苏科版七年级数学下册精品专题8.1幂的运算【八大题型】同步练习(学生版+解析)

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专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10024" 【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】  PAGEREF _Toc10024 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24752" 【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】  PAGEREF _Toc24752 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18061" 【题型3 利用幂的运算法则比较大小】  PAGEREF _Toc18061 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】  PAGEREF _Toc22405 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12064" 【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】  PAGEREF _Toc12064 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21045" 【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】  PAGEREF _Toc21045 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20217" 【题型7 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc20217 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型8 新定义下的幂的运算】  PAGEREF _Toc15259 \h 4【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)452019×−1.252020；(2)−93×−233×133．【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算−542023×(−0.8)2022的结果是（　　）A．1 B．−1 C．54 D．−54【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023−21×20.23；(2)(−1.5)2024×(23)2023【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m−2n= ．【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a−2b+1的值为 ．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求x2m3+ym6−x2y3m⋅ym的值．【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A=999999，B=119990，是比较A，B大小（    ）A．A>B B．A23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【变式3-2】（2023春·江苏·七年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“”）．【变式3-3】（2023春·河北张家口·七年级统考阶段练习）阅读：已知正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，若b>c，则ab>ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a>c，则ab>cb．根系是 ．【变式6-3】（2023春·江西南昌·七年级南昌市第十九中学校考期末）若am=an(a>0且a≠l，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果8x=25，求x的值；(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；(3)若x=5m−3，y=4−25m，用含x的代数式表示y．【题型7 幂的混合运算】【例7】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）计算：(1)a4+(−2a2)3−a8÷a4；(2)2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2．【变式7-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）计算：(1)2x3y2⋅(−2xy2z)2；(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．【变式7-2】（2023春·上海青浦·七年级校考期中）计算：−12xy22⋅8x4y2−2x2y23．【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）计算：an−5an+1b3m−22+an−1bm−23−b3m+2．【题型8 新定义下的幂的运算】【例8】（2023春·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24＝_____，log216＝_____，log264＝_____．(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，M>0，N>0）．(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【变式8-1】（2023春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示3xyz，表示−2abcd，则运算的结果为（    ）A．−12m3n4 B．−6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4【变式8-2】（2023春·江苏淮安·七年级期中）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：(1)22⊕23的值为 ；(2)若2p=3,2q=5,3q=7，求2p⊕2q的值；【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b，如果ac=b．我们叫a,b为“雅对”．例如：因为23=8，所以2,8=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式3,3+3,5=3,15成立．证明如下：设3,3=m，3,5=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则3,15=m+n，即3,3+3,5=3,15．(1)根据上述规定，填空：2,4=_________；5,1=_________；3,27=_________．(2)计算5,2+5,7=___________，并说明理由．(3)利用“雅对”定义证明：2n,3n=2,3，对于任意自然数n都成立．专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10024" 【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】  PAGEREF _Toc10024 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24752" 【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】  PAGEREF _Toc24752 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18061" 【题型3 利用幂的运算法则比较大小】  PAGEREF _Toc18061 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】  PAGEREF _Toc22405 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12064" 【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】  PAGEREF _Toc12064 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21045" 【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】  PAGEREF _Toc21045 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc20217" 【题型7 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc20217 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型8 新定义下的幂的运算】  PAGEREF _Toc15259 \h 15【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)452019×−1.252020；(2)−93×−233×133．【答案】(1)54(2)8【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．【详解】（1）解：原式=452019×542020=452019×542019×54=45×542019×54=1×54=54；（2）解：原式=−93×−23×133=−93×−293=−9×−293=23=8．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算−542023×(−0.8)2022的结果是（　　）A．1 B．−1 C．54 D．−54【答案】D【分析】根据积的乘方的逆运算，即可得到答案．【详解】解：−542023×(−0.8)2022=−54×−542022×−452022=−54×−54×−452022=−54，故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是积的乘方运算的逆运用进行化简．【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【答案】500000【分析】根据积的乘方即可求出答案．【详解】原式=35×(23)5×56 =（3×23）5×56=25×55×5=（2×5）5×5=5×105=500000【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023−21×20.23；(2)(−1.5)2024×(23)2023【答案】(1)2023(2)1.5【分析】（1）先变形，再利用乘法分配律合并计算；（2）先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可．【详解】（1）解：325×202.3+87%×2023−21×20.23=175×10×20.23+87×20.23−21×20.23=34×20.23+87×20.23−21×20.23=34+87−21×20.23=100×20.23=2023；（2）−1.52024×232023=−1.52023×232023×−1.5=−32×232023×−1.5=−12023×−1.5=1.5【点睛】本题考查了乘法分配律，积的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式．【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m−2n= ．【答案】825【分析】逆用同底数幂的除法公式及幂的乘法公式，化成已知条件的形式，再计算即可求解.【详解】解：x3m−2n=x3m÷x2n=xm3÷xn2=23÷52=825.故答案为：825.【点睛】本题考查同底数幂的除法及幂的乘法公式的逆运算，熟练掌握公式后再灵活变通是解题关键.【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a−2b+1的值为 ．【答案】4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】：∵2a=18，2b=3，∴2a-2b+1=2a÷（2b）2×2=18÷32×2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求x2m3+ym6−x2y3m⋅ym的值．【答案】-5【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】∵x3m=2，y2m=3，x2m3+ym6−x2y3m⋅ym=(x3m)2+(y2m)3−(x6my3m⋅ym)=(x3m)2+(y2m)3−(x3my2m)2=22+33−2×32=−5.【点睛】考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．【答案】2【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54和a＜b＜c＜d即可得到a，b，c，d的值，故可求解．【详解】∵10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54，3不是10000的公约数，∴3b=1则b=0∴2a×4c×5d=10000∵整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d∴10000=2−2×43×54符合题意∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2故答案为：2．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A=999999，B=119990，是比较A，B大小（    ）A．A>B B．A23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【答案】(1)C(2)254