2025年中考数学二轮专题复习讲义第28讲 利用“将军饮马”解决线段最值问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第28讲 利用“将军饮马”解决线段最值问题（含解析），共10页。学案主要包含了一题多解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)， B−32,在x轴上找一点 P，使. PA+PB的值最小，求此时点P的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,4),在直线 x=3上找一点 P，使得 |PA−PB|的值最大，求 |PA−PB|的最大值.
3.如图，在平面直角坐标系中， A−20,B13,，已知点 C是直线l:y=x上一动点,当 y=x AC+BC取得最小值时，求点 C的坐标.
4.如图，已知直线 y=−x+4与y轴、x轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).点 D,E分别是线段OB,AB上的动点,求 △CDE周长的最小值.
5.如图，在平面直角坐标系中， A−3−1,B−1−3,,若D 是x轴上一动点，C 是y轴上一动点，求四边形 ABCD 周长的最小值.
设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²+4x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，顶点为点 D，点 C关于直线l的对称点为点 E.
(1)如图①，若点P是y轴上一动点，当. BP+PE取得最小值时，求点P的坐标；
(2)如图②,连接CD,点Q是x轴上一动点,连接CQ,DQ,求 △CDQ周长的最小值；
(3)如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形 DENM 周长的最小值.

综合强化练
1.如图，抛物线 y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于A,B(3,0)两点(点A 在点B的左侧),且. AB=4,与y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证: BC⊥CD;
(3)若点M为OB上一动点，点N为DB上一动点，是否存在点M，N使得 △CMN的周长最小?若存在，请求出点M，N的坐标及. △CMN周长的最小值；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
2.如图①,抛物线 y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于点A,B(1,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且 OA=3OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,连接AC,BC,点M为 △ABC内一点，连接MA，MC，分别以AM，AC为边，在它们的上方作等边 △AME,等边 △ACF,连接EF,求证: EF=CM;
(3)在直线 BC上是否存在一点 P，使得 PA+PD的值最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区

考向3 利用“将军饮马”解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：作图，确定线段和最小时动点的位置，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A',连接 BA'交 x 轴于点P,点 P 即为所求,连接AP.
∵ 点 A 与点 A'关于x轴对称,
∴AP=A'P,
∴PA+PB=PA'+PB=A'B.
此时 PA+PB 的值最小.
利用直线解析式求坐标.
∵A(2,1),∴A'(2,-1).
∵ B(-3,2),∴直线 BA'的解析式为 y=−35x+15.当y=0时,则 0=−35x+15,解得 x=13.
∴当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为(( 13,0).
2.解：作图，确定线段差最大时动点的位置.如解图，连接 AB 并延长与直线x=3交于点P，点 P即为所求，此时|PA-PB|的值最大,最大值为AB的长，
利用勾股定理求线段的长.
∵A(1,1),B(2,4),
∴AB=1−22+1−42=10.
∴ |PA-PB|的最大值为 10.
3.解：如解图，作点 A 关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点 C',连接A'C,则 AC+BC=A'C+BC≥A'B,∴ 当 A',C,B 三点共线时,AC+BC的值最小，最小值为A'B 的长,此时点 C 与点 C'重合.
∵ 点 A 与点 A'关于直线 l:y=x对称,A(-2,0),
∴A'(0,-2).
∵ B(1,3),∴直线A'B的解析式为y=5x-2.
联立 y=5x−2y=x,解得 x=12y=12
∴当AC+BC取得最小值时，点C的坐标为 1212.4. 解:如解图,作点C关于AB,OB的对称点C',C",连接AC',C'E,C"D,C'C",C'C"分别交AB,OB 于点E',D',
则CE=C'E,CD=C"D,△CDE 的周长为 CE+CD+ DE=C'E+C''D+DE≥C'C''
∴当C',E,D,C''四点共线时,△CDE 的周长取得最小值,此时点 E 与点 E'重合,点 D 与点 D'重合,
∴△CDE周长的最小值即为C'C"的长.
∵ 直线y=-x+4,点 C(0,1),
∴AO=4,OC=1,∠OAB=45°,
∴AC=3,
∵ 点 C 关于 AB 的对称点为点C',
∴∠C'AB=45°,AC'=AC=3,
∴∠CAC'=90°,
∵ 点 C 关于 OB 的对称点为点 C",
∴CC"=2,
∴AC"=5,
∴ 在 Rt△C'AC"中, C'C''=AC'2+AC''2=34.
∴△CDE周长的最小值为 34.
5.解：如解图，分别作点A关于x轴的对称点E、点B关于y轴的对称点 F，连接EF 交x轴于点 D'，交y轴于点 C',连接AD',BC'.在x轴,y轴上分别任取一点D,C,连接AD,BC,CD,则AD'=D'E,BC'=C'F,∴ AB + BC + CD + AD ≥ AB+BC'+C'D'+AD'=AB+ C'F+C'D'+D'E=AB+EF,∴ 当点 D,C 分 别 与 点D',C'重合时,四边形 ABCD的周长有最小值，最小值为AB+EF,
∵A(-3,-1),B(-1,-3),
∴E(-3,1),F(1,-3),
∴AB=22,EF=42,
∴AB+EF=62,
∴ 四边形ABCD 周长的最小值为6 2.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)如解图①，作点E关于y轴的对称点 E'，连接E'B 与 y 轴交于点 P,此时 BP+PE 取得最小值,为BE'的长,
根据题意,令x=0,则y=2,
∴C(0,2),令y=0,
解得 x=2+6或 x=2−6,
∴B2+60,
∵抛物线的对称轴为直线 x=−42×−1=2,点 C 与点 E 关于抛物线对称轴对称，
∴E(4,2),∴E'(-4,2),
∴直线BE'的解析式为 y=−6+615x+6+4615,当x=0时, y=6+4615,
∴当BP+PE 取得最小值时,点 P 的坐标为(0, 6+4615);
【一题多解】如解图②，作点 B关于y轴的对称点B',连接B'E 与y轴交于点 P,此时BP+PE 取得最小值,为 B'E 的长,根据题意,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,解得. x=2+6或 x=2−6, ∴B2+60,∵ 抛物线的对称轴为直线 x = −42×−1=2,点 C 与点 E 关于抛物线对称轴对称,∴E(4,2),∵ 点 B 与点 B'关于 y 轴对称, ∴B'−2−60,∴ 直线 B' E 的解析式为 y = 6−615x+6+4615,当x=0时. y=6+4615,：当 BP+PE取得最小值时，点P的坐标为 06+4615.
(2)∵CD长为定值,
∴当CQ+DQ 的值最小时,△CDQ的周长最小.
如解图③，作点 C 关于x轴的对称点 C'，连接C'D交x轴于点Q,连接CQ,此时CQ+DQ 的值最小,为C'D 的长,过点 D 作 DF⊥y轴于点 F.
由抛物线解析式可知顶点D(2，6)，
∴CF=4,DF=2,∴CD=CF2+DF2=25.
∵点 C 与点 C'关于x轴对称,∴CQ=C'Q.
∴CQ+DQ=C'Q+DQ=C'D,
∵C(0,2),∴C'(0,-2),∴C'F=8.
∴C'D=C'F2+DF2=217,
∴△CDQ周长的最小值为 25+217;
【一题多解】∵ CD 长为定值,∴当CQ+DQ 的值最小时，△CDQ的周长最小.如解图④，作点 D关于x轴的对称点 D',连接 CD'交 x 轴于点 Q,连接DQ,此时,CQ+DQ 的值最小,为CD'的长,过点C作CH⊥DD'于点 H，由抛物线解析式可知顶点D(2,6),∴ D'(2,-6),∴CH=2,HD'=8,∴ CD'=CH2+HD'2=217,CD=CH2+DH2=2 5,∴△CDQ 周长的最小值为 25+217.
(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),
如解图⑤，作点E关于x轴的对称点 E'，作点 D 关于y轴的对称点 D',连接D'E'交y轴于点 M',交x轴于 N',连接 DM',EN',则 DM' = D'M',EN'=E'N',∴D'(-2,6),E'(4,-2),
∵四边形 DENM 的周长= DM+MN+NE+DE≥ DM'+M'N'+N'E+DE=D'M'+M'N'+N'E'+DE,
∴ 当点 M 在 M',点 N 在 N'时四边形 DENM 的周长取得 最 小 值,最 小 值 为 D'E'+DE的长，
∵D'E'=10,DE=
2−42+6−22=25,
∴四边形 DENM 周长的最小值为 10+25.
三阶 综合强化练
1. (1)解:∵ 抛物线 y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于B(3,0),AB=4,∴A(-1,0),
∴将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式，
得 a−b+3=09a+3b+3=0,解得 a=−1b=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)证明：由(1)得抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−22×−1=1,C03,
∴抛物线顶点 D 的坐标为(1,4),
∴CD=1−02+4−32=2,
BC=3−02+0−32=32,
BD=1−32+4−02=25,
∴CD²+BC²=BD²,△BCD为直角三角形，
∴∠BCD=90°,∴BC⊥CD;
(3)解:存在.
如解图，作点 C关于x轴的对称点 C'，点 C 关于 BD的对称点 C",CC"交 BD 于点 E,连接 C'C",分别交OB,BD于点M,N,
此时△CMN 周长最小,最小值为 CN+MN+MC= C''N+MN+C'M=C'C'',
由(2)得C(0,3),D(1,4),
∵B(3,0),
∴直线 BD的解析式为y=-2x+6①,
∴ 直线 CC"的解析式为 y=12x+3circle2,
联立①②,得 −2x+6=12x+3,
解得 x=65,∴y=185,
∴E65185,∴C''125215,
∵ 点 C 与点 C'关于x轴对称,
∴C'0−3,∴C'C''=1252+215+32=12105,直线 C'C"的解析式为y=3x-3③,令y=0,解得x=1,∴M(1,0).
联立①③得,-2x+6=3x-3,解得 x=95,∴y=125, ∴N95125.
综上所述,当M(1,0),,N⁽ 95 15,)时,此时△CMN的周长最小，最小值为 12105.
2. (1)解:∵抛物线 y=ax2+bx−3a≠0,
∴令x=0,解得 y=−3,∴C0−3,OC=3,
∵OA= 3OC,∴OA=3,∴A(-3,0),
∵B(1,0),
∴将A，B 两点的坐标代入抛物线解析式，
得 9a−3b−3=0a+b−3=0,解得 a=33b=233
∴抛物线的解析式为 y=33x2+233x−3;
(2)证明:∵△AME 和△ACF为等边三角形,
∴AE=AM,AF=AC,∠EAM=∠FAC=60°,
∴∠EAM-∠FAM=∠FAC-∠FAM,
∴∠EAF=∠MAC,∴△AEF≌△AMC,
∴EF=CM;
(3)解:存在.
如解图，作点 A 关于直线 BC的对称点A'，连接A'D，与直线BC 交于点 P,点 P 即为所求,连接PA,此时PA+PD 取得最小值，最小值为A'D 的长.
在Rt△AOC中,( OC=3,OA=3,∴∠ACO=60°,
在 Rt△BOC中,OC= 3,OB=1,
∴∠BCO=30°,
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°,
∴点A 和点 A'关于点 C对称,∴A'(3,-2 3).
∵B(1,0),C(0,- 3),
∴直线 BC的解析式为 y=3x−3,
∵y=33x2+233x−3=33x+12−433,
∴ 点 D 的坐标为 −1−433,
∴ 直线A'D 的解析式为 y=−36x−332,
联立 y=−36x−332,y=3x−3 解得 x=−37y=1037
∴点P 的坐标为 −371037.