2025年中考数学二轮专题复习讲义第19讲 利用“点圆”“线圆”解决线段最值问题（含解析）

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2.如图，抛物线 y=ax²+bx+4(a<0)与以A为圆心，AO长为半径的圆交y轴于点C，与⊙A的另一个交点为 B−15,，且圆心A在抛物线上，求抛物线的解析式.
3.如图，抛物线 y=x²−3x−4与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B,点C(0,1),以C为圆心,1为半径画圆,点P在⊙C上,连接AB,AP,BP,求 △ABP面积的最小值.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²−3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C.
(1)若以点 C 为圆心，1为半径的圆上有一动点 P，连接BP，点Q 为线段BP上一点，且 BQ=15BP,求线段OQ 的最大值；
(2)若点 D为抛物线上一点且横坐标为 −3,点E为y轴上一点，点 F在以点A为圆心，2为半径的圆上，求 DE+EF的最小值；
(3)若以点B为圆心，3为半径作圆，与x轴的正半轴交于点H，点M是⊙B上的一动点，连接AM，以AM为直角边向下作等腰 Rt△MAN,且 ∠MAN=90°,，连接 NH，求线段 NH 长度的取值范围.
综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)⊙M是 △ABC的外接圆，求⊙M的半径和圆心M的坐标；
(3)若点P是x轴上的动点，抛物线与⊙M的另一个交点为点 D，当 PD+PM的值最小时，求 PD+PM的最小值和P点的坐标.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=ax²+bx与x轴交于点A(4，0)，顶点B的坐标为( 2−2,,连接AB,作直线OC∥AB 交抛物线于点 C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标;
(3)若点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，以点 D 为圆心，以 2个单位长度为半径作⊙D,当⊙D与直线OC 相切时,求点 D坐标.
作图区 答题区
3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²−2ax+a+2a≠0与x轴交于 A−10,B 两点.
(1)求a的值;
(2)点M是第四象限内抛物线上的一点，过点B作. BN//AM,连接MN交x轴于点C，若 SACM: SBCN=9:4,求直线 MN的解析式；
(3)如图②,过点 P0−52作x轴的平行线交抛物线于H，R两点.在抛物线上存在一点E，使得以点E为圆心的⊙E过点 P，R，且与直线 y=d相切.求⊙E的半径和d的值.
作图区 答题区

一阶 方法突破练
1. 解：∵ 一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,
令x=0,解得y=3,
令y=0,解得x=-3,
∴A(-3,0),B(0,3),
∴AO=3,OB=3,
∴AB=32.
作圆心到直线的垂线.
如解图,过点 O 作 OC'⊥AB 于点 C',交⊙O 于点D',则当点C 在C'处,点D 在 D'处时,CD最小,为C'D'.
∵SAOB=12AO⋅BO=12AB⋅C'O,
∴C'O=322,
∴C'D'=C'O−D'O=322−2=22,
∴CD 长的最小值为 22.
2. 解:∵ 抛物线 y=ax²+bx+4(a<0)与以A 为圆心,AO长为半径的圆交y轴于点C,∴C(0,4),∴OC=4,如解图,连接AO,AB,AC,
∵以A为圆心，以 AO 的长为半径的圆恰好经过点B,C,
∴AO=AB=AC,
∴△AOC是等腰三角形,
∴A点在线段 OC的垂直平分线上，
∴点A 的纵坐标为2,设点A 的坐标为(x,2),
∵ AB=AC,B(-1,5),
∴AB²=AC²,即 x+1²+2−5²=x²+2−4²,解得x=-3,
∴A(-3,2),
把B(-1,5),A(-3,2)分别代入 y=ax²+bx+4,得 a−b+4=59a−3b+4=2,解得 a=−56b=−116
∴ 抛物线的解析式为 y=−56x2−116x+4.
3. 解:如解图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,交⊙C 于点P',连接P'A,P'B,此时△P'AB 的面积最小,当x=0时,y=-4,∴B(0,-4),当y=0时,x=4或x=-1,
∵点A在x轴的正半轴上,∴A(4,0).
∵C(0,1),∴BC=5,AO=4,BO=4,∴AB=4 2.
∵∠ABO=∠CBD,∠AOB=∠CDB=90°,
∴△AOB∽△CDB,
∴CDAO=BCBA,∴CD=BC⋅AOBA=522,
∴DP'=CD−CP'=522−1,
∴SP'AB=12AB⋅P'D=12×42×522−1=10−22.
∴△ABP面积的最小值为 10−22.
二阶 设问进阶练
例 解:((1)令 y=−x²−3x+4=0,则 x₁=1,x₂=−4,∴A(-4,0),B(1,0),则AB=5,即 OB=15AB,令x=0,则y=4,∴C(0,4),如解图①,连接 AC,AP,CP,则 AC=42,
∵∠QBO=∠PBA,且 BQ=15BP,则△ABP∽△OBQ,
∴AB:OB=AP:OQ=BP:BQ=5:1,当A,C,P 三点共线,且点 C 在 AP 之间时,AP 最大,此时 OQ最大,
则 OQ=15AP=15AC+1=42+15,
∴ 线段OQ的最大值为 42+15;
(2)∵ 点 D 为抛物线上一点且横坐标为-3，
∴将x=-3代入抛物线解析式中得y=4，
∴D(-3,4),
如解图②，作点D关于y轴的对称点G，连接AG交y轴于点 E',交⊙A于点 F',连接DE',DF',
∴DE'=E'G,G(3,4),
∴DE'+E'F'=F'G,DE+ElF的最小值为 F'G,
∴F'G=AG−2=65−2,
∴ DE + EF 的 最 小 值 为 65−2;
(3)如解图③,将点 B 绕 A 点顺时针旋转 90°到点B',连接AB',MB,B'N,
∵∠B'AN+∠BAN=90°,∠BAM+∠BAN=90°,
∴∠B'AN=∠BAM,
∵AB=AB',NA=MA,
∴△AB'N≌△ABM(SAS),
∴BM=B'N,
∴BM=B'N=3,
∴N在以 B'为圆心,3 为半径的圆上运动，
∵ B(1,0),A(-4,0),
∴B'(-4,-5),
∵ BM=3,∴H(4,0),
∴B'H=89,
∴NH 的最大值为 89+3,，NH的最小值为 89−3,
∴线段 NH 长度的取值范围为 89−3≤NH≤ 89+3.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),
∴ 抛物线的解析式为 y=ax²+bx+3,
∴把A(-1,0),B(3,0)分别代入抛物线 y=ax²+bx+3中,
得 a−b+3=09a+3b+3=0,解得 a=−1b=2,
∴抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)【思路点拨】三角形外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点，由圆的基本性质可得 CM=BM，再由两点间的距离公式求圆心M的坐标即可.
如解图①,连接MC,MB,
∵三角形外接圆的圆心为三角形三条边垂直平分线的交点，
∴设M(1,m),
∵ MB=MC,
∴1−32+m−02=
1−02+m−32,
解得m=1,
∴M(1,1),
∴MB=3−12+0−12=5,
∴⊙M的半径为 5,圆心M的坐标为(1,1);
(3)【思路点拨】作点D(或点M)关于x轴的对称点D',连接D'M交x 轴于点 P,此时 PD+PM 的值最小,为 MD'的长.
∵抛物线 y=−x²+2x+3=−x−1²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵M(1,1),点M到C,D的距离相等,
∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称，
∴D(2,3),
如解图②，设点D关于x轴的对称点为 D',连接 MD'交 x 轴于点 P,则D'(2,-3),
∴PD+PM=PD'+PM≥MD',
∴当M,P,D'三点共线时,PD+PM 有最小值,为MD',
∴MD'=1−22+1−−32=17,
设直线MD'的解析式为y=kx+b(k≠0),将M,D'两点坐标代入得 k+b=12k+b=−3,解得 k=−4b=5,
∴直线MD'的解析式为y=-4x+5,
当y=0时,-4x+5=0,解得 x=54,
∴P( 54,0),PD+PM 的最小值为 17.
2. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax²+bx与 x 轴交于点 A(4,0),顶点为B(2,-2),
∴把A(4,0),B(2,-2)分别代入 y=ax²+bx,得 16a+4b=04a+2b=−2,解得 a=12,b=−2
∴抛物线的解析式为 y=12x2−2x;
(2)如解图①,过点B作BM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点 N,
∵A(4,0),B(2,-2),∴BM=AM=OM=2,
∴∠OAB=∠MBA=45°,
∵OC∥AB,
∴∠CON=∠OAB=45°,∴CN=ON,设C(m,m),把C点坐标代入 y=12x2−2x,得 12m2−2m=m,解得 m₁=0(舍去), m₂=6,∴点C的坐标为(6,6);
(3)设⊙D 与直线 OC 相切于点 E,如解图②,当点 D 在直线 OC下方时,连接 DE,则 DE⊥OC, DE=2,,过点D 作DF⊥DE交x轴于点 F,过点F作FQ⊥OC 于点 Q,则四边形 FQED 是矩形,
∴FQ=DE=2,
由(2)可知,∠COA=45°,
∴OQ=FQ=2,∴OF=2,
∴F(2,0),
设直线OC的表达式为y=kx，
把C(6,6)代入得k=1,
∴直线OC的表达式为y=x,
∵FD∥OC,
∴设直线 FD的表达式为y=x+n,
把F(2,0)代入y=x+n,得2+n=0,解得n=-2,
∴直线FD 的表达式为γ=x-2,
联立抛物线与直线 FD的表达式得 12x2−2x=x−2,解得 x1=3+5,x2=3−5,
∵ 点 D 是抛物线上对称轴右侧的一个动点，
∴D3+51+5,
同理可得，当点 D 在直线 OC上方时，点 D 的坐标为 3+135+13.
综上所述，点 D 的坐标为 3+51+5或(3+ 13,5+13).
3. 解:(1)∵抛物线 y=ax²−2ax+a+2a≠0与x轴交于A(-1,0),B两点,
∴将A点坐标代入抛物线解析式，得a+2a+a+2=0,解得 a=−12,∴a的值为 −12;
(2)【思路点拨】由面积比得出相似比，以M，N两点坐标构造相似三角形，分别联立直线AM，BN 和抛物线的解析式得出M，N横坐标之间的关系，代入到构造的相似三角形比例关系中求解即可.
如解图①，过点 M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为S,T,
∵AM∥BN,∴△ACM∽△BCN.
∵S△ACM:S△BCN=9:4,∴MC:NC=AC:BC=3:2.
由(1)得，抛物线的解析式为 y=−12x2+x+32,当y=0时,解得x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵AC:BC=3:2,
∴AC:AB=3:5,故 AC=125,
∴C750,
∵MS∥TN,
∴△MCS∽△NCT,
∴CS:CT=MC:NC=3:2,
∴xM−xc:xc−xN=3:2,
即 xM−75:75−xN=3:2,
∵A(-1,0),设直线AM的解析式为y=k(x+1),
联立抛物线与直线AM的解析式并整理，
得x²+2(k-1)x+2k-3=0,
故 xA+xM=21−k,
同理可得，直线BN的解析式为：y=k(x-3), xB+xN=21−k,
∴xM−xN+xA−xB=0,∴xM−xN=xB−xA=4,
∵xM−75:75−xN=3:2,解得 xM=195,xN=−15,故点M，N的坐标分别为 195−4825,−153225,由 M,N 的坐标,得直线 MN 的解析式为 y = −45x+2825;
(3)【思路点拨】画出草图，根据圆的基本性质、垂径定理及其推论可求出点E的坐标，再由勾股定理求d的值即可.
∵ 抛物线 y=−12x2+x+32=−12x−12+2,
∴当 y=−52时, −12x−12+2=−52,
解得x=4或 x=−2,∴H−2−52,R4−52,
如解图②,∵⊙E过点R,P,∴EP=ER,
∴点 E 为线段 RP 的垂直平分线与抛物线的交点，设点 F 为 RP 的中点,EF 交 x 轴于点 G,则 RF=PF=2,EF⊥RP,
当d>0时,设⊙E与直线y=d相切于点D,则ED⊥直线y=d,当x=2时,,y= 32,∴E(2, 32), ∴EG=32,EF=32−−52=4.
由勾股定理得 PE=PF2+EF2=25,
∴⊙E 的半径为2 5,∴DE=2 5,
∴DG=DE+EG=25+32=45+32,∴d=45+32,同理,当d<0时,得 GQ=EQ−EG=25−32=45−32, ∴d=3−452,
综上所述，⊙E 的半径为2 5,d 的值为 45+32或 3−452.