71D．17.1
【答案】A
【分析】先合并同类根式，然后将35的近似值代入即可解答．
【详解】解：435−835+10435−100
=4−8+10435−100
=10035−100
当35取1.71时，10035−100=100×1.71−100=71，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是合并同类立方根式，然后将数据代入进行运算．
【变式3-1】（2023·江苏·八年级假期作业）若a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，试计算（a﹣c）2013＋b2014的值．
【答案】0
【分析】根据题意得出a＝2，b＝﹣1，c＝3，再代入即可求值．
【详解】解：∵a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，
则（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，理解实数的意义，求出a、b、c的值是解题关键．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）计算下列各题：
(1)−35÷(−7)×(−17)−(23−112−415)×(−60)
(2)−14−1−0.5×169×38−−22
【答案】(1)1827；
(2)13．
【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘方，乘法，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式＝5×（﹣17）﹣23×（﹣60）+112×（﹣60）+415×（﹣60）
＝﹣57+40﹣5﹣16
＝1827；
（2）原式＝﹣1﹣0.5×43×[2﹣4]
＝﹣1﹣23×（﹣2）
＝﹣1+43
＝13．
【点睛】本题考查的是实数的运算，在解答此类问题时要注意各种运算律的灵活应用．
【变式3-3】（2023·全国·八年级专题练习）计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364，
（2）7−2−2−π−(−7)2，
（3）−62+1−2−38+−52．
【答案】（1）118；（2）−π；（3）8+2．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；
（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．
【详解】解：（1）原式=4+(−3)−12+318+164，
=4−3−12+12+18，
=118；
（2）原式=7−2−π−2−49，
=7−2−π+2−7，
=−π；
（3）原式=36+2−1−2+5，
=6+2−1+3，
=8+2．
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．
【知识点2 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型4 估算无理数】
【例4】（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中）在数轴上表示−5和330的两点之间表示整数的点有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】首先对−5和330进行估算，然后把−5和330在数轴上表示出，再根据数轴，即可得出答案．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴−3<−5<−2，
∵27<30<64，
∴3<330<4，
把−5和330在数轴上的表示如图所示，
∴表示−5和330的两点之间的整数有−2、−1、0、1、2、3，共有6个．
故选：A
【点睛】本题考查了无理数的估算、数轴，解本题的关键在正确估算出−5和330的范围．
【变式4-1】（2023春·八年级单元测试）判断11+1之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4B．4，5C．5，6D．6，7
【答案】B
【分析】根据9<11<16，估算出11在哪两个整数之间，再根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：∵9<11<16，
∴3<11<4，
∴3+1<11+1<4+1，
∴4<11+1<5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断12应该在下列线段的（ ）

A．OA上B．AB上C．BC上D．CD上
【答案】B
【分析】计算已知点的平方，再进行判断即可．
【详解】解：∵2.52=6.25，3.62=12.96，
∴2.5<12<3.6，
∴ 12在数轴上的位置会在线段AB上，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的估算，数轴表示数的意义和方法，正确的估算无理数的大小是正确判断的前提．
【变式4-3】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）规定a表示小于a的最大整数，如3=2，10=3．现将37进行如下操作：37 第一次→ 37=6 第二次→ 6=2 第三次→ 2=1．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为 ．
【答案】677
【分析】根据可用a表示小于a的最大整数，反推回去每次求最小整数可得答案．
【详解】解：∵第四次2=1，最小整数为2，
则第三次为22+1=5=2，最小整数为5，
第二次为52+1=26=5，最小整数为26，
第一次为262+1=677=26，最小整数为677，
故答案为：677
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，用a表示小于a的最大整数，反推是解题的关键．
【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】
【例5】（2023春·湖北宜昌·八年级校联考期中）若n<10【答案】0
【分析】根据平方根的定义估算出n＜10＜n＋1和m＜−8＜m＋1在各自范围内的数，求出m、n的值，即可解出本题答案.
【详解】由题意可知，求出10和8的整数部分，可得，
∵32＜10＜42，∴3＜10＜4，即n＝3，
∵22＜8＜32，∴－3＜－8＜－2，即m＝－3，
∴m＋n＝0，
故答案为0.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
【变式5-1】（2023春·广东河源·八年级校考阶段练习）已知k是5的小数部分，则1k+1= ．
【答案】15−1
【分析】先估算出k的值，再代入化简即可．
【详解】解：∵2<5<3
∴k=5−2
∴1k+1=15−2+1=15−1
故答案为：15−1
【点睛】本题考查无理数的估算、二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提．
【变式5-2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知6+10的小数部分为a，6−10的小数部分为b，则a+b2023的值是（ ）
A．1B．−1C．10D．36
【答案】A
【分析】根据题意得出a=10−3,b=4−10，进而即可求解．
【详解】解：∵3<10<4，
∴9<6+10<10，2<6−10<3
∴6+10的小数部分为6+10−9=10−3，6−10的小数部分为6−10−2=4−10，
∴a=10−3,b=4−10
∴a+b2023=10−3+4−102023=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出a=10−3,b=4−10是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·四川眉山·八年级校考期中）已知6+11的整数部分为a，6−11的小数部分为b，
(1)求a+b的值；
(2)求a−b的值．
【答案】(1)13−11
(2)5+11
【分析】（1）先估算出3<11<4，进而得到9<6+11<10，2<6−11<3由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
【详解】（1）解：∵9<11<16，
∴3<11<4，
∴9<6+11<10，−4<−11<−3，
∴2<6−11<3，
∴a=9，b=6−11−2=4−11，
∴a+b=9+4−11=13−11；
（2）解：由（1）得a−b=9−4−11=5+11．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．
【题型6 程序设计与实数的运算】
【例6】（2023·八年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】A
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，16=4，,4=2，y=2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【变式6-1】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】把x=2代入程序，重复计算x2−1，直到结果小于32输出，故可求解．
【详解】解：把x=2代入程序，x2−1=22−1=3>32，
把x=3代入程序，x2−1=32−1=2<32，
输出2，
故选A．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题关键是根据程序进行计算求解．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）根据如图所示的计算程序，若输入的x的值为4，则输出的y的值为 ．
【答案】1
【分析】先把x=4=2＜4，代入12x中，计算即可．
【详解】当x=4=2时，y=12×2=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是 ．
【答案】2
【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】解：64＝8，38＝2，2的算术平方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
【题型7 新定义下的实数运算】
【例7】（2023春·四川达州·八年级校考期末）对于实数a、b， 定义mina，b的含义为∶ 当ab时，min{a，b}=b，例如∶min{1，−2}=−2．已知min{30，a}=a，min{30，b}=30，且a和b为两个连续正整数，则2a−b的值为 ．
【答案】4
【分析】根据a和b的范围，求出a和b的值，然后代入2a−b即可求解．
【详解】解：∵min30，a=a，min30，b=b，
∴a＜30＜b，
∵a和b为两个连续正整数，5＜30＜6，
∴a=5，b=6，
∴2a−b=2×5−6=4．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·江苏·八年级期末）我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（其中a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．例如：(4,1)的一对“和谐数对”为12,1和1,12．
(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________；
(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，则b的值为________；
(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，直接写出ab的值________．
【答案】(1)14,5和5,14
(2)19
(3)14或4
【分析】（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
【详解】（1）解：∵m=116=14，n=5，
∴数对(16,5)的一对“和谐数对”是14,5和5,14，
故答案为：14,5和5,14；
（2）解：∵数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，
∴19=b，
∴b=19，
故答案为：19；
（3）解：∵数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，
∴m=1a=2，n=b=1，或m=1a=1，n=b=2，
∴a=14，b=1，或a=1，b=4，
∴ab=14或ab=4
故答案为：14或4．
【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3，
(1)仿照以上方法计算：[4]=_____；37=_____；
(2)计算：[1]+2+3+⋯+36；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即10=3→[3]=1，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数字相加即可得到答案；
（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255．
【详解】（1）解：∵4=2，
∴ 4=2；
∵36<37<49，
∴6<37<7，
∴37=6，
故答案为：2；6；
（2）解：∵1=1，4=2，9=3，16=4，25=5，36=6，
∴[1]+2+3+⋯+36
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6
=131；
（3）解：∵256=162，
∴256=16，16=4，4=2，2=1，
∴256刚好经过4次操作后的结果为1，
∵255=15，15=3，3=1，
∴255刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如果有一个三位数p，百位数为9，十位数和个位数之和也是9，我们把这个三位数称为“九伴数”，把p的百位数和个位数互换位置得到数p′．并规定F（p）=p+p'9．
例如918
∵1+8=9且百位是9
∴918是“九伴数”， F（918）=918+8199=193．
(1)若a=946，b=936，直接判断a，b是否是“九伴数”，如果是请求出F（a）或F（b）的值．
(2)若s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n．
①分别用含m，n的式子表示F（s）和F（t）．
②若2F（s）+F（t）=570．比较nF(s)与mF(t)的大小并求此时m值．
【答案】(1)a不是“九伴数”，b是“九伴数”，175
(2)①F（s）=121+9m，F（t）=121+9n；②见解析
【分析】（1）按照“九伴数”定义验证即可；
（2）①根据s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，用m，n表示出s和t，表示出F（s）、F（t）；②根据2F（s）+F（t）=570，整理可得n+2m=23，写出m，n所有取值并写出对应的s和t的值，分别比教对应的mF(t)和nF(s)的大小即可．
【详解】（1）∵4+6=10，
∴a不是“九伴数”，
∵3+6=9，
∴b是“九伴数”，
∴F（936）=936+6399=175；
（2）①∵s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，
∴s=900+10（9−m）+m=990−9m，
t=900+10（9−n）+n=990−9n，
∴F（s）=990−9m+90m+999=121+9m，
F（t）=121+9n；
②∵2F（s）+F（t）=570，
∴2（121+9m）+（121+9n）=363+18m+9n=570，
∴n+2m=23，
∴m=7，n=9；
m=8，n=7；
m=9，n=5；
∴s=927，t=909；
s=918，t=927；
s=909，t=945；
∴当s=927，t=909时，
nF(s)＝9927＝1103，mF(t)＝7909，
此时mF(t)＞nF(s)，m=7；
当s=918，t=927时，
nF(s)＝7918，mF(t)＝8917，
此时mF(t)＞nF(s)，m=8；
当s=909，t=945时，
nF(s)＝5909，mF(t)＝9945，
此时mF(t)＞nF(s)，m=9．
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是读懂题意并根据新定义做题．
【题型8 实数中的实际应用题】
【例8】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1 ）
【答案】1.2平方米
【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。
【详解】解：由题意得，正方形的边长为2米，则半圆的半径为r=22米，则
剩下的木料的面积=2−12π r2，
≈2−12×3.14×(22)2，
=2−0.785，
=1.215，
≈1.2（平方米）
答：剩下的木料的面积约为1.2平方米．
【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系．
【变式8-1】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14)
【答案】42次
【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可．
【详解】解：T＝2π0.59.8≈1.42，60÷1.42≈42(次)．
答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．
【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）
【答案】17.7cm
【分析】由题意得，圆柱体和长方体里面的药液是一样的，所以体积相同，根据高度一样，结合体积公式可得两个容器底面积相等，列出式子求出即可．
【详解】解：由题意得两个容器底面积相等，所以体积相同，再根据体积公式可得两个容器的底面积相等，即正方形面积为π×102＝100π
设长方体容器底面边长为x
∴x2=100π
∴x==100π
长方体容器底面边长为100π≈17.7cm．
答：长方体容器的底面边长约为17.7cm．
【点睛】本题主要考查了实数的实际应用，能够得出底面积相等，列出方程，准确的解出方程是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为2cm.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，
∴x=2（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为2cm．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【题型9 实数中的规律探究题】
【例9】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）按一定规律排列的一列数:3，82，153，244，其中第7个数为( )
A．437B．637C．357D．337
【答案】B
【分析】观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．
【详解】解：根据一列数：3，82=32−12，153=42−13，244=52−14，…可知，
第n个数分母是n，分子是(n+1)2-1的算术平方根，
据此可知：第7个数是82−17=637．
​故选B．
【点睛】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．
【变式9-1】（2023春·福建漳州·八年级校考阶段练习）22+4+1=3,32+6+1=4,42+8+1=5,52+10+1=6,…请用含n(n≥2且为正整数)的等式表示它们的规律：
【答案】n2+2n+1=n+1
【分析】观察被开方数所隐含的规律，然后用含字母n的式子表示规律即可．
【详解】∵22＋4＋1＝22＋2×2×1＋1
32＋6＋1＝32＋2×4×1＋1；
42＋8＋1＝42＋2×4×1＋1；
52＋10＋1＝22＋2×5×1＋1；
…
∴n2+2n+1=n+1
故答案为n2+2n+1=n+1.
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、探究数字的变化规律，掌握被开放数的变化规律是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·八年级课时练习）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对(m,n)表示第m排，从左到右第n个数，如(4,2)表示实数8，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是 ．
【答案】（14，9）
【分析】根据题意可知第十个有理数为10，即100，根据第m排有m个数，找到第100个数即可求解．
【详解】解：依题意第m排有m个数，第十个有理数为10，即100，
则前m排共有1+2+3+⋅⋅⋅+m=1+m2m个数
当m=14时，前14排共有1+142×14=105个数
∴第100个数位于第14排第9个，即（14，9）
故答案为：（14，9）
【点睛】本题考查了数字的变化规律. 解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，利用规律解决问题．
【变式9-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在草稿纸上计算：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：13+23+33+⋯+203= ．
【答案】210
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律并用规律进行求解即可．
【详解】解：13＝1，
23+13=8+1=3=1+2，
13+23+33=1+8+27=6=1+2+3，
13+23+33+43=1+8+27+64=10=1+2+3+4＝10，
…
∴13+23+33+⋅⋅⋅+203＝1+2+3+4+…+20＝210．
故答案为：210．
【点睛】此题主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
【题型10 实数性质的综合应用】
【例10】（2023春·八年级单元测试）已知a是19的整数部分，b是19的小数部分，求2a+b的值．
【答案】19+4
【分析】运用完全平方数16，25确定4<19<5，所以a=4，b=19−4，进而求解2a+b．
【详解】∵16<19<25，
∴4<19<5，
∴19的整数部分为4，
∴a=4，b=19−4，
∴2a+b=2×4+19−4=19+4．
【点睛】本题主要考查无理数估算、求代数式的值；能够运用完全平方数确定无理数的整数部分是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b<0，且b的倒数是它本身，且a、c满足c−42+a+3=0．
（1）计算：a2−2a−c的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【答案】（1）13；（2）-8
【分析】（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵(c−4)2+a+3=0，
∴c−4=0，a+3=0，
解得：a=−3，c=4，
则a2−2a−c=(−3)2−2×(−3)−4 =9+6−2=13；
（2）∵b<0，且b的倒数是它本身，
∴b=−1，
∵a=−3，
∴−3和−1重合，−3和−1的中点为−2，
∵c=4，
∴与点C重合的点表示的数是−8．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+(a+b)m−m的立方根.
【答案】0或32
【分析】根据题意得a+b=0，cd=1，m=±1，以整体的形式代入所求的代数式即可．
【详解】因为a，b互为相反数，所以a+b=0.
因为c，d互为倒数，所以cd=1，
因为m的倒数等于它本身，所以m=±1.
①当a+b=0，cd=1，m=1时，cdm2+(a+b)m−m=1+0−1=0，
所以cdm2+(a+b)m−m的立方根是0；
②当a+b=0，cd=1，m=−1时，cdm2+(a+b)m−m=1+0+1=2，
所以cdm2+(a+b)m−m的立方根为32.
综上所述，cdm2+(a+b)m−m的立方根是0或32.
【点睛】此题考查立方根，实数的性质，解题关键在于掌握运算法则.
【变式10-3】（2023春·八年级单元测试）（1）已知x=−y，且x+y=−x−y，求x−y的值
（2）已知数a与b互为相反数，c与d互为倒数，x+2=0，求式子(a+b)2009−(a+b−cd)2008x3的值．
（3）已知25=x，y=2，z是9的算术平方根，求2x+y−z的平方根．
【答案】（1）x−y=0；（2）18；（3）±11
【分析】1由已知分别得到x=y或x=−y，x+y<0，进而确定x=y满足题意；
2由已知可知a+b=0，cd=1，z=−2，代入所求式子即可；
3由已知可知x=5，y=4，z=3，代入所求式子即可．
【详解】解：1∵x=−y，