初中数学北师大版（2024）八年级上册第四章 一次函数1 函数课时训练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册第四章 一次函数1 函数课时训练，共62页。
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型的理解！
【题型1 根据k的几何意义求三角形的面积】
1．（2023春·上海·九年级期中）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
A．3B．6C．4D．9
2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为S1、S2、S3，则( )
A．S1>S2>S3B．S30)上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为 ．
5．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，点B是反比例函数y=12x(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
6．（2023春·山东聊城·九年级统考期末）如图，点E,F在函数y=2x的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A,B，且点A的横坐标为4，点B的纵坐标为83，则ΔEOF的面积是 ．
7．（2023春·江西新余·九年级统考期末）如图曲线C2是双曲线C1：y＝8x（x＞0）绕原点逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于 ．
【题型2 已知三角形的面积求k】
1．（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=kx上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（ ）
A．3B．33C．6D．9
2．（2023春·重庆巴南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF,△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【题型3 根据k的几何意义求四边形的面积】
1．（2023春·四川巴中·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数y=−8xx0)的图象经过矩形OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．

5．（2023春·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，反比例函数y=kx的图象x经过BC边上的点D和AB边上的点E，若D好是BC的中点，其坐标为(2,3)，连接OD、OE，则四边形ODBE的面积为 ．

6．（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝3x的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 ．
7．（2023春·江苏常州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图像与一次函数y=mx+bm0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON． 若四边形OMBN的面积为3，则k2−k1=( )
A．3B．-3C．32D．6
5．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州高级中学统考期中）如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝kx(k0，x>0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（ ）
A．54B．154C．4D．5
7．（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y=3x的图象上，过点A作AD//x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y=kx，则k的值是 ．
【题型5 根据k的几何意义求坐标】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D2,1在对角线OB上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是6，则点B的坐标为（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
2．（2023春·江西上饶·九年级统考期末）如图，已知矩形OABC的顶点B（-8，6）在反比例函数y=kx的图象上，点A在x轴上，点C在y轴上，点P在反比例函数y=kx的图象上，且横坐标为a（a0)的图象分别与AB、BC相交于点D、E，EM⊥x轴交x轴于点M，交OD于点F．已知：S四边形COME=6,OA=5,OC=2．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点D、F的坐标；
(3)求△OED的面积．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）如图，点Am，1和点B在反比例函数y=kxk>0，x>0的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD=3AC．

(1)若AD=BD，求k的值．
(2)连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标．
5．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象的交点．
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB,AB．若△OAB的面积为15，求点B的坐标．
6．（2023春·江苏·九年级期末）如图，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=kxk>0的图象于Q，S△OQC=32，则k的值和Q点的坐标分别为 ．
7．（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx(x>0)的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD=2，S△AOC=5，则点C的坐标是 ．
【题型6 根据k的几何意义判断面积的变化情况】
1．（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，等腰三角形△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y=kxx>0的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．先增大后不变
2．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点Ba,b是反比例函数y≤4x在第三象限图像上的一个动点，以B为顶点，原点对称中心作矩形ABCD，AB⊥x轴于点E，过点O的直线MQ分别交AD、BC边于点M、Q，以MQ为一边作矩形MNPQ，且直线PN恰好经过点E，如果点B在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形MNPQ的面积的大小变化情况是（ ）

A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．一直减小
3．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）如图，点M是反比例函数y=5x(x>0)图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y=−5xx0)在第一象限图象上一点，点A1的坐标为(1, 0)．
专题6.4 反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型的理解！
【题型1 根据k的几何意义求三角形的面积】
1．（2023春·上海·九年级期中）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
A．3B．6C．4D．9
【答案】D
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝12(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论．
【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b，a﹣b)．
∵点B在反比例函数y＝6x的第一象限图象上，
∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC﹣S△BAD＝12a2﹣12b2＝12(a2﹣b2)＝12×6＝3．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2−b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为S1、S2、S3，则( )
A．S1>S2>S3B．S30)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
【答案】92
【分析】先求出k=3，再由S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD，即可求解．
【详解】解：设点B(s,t)，则st=12，
∵M是OB的中点，
∴点M(12s,12t)，
则k=12s· 12t=14st=3，
连结OD，如图所示：
∵BA⊥y轴，
∴BA∥OF，
∴S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD=12×12-12×3=92．
故答案为92．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质等知识．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．（2023春·山东聊城·九年级统考期末）如图，点E,F在函数y=2x的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A,B，且点A的横坐标为4，点B的纵坐标为83，则ΔEOF的面积是 ．
【答案】83
【分析】作EC⊥x轴于C，EP⊥y轴于P，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，83)，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立反比例函数解析式求出点，F的坐标．由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，
由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，83)，
由点B的坐标为(0，83)，设直线AB的解析式为y=kx+83，将点A的坐标代入得，0=4k+83，解得k=-23．
∴直线AB的解析式为y=-23x+83．
联立一次函数与反比例函数解析式得，
y=−23x+83y=2x，解得x=1y=2或x=3y=23，
即点E的坐标为（1，2），点F的坐标为（3，23）．
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=12×2=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=12×（AF+CE）×CD=12×（23+2）×(3-1)=83．
故答案为：83．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查了反比例函数k的几何意义、一次函数解析式的求法，两函数交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数k的几何意义，利用转化法求面积是解决问题的关键．
7．（2023春·江西新余·九年级统考期末）如图曲线C2是双曲线C1：y＝8x（x＞0）绕原点逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于 ．
【答案】8
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题.
【详解】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝−8x过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝4
∴△POA的面积是8
故答案为8．
【点睛】此题主要考查反比例函数系数k的几何意义：
①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．
②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k,且保持不变．
【题型2 已知三角形的面积求k】
1．（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=kx上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（ ）
A．3B．33C．6D．9
【答案】A
【分析】设C点坐标为(a,ka)．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BC=2AB=2a，AC=BC2−AB2=3a，那么A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．根据SΔACD=SΔABD−SΔABC，列出方程12a(ka+3a)−12a⋅3a=3，即可求出k．
【详解】解：设C点坐标为(a,ka)．
∵AB⊥y轴，∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=a，BC=2AB=2a，
∴AC=BC2−AB2=3a，
∴A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．
∵SΔABD=12AB⋅OB=12a(ka+3a)，
SΔABC=12AB⋅AC=12a⋅3a，
SΔACD=SΔABD−SΔABC，
∴ 12a(ka+3a)−12a⋅3a=3，
∴ 12k=3，
∴k=6．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是设C点坐标为(a,ka)，用含a的代数式表示出A点坐标．
2．（2023春·重庆巴南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF,△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM=k2，
∴12•ON•AN=12•OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=12S△AOE=9，
∴S△FME=13S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6=k2，
∴k=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【题型3 根据k的几何意义求四边形的面积】
1．（2023春·四川巴中·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数y=−8xx0的图像与一次函数y=mx+bm0时，PQ⋅DQ的值先增大后减小，
∴SP＜SA．
故答案为：8，＜，先增大后减小．
（2）∵m=−1，b=4．
∴直线的解析式为y=−x+4，
设A点坐标为s,t，
∴s+t=4，
∴CA=CB=8，
过P点作PE∥x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F，
∴CP=8−2PE，
设Ex,y，则Pky,y，
∴PE=x−ky，
∴2PE=2x−2ky=24−y−2ky=8−2y+ky，
∴CP=2y+ky
∵y＞0，k＞0，
∴y＞0时，y+ky先减小后增大，
∴CP先减小后增大，
∴CA＞CP．
故答案为：8，＞，先减小后增大．
探究二：
设点G的坐标为x,y，则xy=k．
由题意得点Q、A、B的坐标分别为2x,2y、2x,k2x、k2y,2y．
∵△QAB的面积=12×2y−k2x×2x−k2y
=12×4k−k−k+k24k
=98k=9，
∴k=8．

【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【题型4 已知四边形的面积求k】
1．（2023春·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则k的值（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标(t+2，2)，根据点B、E在反比例函数y=kx的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【详解】∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=AF=2，AB=AF+BF=2+2=4．
设B点坐标为(t，4)，则E点坐标(t+2，2)，
∵点B、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4t=2t+2，
解得：t=2，k=8．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝8xD．y＝－8x
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得S△CDE=12|k|=2，解得即可．
【详解】解：∵正方形的面积为8，
∴S△CDE=2，
∵正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，BD∥x轴，
∴S△CDE=12|k|，
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4，
∴该反比例函数的解析式为y=-4x，
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，得到关于k的方程是解题的关键．
3．（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线y=kx(k≠0)经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（ ）
A．5B．52C．53D．103
【答案】D
【分析】设点D的坐标为a,ka，则B2a,2ka，Ea2,2ka，F2a,k2a，根据四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点D的坐标为a,ka，
∵点D为矩形对角线OB，CA的交点，
∴点D为对角线OB的中点，
∴B2a,2ka，
∵四边形OABC为矩形，
∴点F的横坐标为2a，E点的纵坐标为2ka，
∴Ea2,2ka，F2a,k2a，
∵四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，
∴122a−a22ka−ka+122a−a2ka−k2a=5，
解得：k=103，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，解题的关键是设出点D的坐标表示出点E和F的坐标，利用四边形BEDF的面积列方程．
4．（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON． 若四边形OMBN的面积为3，则k2−k1=( )
A．3B．-3C．32D．6
【答案】D
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−S△OAM−S△OCN=3，
∴k2−k1=3，
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．
5．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州高级中学统考期中）如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝kx(k0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（ ）
A．54B．154C．4D．5
【答案】D
【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n，从而可求出n的值，即可得到k的值.
【详解】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，
则有BM=4-1=3，AM=m-n，
∴S菱形ABCD=4×12BM•AM，
∵S菱形ABCD=452，
∴4×12×3（m-n）=452，
∴m-n=154，
又∵点A，B在反比例函数y=kx，
∴k=m=4n，
∴n=54，
∴k=4n=5，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.
7．（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y=3x的图象上，过点A作AD//x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y=kx，则k的值是 ．
【答案】-5.
【分析】连接OD，根据反比例函数系数k的几何意义得到SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，从而得到SΔAOD=12S平行四边形ABCO=12×8=4，即可得到3+|k|2=4，解得k=−5．
【详解】解：连接OD，
由题意可知，SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，
∴SΔAOD=3+|k|2，
∵SΔAOD=12S平行四边形ABCO=12×8=4，
∴ 3+|k|2=4，
解得|k|=5，
∵在第二象限，
∴k=−5．
故答案为：−5．
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，平行四边形的性质，明确ΔAOD的面积是平行四边形ABCO面积的一半是解题的关键．
【题型5 根据k的几何意义求坐标】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D2,1在对角线OB上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是6，则点B的坐标为（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【答案】B
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数y=kxk>0,x>0上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为：y=2x，
设直线OB的函数解析式为y=mx，
∵点D（2，1）在对角线OB上，
∴2m=1，即m=12，
∴OB的解析式为：y=12x,
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，2a），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为2a，
将y=2a代入y=12x，
解得：x=4a，
∴点B坐标为（4a，2a），
∴BC=4a−a，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴（4a−a）×2a=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴4a=4，2a=2，
∴点B坐标为：4,2，
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
2．（2023春·江西上饶·九年级统考期末）如图，已知矩形OABC的顶点B（-8，6）在反比例函数y=kx的图象上，点A在x轴上，点C在y轴上，点P在反比例函数y=kx的图象上，且横坐标为a（a0，x>0的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD=3AC．

(1)若AD=BD，求k的值．
(2)连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标．
【答案】(1)3
(2)B45,3
【分析】（1）根据点A的坐标可得AC=1进而得出CD=3，由AD=BD可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可；
（2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形OBCD的面积求出m即可．
【详解】（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，

∵点Am，1，
∴OC=m，AC=1，
又∵CD=3AC．
∴CD=3，
∴AD=BD=3−1=2=EC，
∴点Bm3,3，
∴m−m3=2，
解得m=3，
∴点A3，1，
∵点A3，1在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3，
（2）由（1）可知点Am，1，点Bm3,3，即OC=m，OE=m3，则BD=EC=m−m3=2m3，
由于四边形OBDC的面积为6，
∴122m3+m×3=6，
解得m=125，
∴点B45,3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
5．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象的交点．
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB,AB．若△OAB的面积为15，求点B的坐标．
【答案】(1)y=2x，
(2)（8，1）
【分析】（1）将点A分别代入两个函数解析式即可；
（2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据题意得S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB−S△ONB=S梯形AMNB，设B（8n，n），得到12(AM+BN)⋅MN=12(4+n)×(8n−2)=15，解方程即可求出点B的坐标．
（1）
解：将点A（2，4）代入y=kx，得2k=4，
解得k=2，
∴正比例函数解析式为y=2x；
将将点A（2，4）代入y=mx，得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=8x；
（2）
连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴S△OAM=S△ONB=12×8=4，
∴S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB−S△ONB=S梯形AMNB，
设B（8n，n），
∴12(AM+BN)⋅MN=12(4+n)×(8n−2)=15，
整理得n2+15n−16=0，
解得n1=1，n2=-16（舍去），
∴B（8，1）．
【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，由函数图象求几何图形的面积，正确理解反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
6．（2023春·江苏·九年级期末）如图，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=kxk>0的图象于Q，S△OQC=32，则k的值和Q点的坐标分别为 ．
【答案】k=3，Q2,32
【分析】根据三角形△OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，且等于32，可求出k的值；根据一次函数y=12x−2的图象分别交x轴，y轴于A，B，所以当y=0时，可求出A的横坐标，根据PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标．
【详解】解：∵Q在反比例函数y=kx的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k=2×32=3；
∴反比例函数解析式为y=3x，
把y=0代入y=12x−2得：0=12x−2，
解得：x=4，
∴A4,0；
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
∴C2,0，
∴Q点的横坐标为2，
∵Q在反比例函数y=3x的图象上，
∴y=32，
∴点Q的坐标为2,32．
故答案为：k=3，Q2,32．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数y=kx（k>0）中k的几何意义是解题的关键．
7．（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx(x>0)的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD=2，S△AOC=5，则点C的坐标是 ．
【答案】(6，2)
【分析】首先根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐标(m3，3)，C的坐标(m3+2，3mm+6)，关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB=3，
则B的坐标为(m3，0)，则D的坐标为(m3+2，0)
∴C(m3+2，3mm+6)，
∵SΔAOC=SΔAOB+S梯形ABDC−SΔOCD=5，
又∵SΔAOB=SΔOCD，
∴S梯形ABDC=5，
∴(3+3mm+6)×2×12=5，
∴m=12，
∴C的坐标为(6,2)
故答案为：(6,2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
【题型6 根据k的几何意义判断面积的变化情况】
1．（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，等腰三角形△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y=kxx>0的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．先增大后不变
【答案】A
【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数y=kxx>0的图象上，可以解答本题．
【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kxx>0的图象上运动，且AC=BC，
设点C的坐标为x，kx，
∴S△ABC=12×2x×kx=k，
即△ABC的面积不变，
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．
2．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点Ba,b是反比例函数y≤4x在第三象限图像上的一个动点，以B为顶点，原点对称中心作矩形ABCD，AB⊥x轴于点E，过点O的直线MQ分别交AD、BC边于点M、Q，以MQ为一边作矩形MNPQ，且直线PN恰好经过点E，如果点B在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形MNPQ的面积的大小变化情况是（ ）

A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．一直减小
【答案】A
【分析】连接EM、EH．先证四边形AEOG是矩形，再利用反比例函数的性质得S矩形BHOE=4，进而得S△OQE=12S矩形BHOE=2，矩形MNPQ的面积为2S△EHM=8，即可推出矩形MNPQ的面积是定值．
【详解】解：连接EM、EH．

∵四边形ABCD是以原点对称中心作矩形，
∴OM=OQ，AB∥CD，AD∥BC ，∠A=∠ABC=∠C=90°，OG=OH，OF=OE
∵AB⊥x轴，x轴⟂y轴，
∴∠OEA=∠OEB=∠GOE=90°，
∴∠OEA+∠A=180°，∠AEO+∠GOE=180°，
∴AB∥y轴，AD∥x轴，
∴四边形AEOG是矩形，
同理可证：四边形BHOE，四边形HCFO，四边形FDGO都是矩形，
∵点Ba,b在反比例函数y=4x上，
∴S矩形BHOE=4，
∴S△OQE=12S矩形BHOE=2，
∵OM=OQ，
∴S△EHM=2S△OQE=4，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴矩形MNPQ的面积为2S△EHM=2×4=8，
∴矩形MNPQ的面积的大小不变，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）如图，点M是反比例函数y=5x(x>0)图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y=−5xx