2025年中考数学二轮专题复习讲义第15讲 正方形问题（含解析）

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1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在网格中确定格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形.
2.如图，在平面直角坐标系中， A−30,B01,平面内是否存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为正方形?若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP 为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 P的坐标.
设问进阶练
例 如图，抛物线 y=56x2−136x+1分别与x轴、y轴交于 B，A两点.
(1)如图①,连接AB,以AB为边向上作正方形ABCD,求点 C的坐标并判断点 C 是否在抛物线上?
(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为P，点 Q 为平面内一点，若以A，B，P，Q 为顶点的四边形是面积为5的正方形，求平移后的抛物线解析式；
(3)点M 是抛物线上一点，点H为平面内一点，连接BM，若点G在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，M，G，H为顶点且BM为边的四边形是正方形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
综合强化练
1.创新题·探究性试题已知抛物线 L₁:y=x²+2kx+k−2的顶点为M.抛物线 L₂:y=ax²+bx+c(a ≠0)的顶点为 M'.
感知特例：
(1)当k=0 k=0时，抛物线. L₁与抛物线 L₂的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：
①抛物线.L₁的 解析式为 ，抛物线L₂的 解析式为 ；
②补全表格；
形成概念：
我们发现(1)中的抛物线 L₁上的点和抛物线 L₂上的点关于直线 y=kx对称，则称抛物线. L₁与抛线物 L₂是关于k的反射抛物线.
探究问题：
(2)若抛物线. L₁与抛线物 L₂是关于k的反射抛物线.
①当 k=1时,M'的坐标为 ;
②在①的基础上，请求出抛物线. L₂的解析式，并在如图的网格中画出抛物线 L₂的图象；
③点 B 是抛物线 L₁上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线 L₂于点C，分别作点B，C关于抛物线L₁ 的对称轴对称的点. B',C',连接BC, CC',B'C',BB',当四边形 BB'C'C 为正方形时，求k的值.
作图区 答题区
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线
l:y=kx+b经过点A,C.
(1)求直线l的解析式；
(2)在第一象限内存在一点 D，使得 △ACD是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，求点 D 的
坐标；
(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点 M旋转 180°得到新
抛物线，其中点A，C的对应点分别是 A',C',，若以A，C，A'，C'为顶点的四边形是正方形，求点
M的坐标.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²+bx−2a≠0与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点，与y轴相交于点 C，点 D 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
(2)求 △BCD的面积；
(3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点 N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
考向4 正方形问题
一阶 方法突破练
1. 解:作正方形ACBD 和正方形ABC'D'如解图.
2.解:存在.
如解图，①当AB为正方形的边时(定线段为边)，当M,N在x轴上方时,过点 M₁作 M₁E⊥y轴于点E,过点 N₁作N₁D⊥x轴于点 D.
∵∠N₁DA=∠BEM₁=∠AOB=90°,
∴∠DN₁A+∠N₁AD=90°.
∵ ∠BAO+∠N₁AD=90°,∴∠DN₁A=∠BAO.
同理可得. ∠M₁BE=∠BAO,
∴∠DN₁A=∠M₁BE=∠BAO.
又∵ N₁A=M₁B=AB,
∴△N₁AD≅△BM₁E≅△ABO(依托一线三垂直模型构造全等三角形).
∵A(- 3 ,0),B(0,1),
∴N1D=BE=OA=3,AD=M1E=OB=1,
∴M1−13+1,N1−3−13;
当M，N在x轴下方时，
同理可得 M211−3,N21−3−3;
②当AB为正方形的对角线时，作M₃G⊥x轴于点G，过点M₃作M₃F⊥y轴于点 F.
设AG=x,则 OG=3−x,
∵AB=OA2+OB2=2,同①可证得 △AGM₃≅△BFM₃,
∴M3F=M3G=OG=3−x,
∴AM3=22AB=2,AM32= AG²+M₃G²,
∴2=x2+3−x2,
解得 x1=3+12 舍去), x2=3−12,
∴M3−3+123+12,同理可得 N31−321−32,综上所述，符合条件的M，N的坐标为M(-1， 3+1) ,N−3−13或 M11−3,N1−3−3或 M−3+123+12,N1−321−32(M,N两点的坐标可互换).
3.解：∵抛物线的解析式为 y=x²−2x−3,∴B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
①如解图①，当点 M在对称轴上时，过点 P 作PE 垂直直线x=1于点E,过点 B作BF⊥EP交EP的延长线于点F,
∵ ∠BPM = 90°,∴ ∠MPE +∠BPF = 90°,又∵∠PBF+∠BPF=90°,∴∠MPE=∠PBF,
∵BP=MP,∠PBF=∠MPE,∠PFB=∠MEP=90°,
∴△PFB≌△MEP,∴PF=ME,BF=PE,
设点P(m,m²-2m-3)(0