2025年中考数学二轮专题复习讲义第18讲 平行四边形问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第18讲 平行四边形问题（含解析），共17页。学案主要包含了一题多解，思路点拨，解法提示等内容，欢迎下载使用。
1.如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，在平面内确定一点 P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形.请在图中画出符合要求的点 P，保留作图痕迹并写出作图过程.
2.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请找出两组格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,2),C(0,4)三点，在平面内确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点 D 的坐标.
4.如图，平面直角坐标系中，直线 l1:y=−43x+4与y轴交于点 B，直线 l2:y=23x−2与y轴交于点 C，且两直线交于x轴上的A点.若点 P 是直线 l₁上的动点，点 Q 是直线. l₂上的动点，当以点O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P的坐标.
5.如图，抛物线 y=−x2+x+154与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC.设抛物线的对称轴与线段BC交于点 M，平面内存在点 N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.
6.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C.点 D为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²−3x+4与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点 C.直线1 y=43x+4经过点 C，与抛物线的对称轴交于点 D，点 E 为抛物线的顶点.
(1)点F为y轴上一点，若四边形 CDEF为平行四边形，求点F 的坐标;
(2)在平面内存在一点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标；
(3)已知点H为直线l与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使以B，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若直线l与抛物线的另一交点为F，点 P是抛物线上一点，点Q 为平面内一点，当四边形 FCPQ 为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，求点 P 的坐标；
(5)如图⑤，将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点 C，与x轴交于J，K两点，且新抛物线的对称轴与x轴交于点L，平面内是否存在点S，使得以C，L，K，S为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由.
三阶 综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 L:y=ax²+bx+c交x轴于A,B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,3),D(2,4)为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点E，点E 关于抛物线L的对称轴直线l的对称点为F，若点 E的横坐标为 −1,,连接CD,CF,DF,求. △CDF的面积；
(3)创新题·“全等抛物线”解析式定义：对于任意两条抛物线 y₁=a₁x²+b₁x+c₁和 y₂=a₂x²+ b₂x+c₂a₁≠0a₂≠0,当 |a₁|=|a₂|时，我们称这两条抛物线为“全等抛物线”.若点 M 是平面内任意一点，以点A，B，C，M为顶点作平行四边形，是否存在过该平行四边形中三个顶点且与抛物线L是“全等抛物线”的抛物线，若存在，请求出所有抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=x²+bx+c与x轴交于A(3,0),C两点,与y轴相交于点. B0−3,,点 M 为直线AB 上的点.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若 ∠AOM=∠ABC,,求 AM 的长;
(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
3.如图，抛物线 y=ax2−94x+3a≠0与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C,点E为x轴上一动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C关于x轴的对称点为( C',求 C'E+35AE的最小值及此时点 E的坐标；
(3)(x轴上的动点+抛物线上的动点)若点F在抛物线上，是否存在点 F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
4.如图①,抛物线 y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.且( OB=OC=4OA;
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,若D 为线段 BC 上一动点(不与 B,C 重合),将射线DC绕点 D 顺时针旋转 90°交抛物线于点 P，过点 P作. PE‖x轴,交BC于点 E.当. △PDE的周长取得最大值时，求点 P的坐标和 △PDE周长的最大值；
(3)(y轴右侧抛物线上的动点)若点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M 作直线MN∥AC交直线BC于点 N，是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区
考向1 平行四边形问题
一阶 方法突破练
1. 解:如解图①,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为点 P.点 P₁,P₂,P₃即为所求.
【一题多解】如解图②,连接AB,AC,BC,分别以点A,B，C为圆心，BC，AC，AB长为半径画弧，交点即为点P.点 P₁,P₂,P₃即为所求.
2. 解：以AB 为边的平行四边形ABCD 如解图①所示(答案不唯一)；以AB为对角线的平行四边形ACBD如解图②所示(答案不唯一).
3. 解:如解图,连接AB,AC,BC,
∵ AB 为平行四边形的一条边，
∴过点 C 作AB的平行线,截取CD=AB,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵ 点 B 先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点A，
∴点C先向下平移2个单位长度，再向左平移2个
单位长度即得到点 D₁，∴D₁(-2,2).
同理可得 D₂(2,6).
综上所述，点D的坐标为(-2，2)或(2,6).
4. 解:∵点A 是直线 l₁ 与直线l₂的交点,且在x轴上,∴A(3,0),设 Pp−43p+4,Qq23q−2,而 A(3,0),O(0,0),
①当PQ,AO 为平行四边形的对角线时,则PQ,AO的中点重合，
∴p+q=3+0−43p+4+23q−2=0+0,解得 p=2q=1,
∴P243;
②当PA,QO 为平行四边形的对角线时,则PA,QO的中点重合，
解得 p=2q=5,
∴P243;
③当PO,QA 为平行四边形的对角线时,则PO,QA的中点重合，
解得 p=4q=1,
∴P4−43;综上所述，点P的坐标为 243或 4−43.
5. 解:∵ 抛物线 y=−x2+x+154与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，
∴A−320,B520,c0154,抛物线的对称轴为直线 x=12,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−32x+154,
∵ 点 M 为 BC 与对称轴的交点, ∴M123,
∵以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴分三种情况讨论，
①如解图①，当CM为平行四边形的对角线时，过点C 作AM的平行线，过点 M作AC 的平行线，交于点N₁，由点 A 平移到点 M 的平移规律得 N12274;
②如解图②，当 AC 为平行四边形的对角线时，过点C 作 AM 的平行线，过点 A 作 CM的平行线，交于点N₂，由点 M 平移到点 C 的平移规律得 N2−234;
③如解图③，当 AM 为平行四边形的对角线时，过点 M 作AC 的平行线,过点 A 作 CM的平行线，交于点 N₃，由点 C平移到点 M 的平移规律得 N₃ −1−34.
综上所述，点 N 的坐标为(2, 24)或 −234或 −1−34.
6.解:存在.
∵ 抛物线y=x²-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)²-4,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
①当BC 为平行四边形的一边时，如解图①，则DE∥BC,且DE=BC,
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ 点 E 的横坐标为1.
∵ 点 B向左平移3个单位再向下平移3个单位到点
C,∴点 D的横坐标为-2或4,
将 D 点横坐标代入抛物线解析式，
∴D₁(-2,5),D₂(4,5),
同理,由平移规律得E₁(1,8),E₂(1,2);
②当BC为平行四边形的对角线时，如解图②，则BE=CD,∴点D的横坐标为2,
∴D₃(2,-3),∴CD∥x轴,
∴点E在x轴上,∴E₃(1,0).
综上所述,点E的坐标为(1,8)或(1,2)或(1,0).
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵ 直线 l:y=43x+4经过点C,∴C(0,4),
∵抛物线 y=−x2−3x+4=−x+322+254,
∴E−32254,抛物线的对称轴为直线 x=−32,
∵ 点 D 为抛物线的对称轴与直线l的交点，
∴将 x=−32代入 y=43x+4得,y=2,
∴D−322,∴DE=174,
由平行四边形的性质得DE=CF，
∵C(0,4),且四边形CDEF是平行四边形,
∴点 F 只能在直线 CD 的上方,
∴点F 的坐标为 0334;
(2)∵平行四边形以AC 为边,A(1,0),C(0,4),D(- 32,2),∴AC∥DG,AC=DG,
①由点 C向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 A,
得点 D 向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 G−12−2;
②由点A向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 C,
得点 D 向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 G−526,
∴ 点 G 的坐标为 −12−2或 −526;
(3)存在,
设点 N的坐标为((n,-n²-3n+4),B(-4,0),H(-3,0).
①当BH为平行四边形的一边时，BH∥MN，
∴M−32−n2−3n+4,
∵MN=BH,∴|n+32|=1,解得 n=−52或 n=−12,
∴N−52214或 N−12214;
②当BH为平行四边形的对角线时，∵平行四边形的对角线互相平分，. ∴xB+xH=xM+xN,
∴−4+−3=32+n,解得 n=112,∴N112394;综上所述，点N的坐标为 −52214或 −12214或 −112394;
(4)∵四边形 FCPQ 为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，如解图①，
∴直线 PQ 与 CF 上方的抛物线只有一个交点，
∵P₁Q₁∥CF,设直线 P₁Q₁ 的解析式为 y=43x+4+a,
联立 y=43x+4+ay=−x2−3x+4, 得 x2+133x+a=0,
∴Δ=1699−4a=0,解得 a=16936,
∴x2+133x+16936=0,解得 x1=x2=−136,
∴y1=y2=20936,∴P1−13620936,
当 PQ 在 CF 下方时，PQ 与抛物线有两个交点，
由题意知,直线 P₂Q₂可由 CF 向下平移 16936个单位得到，故直线 P₂Q₂的解析式为 y=43x−2536,
联立 y=43x−2536y=−x2−3x+4,
解得 x1=1326−136y1=229x1=2629+4312,
∴P21326−1362629−4312,P3(−1326−136, −2629−4312).
综上所述，点P的坐标为 −13620936或 1326−136 2629−4312)或 1326−1362629−4312;
(5)存在.
∵y=−x2−3x+4=−x+322+254,
∴设平移后的抛物线解析式为 y=−x+32−t2+254(t>0),
∵新抛物线经过点C,∴将C(0,4)代入,得t=3, ∴y=−x−322+254,
∵新抛物线与x轴交于 J，K两
点，对称轴与x轴交于点 L，
∴L( 32,0),K(4,0),
分三种情况讨论，如解图②.
①当CK 为平行四边形的对角线时，由点 L平移到点 C 的平移规律得点 K 平移到点 S₁的平移规律，即 S1524;
②当LK 为平行四边形的对角线时，由点 C 平移到点 L 的平移规律得点 K 平移到点 S₂的平移规律，即 S2112−4;
③当CL为平行四边形的对角线时，
由点 K平移到点 L的平移规律得点 C 平移到点 S₃的平移规律，即 S3−524,
综上所述，点S 的坐标为( 52,4):或 112−4或 −524.
三阶 综合强化练
1.解：(1)抛物线的解析式为 y=−14x2+x+3;
(2)【思路点拨】要求△CDF 的面积，可将其分成两个同底的三角形，再利用抛物线的对称性，得到F点到y轴的距离，即可求得△CDF的面积.
如解图①，设直线l与线段 CF交于点 G，
∵ 点 E 的横坐标为-1，点 E 关于直线l的对称点为点 F,
由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点F的横坐标为5，
∴F(5, 74),
设直线 CF的解析式为y=kx+p,把(C(0,3)和F(5, 74).代入，得 p=35k+p=74解得 k=−14,p=3
∴ 直线CF的解析式为 y=−14x+3,当x=2时, y=52,∴G252.
∴SCDF=SCDG+SDGF=12DG⋅xF=12×4−52× 5=154;
(3)存在.
如解图②，当四边形ACBM₁为平行四边形时，由点 C平移到点A的平移规律，得点 M₁的坐标为(4，-3)；当四边形ABM₂C 为平行四边形时，由点 A 平移到点C的平移规律，得点M₂的坐标为(8，3)；
当四边形ABCM₃为平行四边形时，由点 B 平移到点C的平移规律,得点 M₃的坐标为(-8,3),
过点A，B，M₁的抛物线解析式 L1:y1=14x2−x−3,
过点 B，C，M₂的抛物线解析式 L2:y2=14x2−2x+3,
过点A，C，M₃的抛物线解析式 L3:y3=14x2+2x+3,
∵ 抛物线 L 的解析式为 y=−14x2+x+3,
∴抛物线 L1:y1=14x2−x−3和抛物线 L₂:y₂= 14x2−2x+3和抛物线 L3:y3=14x2+2x+3与抛物线L是“全等抛物线”.
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=x²−2x−3=x−1²−4,顶点坐标为(1,-4);
(2)∵抛物线 y=x²−2x−3,
当y=0时,解得x=3或x=-1,∴C(-1,0).
∵B(0,-3),A(3,0),
∴OA=OB=3,OC=1,∴AC=4,AB=3 2.
∵∠AOM=∠ABC,∠MAO=∠CAB,
∴△AMO∽△ACB,
∴AMAC=AOAB,即 AM4=332,
∴AM=22;
(3)【思路点拨】根据特殊角∠OAB=45°,可得到△OAB为等腰直角三角形，得点M的坐标，分AM 为边和AM为对角线两种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质及点 M 的坐标可得点 F 的横坐标，代入抛物线解析式即可得到点 F的坐标.
存在.
由(2)可知AM=2 2,OA=OB,∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°,如解图①,过点M作MH⊥x轴于点H,∴MH=AH=2,
∵OA=3,∴OH=1,
∴M(1,-2).
分两种情况：①当AM为平行四边形的边时，由点 A 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为2或-2,
如解图②,当x=2时,y=-3,∴F₁(2,-3);当x=-2时,y=5,∴F₂(-2,5);
②当AM为平行四边形的对角线时，由点 E 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为4，如解图③,当x=4时,y=5,∴F₃(4,5).
综上所述,点F的坐标为(2,-3)或(-2,5)或(4,5).
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=−34x2−94x+3;
(2)【思路点拨】一般求线段和的最小值问题时，考虑用对称性，找到点C关于x轴的对称点C'，通过构造直角三角形，并结合三角函数得到 C'E+35AE的最小值，进而求得点E 坐标.
∵抛物线与y轴交于点 C,∴C(0,3),
∵ 点 C'与点 C 关于 x 轴对称,∴ 点 C'的坐标为(0,-3),
如解图①,过点 E 作 EM⊥AC 于点 M,过点 C'作 C'H⊥AC于点 H,交OA 于点E',
在 y=−34x2−94x+3中,令y=0,则 x₁=−4,x₂=1,令x=0,则y=3.
∴A(-4,0),C(0,3),∴AC=5,
∴sin∠CAB=OCAC=35,∴EM=AE⋅sin∠CAB=35AE,
∴C'E+35AE=C'E+EM≥C'H,
∵∠CAB+∠ACC'=∠HC'C+∠ACC'=90°,
∴∠CAB=∠HC'C,∴cs∠CAB=cs∠HC'C.
∵CC'=6,
∴C'H=CC'⋅cs∠HC'C=CC'⋅cs∠CAB=6×45=即 的最小值为 245, 245, C'E+35AE此时点 E 与点 E'重合,
∴OE'=OC'⋅tan∠E'C'O=OC'⋅tan∠CAB=3× 34=94,
∴ 点 E 的坐标为 −940;
(3)【思路点拨】可通过作平行线，得到交点，联立解析式求点F坐标，也可以平移直线AC，平移后的直线与抛物线的交点即为所求点 F.
存在.
如解图②,①过点 C 作CF₁∥x轴交抛物线于点 F₁,过点 F₁ 作 F₁E₁∥AC 交 x 轴于点 E₁,此时四边形ACF₁E₁为平行四边形.
∵C(0,3),∴点 F₁的纵坐标为3,
令y=3得 −34x2−94x+3=3,
解得x=0(舍去)或x=-3,
∴F₁−33;
②平移直线AC交x轴于点E₂，E₃，交x轴下方的抛物线于点 F₂,F₃连接AF₂,CE₂,CE₃,AF₃,E₂F₂,E₃F₃.
当 AC=F₂E₂时，此时四边形ACE₂F₂为平行四边形，当 AC=F₃E₃时，此时四边形ACE₃F₃为平行四边形.
∵ C(0,3),∴F₂,F₃|的纵坐标都是-3.
令y=-3,得 −34x2−94x+3=−3,
解得 x=−3−412或 x=−3+412,
∴F2−3−412−3,F3−3+412−3.
综上所述，点F 的坐标为(-3，3)或 −3−412−3或 −3+412−3.
4. 解:(1)抛物线的解析式为y=-(x+1) (x-4)= −x²+3x+4;
(2)【思路点拨】根据点的坐标可得到直线 BC的解析式，设出点E 的坐标，用字母表示PE 的长，再根据角相等得到△PDE∽△COB，三角形周长比即为相似比，通过列方程求出△PDE 周长的最大值.
∵OB=OC=4,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°,
∵B(4,0),C(0,4),
∴ 直线 BC的解析式为y=-x+4,设 Pt−t²+3t+4,其中0