2025年中考数学二轮专题复习讲义第24讲 面积等量关系（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第24讲 面积等量关系（含解析），共12页。学案主要包含了思路点拨等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在平面直角坐标系中， △ABC三个顶点的坐标分别为 A10,B−30,C−25..点P是y轴上一动点，若 SABP= 12SABC,求点 P 的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点 C的一条直线平分. △ABC的面积，求出这条直线的解析式.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点 C，其顶点为E，抛物线的对称轴与 BC交于点 M，在抛物线上是否存在一点 Q，使得 SQMB=SEMB?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点 E.
(1)在x轴上是否存在点 F，使得 SAOC=12SCAF?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得 SHAE=35SBCE?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得 SBCD=SBCM?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，是否存在过点A的直线l与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，若点 P 为线段 BC 上方抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作x轴的垂线交BC于点 Q.若线段PQ将 △PBC分成面积比为1：3的两部分，求点P的坐标.
综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=−x²−2x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
(2)若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将 △ABD沿 BD 翻折得到. △A'BD,若点 A'
恰好落在抛物线的对称轴上，求点 A'和点 D的坐标；
(3)(面积平分问题)点 P 为抛物线上一点，且直线 BP 把四边形ABCP分成面积相等的两部
分，求点 P的坐标.
作图区 答题区
2.如图，已知抛物线 y=−x²+bx+c分别与x，y轴交于A，B两点，直线 y=x+3经过点A，B，抛物线的顶点为 P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)现将抛物线向右平移 mm0)个单位，若平移后的抛物线与 △ABP有且只有一个公共点时，求m的值；
(3)(面积倍数问题)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q，使得 SABQ=2SABP?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
3.如图，抛物线 y=ax2+bx−209与x轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C,以AB为斜边在x轴的下方构造等腰 Rt△ABD,，点 P是抛物线上的一个动点，作直线PD交x轴于点 E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 在直线AC的下方,当 PD=2PE时，求点 P的坐标；
(3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点 P，使得对角线PD将四边形 PADC 分为面积比为1：3的两部分?若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区

考向2 面积等量关系
一阶 方法突破练
1. 解:∵A(1,0),B(-3,0),C(-2,5),∴AB=4,设点 P 的坐标为(0，m)(设出动点的坐标)，如解图，
则 SABP=12×4|m|=2|m|(表示出动三角形的面积).
由题意可得 SABC=12×4×5=10.
∴2|m|=12×10,∴|m|=52(根据两个三角形面积的等量关系求动点坐标)，
∴m=−52或 m=52.
∴点P 的坐标为 0−52或(0, 52).
2.解：如解图，取AB的中点D，作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积)，
∴△ACD与△BCD 是等底等高的两个三角形，则直线CD 平分△ABC的面积,
∵A(-2,0),B(2,4),
∴D(0,2),
设直线 CD的解析式为y=kx+b,将C(3,0),D(0,2)代入,得 b=23k+b=0,解得 k=−23,b=2,∴过点C且平分△ABC面积的直线CD 的解析式为 y=−23x+2.
3.解:存在,
∵ 抛物线 y=−x²+2x+3与 x 轴交于A,B 两点,与y轴交于点 C,顶点为E,∴B(3,0),C(0,3),E(1,4),∴直线BC的表达式为y=-x+3,∴M(1,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点 G，过点 E与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等)，
此时 SQMB=SEMB,
设直线EQ 的表达式为y=-x+m,
将E(1,4)代入,得4=-1+m,解得m=5,
∴ 直线EQ 的表达式为y=-x+5,
∵ 直线y=-x+5 与抛物线 y=−x²+2x+3交于点Q，
∴联立 y=−x+5y=−x2+2x+3,解得 x1=1y1=4舍去) x2=2y2=3,
∴点Q的坐标为(2,3),
∵EG=4,EM=2,
∴GM=EM=2,
设过点 G 与BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q₁，Q₂，此时 SQMB=SEMB,
则设直线 GQ₁(Q₂)的表达式为 y=-x+n,将 G(1,0)代入,得0=-1+n,
解得 n=1,∴直线GQ₁(Q₂)的表达式为y=-x+1(求出与直线 BC 平行的直线解析式).
∵直线y=-x+1 与抛物线 y=−x²+2x+3交于点Q₁,Q₂,
∴联立 y=−x+1y=−x2+2x+3,
解得 x1=3+172y1=−1−172y2=−1+172,
∴Q13+172−1−172,Q23−172−1+172.
综上所述，点Q的坐标为(2，3)或 3+172−1−172或 3−172−1+172.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)存在,
∵ 抛物线 y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，
∴A(-1,0),B(5,0),
∵△AOC 和△CAF等高,且 SAOC=12SCAF,
∴△CAF的底是△AOC底的2倍,
∵△AOC的底为 AO=1,∴△CAF 的底AF=2,
∴当点 F 在A 点左侧时,F(-3,0),当点 F 在 A 点右侧时,F(1,0).
综上所述,点F的坐标为(-3,0)或(1,0);
(2)存在,
由题意可知,AE=BE,
∵抛物线 y=−x²+4x+5与y轴交于点 C，
∴C(0,5),
∵SHAE=35SBCE,且△BCE 的底边 BE 上的高为5,∴△HAE 的底边AE 上的高为3,
①当y=3时, −x²+4x+5=3,
解得 x1=2+6,x2=2−6,此时 H2+63或 H 2−63;
②当y=-3|时, −x²+4x+5=−3,
解得. x1=2−23,x2=2+23,此时 H2−23−3或 H2+23−3,
综上所述，点 H 的坐标为( 2+63或 2−63或(2-2 3,-3)或(2+2 3,-3);
(3)存在,
如解图①，过点 D 作 BC 的平行线交抛物线于点M,连接BM,CM,则, SBCD=SBCM,
∵D(2,9),B(5,0),C(0,5),
∴ 直线 BC 的 解 析 式 为y=-x+5,
∴设直线 DM 的解析式为y=-x+b,
将 D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=11,
∴ 直线 DM 的解析 式 为y=-x+11,
∵ M 是直线 DM 与抛物线的交点，
∴令 −x+11=−x²+4x+5,解得 x₁=2(舍去), x₂=3,
∴M(3,8);
(4)存在,
∵B(5,0),D(2,9),
∴ 直线 BD 的解析式为y=-3x+15,
设直线l的解析式为y=ax+c，且直线l与直线 BD的交点为F(m,n),直线AF 即为所求,如解图②,由点坐标易得 1×5×12+5+9×2×12+3×9×12=30,
使 SABF=12S四边形ABDC,
即 12AB⋅n=15,∴n=5,
∵F(m,5)在y=-3x+15上,
∴5=-3m+15,解得 m=103,
∴F1035,
将A(-1,0),F( 103,5)代入γ=ax+c,解得 a=1513, c=1513,
∴直线l的解析式为 y=1513x+1513;
(5)∵线段 PQ 将△PBC 分成面积比为1:3的两部分，
∴SPQcSPQB=13或 SPQCSPQB=3.
设点 P 坐标为(xp, yp),
①若 SPQCSPQB=13, J 12PQ⋅xp12PQ⋅xB−xp=13,
即 xPxB−xP=13,xP5−xP=13,解得 xP=54.
此时点 P 的坐标为 5413516;
②若 SPQCSPQB=3, I 12PQ⋅xp12PQ⋅xB−xp=3,
即 xPxB−xP=3,xP5−xP=3,解得 xp=154.
此时点 P的坐标为 1549516.
综上所述，点P 的坐标为 5413516或 1549516.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)A(-3,0),B(1,0);
(2)由(1)得,A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-1,
如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点 H，则点H的坐标为(-1,0),
∴AH=BH=2,
由翻折的性质得A'B=AB=4,
∴在Rt△A'BH中,
A'H=A'B2−BH2=23,
∵点D 在x轴下方,
∴A'−1−23,
∴tan∠ABA'=A'HBH=3,
∴∠ABA'=60°,
由翻折的性质得 ∠ABD=∠A'BD=12∠ABA'=30∘,
∴DH=BH⋅tan∠ABD=2×33=233,
∴ 点D的坐标为 −1−233;
(3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等三角形.
如解图②,连接AC,BP交于点Q,过点A 作AE⊥BP于点E,过点 C作CF⊥BP于点 F.连接AP,PC,BC.
∵ BP 平分四边形 ABCP 的面积，
∴SABP=SBCP,
∴12BP⋅AE=12BP⋅CF,
∴AE=CF,
且∠EQA=∠FQC,
∠AEQ=∠CFQ=90°,
∴△AEQ≌△CFQ(AAS),∴AQ=CQ,
∴ 点 Q 为线段AC 的中点,. ∴Q−3232.
又∵B(1,0),∴直线 BQ 的解析式为 y=−35x+35.
∵ 点 P 为直线 BQ 与抛物线的交点，
∴令 35x+35=−x2−2x+3,解得 x1=125,x2=1(舍去).
∴点P的坐标为 −1255125.
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3;
(2)由(1)得 y=−x²−2x+3=−x+1²+4,将抛物线向右平移m个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为 y=−x+1−m²+4,
∵平移后的抛物线与△ABP 只有一个公共点，
∴平移后的抛物线经过点 B，
把B(0,3)代入,得 3=−1−m²+4,
解得 m₁=2,m₂=0(舍去),
∴m的值为2;
(3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出△ABP的面积,由 SABQ=2SABP,结合所设点Q的坐标利用三角形面积公式列方程求解.
存在.设点Q的坐标为 a−a²−2a+3,
分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB于点E,
∴Eaa+3,QE=a+3−−a²−2a+3=a²+3a,
∵SABP=SAPD+S梯形PDOB−SAOB=12×4×[−1−
−3]+12×3+4×1−12×3×3=3,
∴SABQ=2SABP=6,
∴SABQ=SBEQ−SAEQ=12QE∘xB−xE−12QE.
xA−xE=12a2+3a×−a−12a2+3a×(−3 −a)=12a2+3a×3=6,
解得 a₁=−4,a₂=1(舍去),∴Q(-4,-5);
②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ，过点 P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB于点E,同理可得Q(1,0).
综上所述,点Q的坐标为(-4,-5)或(1,0).
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=49x2+169x−209;
(2)∵△ABD为等腰直角三角形,如解图①,过点 D作DG⊥x轴于点G,则DG=AG=GB,
∴点D 的坐标为(-2,-3),
过点 P作PM⊥x轴交于点 M,
∴△EPM∽△EDG,
∴PMDG=EPED,
∵PD=2PE,
∴PM=1,
∴点 P 的纵坐标为-1,
代入二次函数解析式可得 49x2+169x−209=−1,解得 x=−4±332,
又∵ 点 P 在直线AC 的下方,
∴ 点 P 的坐标为 −4−332−1;
(3)存在,
设点 P 的坐标为 m49m2+169m−209,
∵A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-2 99),
可得直线AD的解析式为y=-x-5,
直线 CD的解析式为 y=718x−209,
如解图②,③,过点 P 作 PH⊥x轴,交直线 AD 于点H,交直线 CD于点 N,连接PA,PC,
∴点 H 的坐标为(m,-m-5),点 N 的坐标为 m718m−209,
∴PH=yP−yH=49m2+169m−209+m+5=49m2+259m +259,
PN=yP−yN=49m2+169m−209−718m+209=49m2+2518m.
在解图②中，当 SPAD:SPCD=1:3时,
SPAD=SPHD−SPHA=12PH⋅−2−m−12PH(−5− m)=32PH,
SPCD=SPNC−SPND=12PN⋅0−m−12PN(−2−m)=PN.
∵SPAD:SPCD=1:3,
∴32PH:PN=1:3,
∴PH:PN=2:9,|即 949m2+259m+259=249m2+2518m,解得 m=−50±53714,
又∵ 点 P 在直线AC的上方,
∴m=−50−53714;
在解图③中，当 SPCD:SPAD=1:3时,
SPAD=SPAB−SPDH=12PH⋅m+5−12PH⋅(m+ 2)=32PH,
SPCD=SPDN−SPCN=12PN⋅m+2−12PN⋅m=PN,
∵SPCD:SPAD=1:3,
∴32PH:PN=3:1,
∴PH:PN=2:1,即 49m2+259m+259=249m2+2518m),解得 m=±52,
又∵ 点 P 在直线AC的上方,∴ m=52,综上所述，点 P的横坐标为 −50−53714- 52.