苏科版八年级数学上册专题2.4有理数的乘除【十大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题2.4有理数的乘除【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共38页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22068" 【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 PAGEREF _Tc22068 \h 1
\l "_Tc26035" 【题型2 巧用分配律简化运算】 PAGEREF _Tc26035 \h 2
\l "_Tc1746" 【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 PAGEREF _Tc1746 \h 2
\l "_Tc6032" 【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】 PAGEREF _Tc6032 \h 3
\l "_Tc8242" 【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】 PAGEREF _Tc8242 \h 4
\l "_Tc20520" 【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 PAGEREF _Tc20520 \h 5
\l "_Tc13153" 【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc13153 \h 6
\l "_Tc32344" 【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 PAGEREF _Tc32344 \h 7
\l "_Tc5571" 【题型9 运用有理数的除法化简分数】 PAGEREF _Tc5571 \h 8
\l "_Tc9216" 【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc9216 \h 8
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a.
【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】
【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a−b>0，ab<0，那么（ ）.
A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0
【变式1-1】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（ ）
A．a>0、b>0B．a<0， b<0
C．a、b同号D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【变式1-3】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0
C．a−1b+1<0D．a+1b−1>0
【题型2 巧用分配律简化运算】
【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：
(1)4×−198×−0.25×199
(2)−76+34−112×24
(3)−5×−713+7×−713−−12×−713
(4)997172×−36
【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算−0.125×20×−8×−0.8=−0.125×−8×20×−0.8=−16，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律B．乘法分配律
C．乘法结合律D．乘法交换律和乘法结合律
【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1)91315×−30；
(2)−5×(−3611)+−7×(−3611)+12×(−3611)．
【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：
(1)-24×(-12+34-13)
(2)(-65)×(--23)+(+173)×(-65)-65
【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】
【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|+4m−3cd的值．
【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x−4|=3，求cd2x+a+bx−2x的值．
【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2−ab+2021a+b2022−cd的值．
【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求m+2cd−a+b的值．
【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】
【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．
(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；
(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．
【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣6×（b﹣a）﹣5，
例如：2⊕3＝2×3﹣6（3﹣6）﹣5＝6﹣6﹣5＝﹣1．
请根据“⊕”的定义计算：
(1)﹣6⊕4；
(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．
【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
(1)求2⊕−1的值；
(2)求−3⊕−4⊕12的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
(1)计算（﹣5）⊗4的值；
(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
(3)填空：3⊗（﹣6）______（﹣6）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】
【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）
(1)这辆车离开出发点最远是 千米；
(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？
(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？
【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
(1)根据记录可知前四天共生产 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【知识点 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】
【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：99989÷(−119)；
【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−16+34−112÷148．
【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：
(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;
(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.
【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：136÷14+112−718−136+14+112−718−136÷136
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】
【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．
(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？
(3)求这7天每天平均人数是多少万人？
【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）
(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．
(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？
【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】
【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(13−14+112)．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3−50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷(412−312+112)＝50÷212＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为(13−14+112)÷50
＝(13−14+112)×150=13×150−14×150+112×150=1300．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：(−142)÷(16−314+23−27)．
【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：
计算：−124÷23−34+78
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：23−34+78÷−124=23−34+78×(−24)=−16+18−21=−19
所以原式=−119
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−120÷−14−25+910−32
【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a:b=x，则b÷a=1x；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：(−160)÷(13−14+112).
【变式8-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：
−124÷−12+23−34
【题型9 运用有理数的除法化简分数】
【例9】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
（1）−217； （2）3−36； （3）−54−8； （4）−6−0.3．
【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）−72−8；（2）−130.2；（3）0.2−13．
【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）−26= ；（2）−6−24= ；（3）0−5= ；
【变式9-3】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
(1) −2−6 ; (2) −3−9 ;
(3) 0−3 ; (4)- −a−b .
【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）a、b为任何非零有理数，则aa+bb+abab的可能取值是（ ）
A．−3或1B．3或1或−1C．1或3D．−1或3
【变式10-1】（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且x＝a|a|+|b|b+|c|c−abc|abc|，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-2】（2023春·山东聊城·七年级校考期中）若ab≠0，则aa−bb的取值不可能是（ ）．
A．0B．1C．2D．−2
【变式10-3】（2023春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知x1,x2,x3,⋅⋅⋅x20都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，则y1等于1或−1；若y2=x1x1+x2x2，则y2等于2或−2或0；若y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋅⋅⋅+x20x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．
专题2.4 有理数的乘除【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22068" 【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 PAGEREF _Tc22068 \h 1
\l "_Tc26035" 【题型2 巧用分配律简化运算】 PAGEREF _Tc26035 \h 3
\l "_Tc1746" 【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 PAGEREF _Tc1746 \h 6
\l "_Tc6032" 【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】 PAGEREF _Tc6032 \h 8
\l "_Tc8242" 【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】 PAGEREF _Tc8242 \h 12
\l "_Tc20520" 【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 PAGEREF _Tc20520 \h 16
\l "_Tc13153" 【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc13153 \h 18
\l "_Tc32344" 【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 PAGEREF _Tc32344 \h 22
\l "_Tc5571" 【题型9 运用有理数的除法化简分数】 PAGEREF _Tc5571 \h 24
\l "_Tc9216" 【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc9216 \h 26
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a.
【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】
【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a−b>0，ab<0，那么（ ）.
A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0
【答案】B
【分析】根据有理数加法法则和绝对值的性质得到a>b，根据有理数乘法法则得到a与b异号，即可得出a是正数，b是负数．
【详解】解：∵a+b=a−b>0，ab<0，
∴a与b异号，且a>b，
∴a>0，b<0，
B．
【点睛】此题考查了有理数乘法法则，加法法则绝对值的性质，能熟记有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意，判断出a、c的正负，即可求解．
【详解】解：∵a>b>c，且a+b+c=0，
∴a>0，c<0，即a与c异号，
则ac的值一定是负数．
B．
【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出a、c的正负．
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（ ）
A．a>0、b>0B．a<0， b<0
C．a、b同号D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【答案】B
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则结合加法运算法则分析得出答案．
【详解】解：∵a+b<0，且ab>0，
∴a<0，b<0，
B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算以及加法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0
C．a−1b+1<0D．a+1b−1>0
【答案】B
【分析】先根据数轴确定a，b的取值范围，再逐一判定即可解答．
【详解】解：由数轴可得：−1∴ab<0，a+b>0，a−1b+1>0，a+1b−1<0，
B．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b的取值范围．
【题型2 巧用分配律简化运算】
【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：
(1)4×−198×−0.25×199
(2)−76+34−112×24
(3)−5×−713+7×−713−−12×−713
(4)997172×−36
【答案】(1)2
(2)−12
(3)0
(4)−359912
【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可；
（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；
（4）把原式变形为100−172×−36，然后利用乘法分配律求解即可；
【详解】（1）解：原式=4×−0.25×−198×199
=−1×−2
=2；
（2）解：原式=−76×24+34×24−112×24
=−28+18−2
=−12；
（3）解：原式=−5+7+12×−713
=0×−713
=0；
（4）解：原式=100−172×−36
=100×−36−172×−36
=−3600+12
=−359912．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算−0.125×20×−8×−0.8=−0.125×−8×20×−0.8=−16，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律B．乘法分配律
C．乘法结合律D．乘法交换律和乘法结合律
【答案】A
【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．
【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，
故选D．
【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1)91315×−30；
(2)−5×(−3611)+−7×(−3611)+12×(−3611)．
【答案】(1)−296
(2)0
【分析】（1）先将带分数拆成整数部分与分数部分的和的形式，然后按照乘法分配律运算法则计算即可；
（2）先提公因数−3611，按照乘法分配律逆运算计算．
【详解】（1）解：91315×−30
=9+1315×−30
=9×−30+1315×−30
=−270−26
=−296
（2）解：−5×(−3611)+−7×(−3611)+12×(−3611)
=−5−7+12×−3611
=0×−3611
=0
【点睛】本题考查了有理数乘法运算、乘法分配律逆运算，采用合适的运算方法可以使计算简便，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题关键．
【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：
(1)-24×(-12+34-13)
(2)(-65)×(--23)+(+173)×(-65)-65
【答案】(1)2
(2)-365
【详解】（1）解：-24×(-12+34-13)
=-24×-12+-24×34--24×13
=12-18+8
=2
（2）(-65)×(--23)+(+173)×(-65)-65
=65×23-173×65-65
=65×23-173-1
=65×-6
=−365
【点睛】本题考查的是乘法运算律的应用，掌握利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键．
【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】
【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|+4m−3cd的值．
【答案】当m=2时，原式=5，当m=−2时，原式=−11
【分析】先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，m=2或−2，然后再分别代入计算即可．
【详解】解：根据题意知a+b=0，cd=1，m=2或−2，
当m=2时，原式=4×2−3=5，
当m=−2时，原式=4×(−2)−3=−11．
综上，当m=2时，原式=5，当m=−2时，原式=−11．
【点睛】本题主要考查了相反数性质、倒数的定义、绝对值的性质等知识点，根据m进行分类讨论是解答本题的关键．
【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x−4|=3，求cd2x+a+bx−2x的值．
【答案】−131314或者−32
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可得a+b=0，cd=1，即原式可以化简为：12x−2x，根据|x−4|=3，可得x=7，或者x=1，再代入即可求值．
【详解】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
即：cd2x+a+bx−2x=12x−2x
∵|x−4|=3，
∴x−4=±3，
∴x=7，或者x=1，
当x=7时，12x−2x=12×7−2×7=−131314，
当x=1时，12x−2x=12×1−2×1=−32，
即值为：−131314或者−32．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数，倒数，绝对值等概念和有理数相关运算的法则．
【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2−ab+2021a+b2022−cd的值．
【答案】1
【分析】根据a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，得到a+b=0，cd=1，m=1，a≠0，即有b=−a，m2=1，代入即可求解．
【详解】解：∵a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，
∴a+b=0，cd=1，m=1，a≠0，
∴b=−a，m2=1，
将a+b=0，cd=1，a=−b，m2=1代入到m2−ab+2021a+b2022−cd中，
∴m2−ab+2021a+b2022−cd
=1−−1+0−1
=1+1−1
=1．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值的意义，代数式求值等知识，解此题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m2=1．
【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求m+2cd−a+b的值．
【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）4,0.
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【详解】(1)∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2.
(2)当m=2时, m+2cd−a+b=2+2-0=4；
当m=−2时, m+2cd−a+b=−2+2-0=0.
故答案为4,0.
【点睛】此题考查相反数，绝对值，倒数，解题关键在于掌握各性质定义.
【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】
【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．
(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；
(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．
【答案】(1)−152
(2)648
【分析】（1）由题意得：−2m=1，n+5=0，从而可求得m，n的值，再代入运算即可；
（2）根据新定义的运算，再相应的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵m与−2互为倒数，n与5互为相反数，
∴−2m=1，n+5=0，
解得：m=−12，n=−5，
∴m※n
=(−12)※(−5)
=−3×(−12)×(−5)
=−152；
（2）解：(−3)※[6※(−4)]
=(−3)※[−3×6×(−4)]
=(−3)※72
=−3×(−3)×72
=648．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣6×（b﹣a）﹣5，
例如：2⊕3＝2×3﹣6（3﹣6）﹣5＝6﹣6﹣5＝﹣1．
请根据“⊕”的定义计算：
(1)﹣6⊕4；
(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．
【答案】(1)﹣65
(2)59
【分析】（1）根据题目中的定义计算即可；
（2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可．
【详解】（1）解：﹣6⊕4
＝（﹣6）×4﹣6×[4﹣（﹣6）]﹣5
＝（﹣8）﹣6×（4+2）﹣5
＝（﹣8）﹣6×6﹣5
＝（﹣8）﹣12﹣5
＝﹣65．
（2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7）
＝{（﹣1）×1﹣6×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7）
＝[（﹣1）﹣6×（1+1）﹣5]⊕（﹣7）
＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7）
＝（﹣10）⊕（﹣7）
＝（﹣10）×（﹣7）﹣6×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5
＝70﹣6×（﹣7+10）﹣5
＝70﹣6×3﹣5
＝70﹣6﹣5
＝59．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义．
【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
(1)求2⊕−1的值；
(2)求−3⊕−4⊕12的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【答案】(1)2
(2)24
(3)不具有交换律，见解析
【分析】（1）根据题目的新运算进行求解即可；
（2）根据题意先算括号内新运算，再进行求解即可；
（3）根据题意可举例出一个例子即可求解．
【详解】（1）解：2⊕−1
=2×−1+2×2
=−2+4
=2；
（2）解：−3⊕−4⊕12
=−3⊕−2−8
=−3⊕−10
=−3×−10+2×−3
=30−6
=24；
（3）不具有交换律，
例如：2⊕−1
=2×−1+2×2
=−2+4
=2；
−1⊕2
=−1×2+2×−1
=−2−2
=−4，
∴2⊕−1≠−1⊕2，
∴不具有交换律．
【点睛】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算．
【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
(1)计算（﹣5）⊗4的值；
(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
(3)填空：3⊗（﹣6）______（﹣6）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】(1)﹣19
(2)﹣7
(3)＞
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．
【详解】（1）解：（﹣5）⊗4
＝﹣5×4+|﹣5|﹣4
＝﹣60+5﹣4
＝﹣19；
（2）解：[2⊗（﹣3）]⊗4
=[2×（-3）+|2|-（-3）] ⊗4
＝（﹣6+2+3）⊗4
＝（﹣1）⊗4
=（﹣1）×4+|-1|-4
＝﹣4+1﹣4
＝﹣7；
（3）解：3⊗（﹣6）
=3×（-2）+|3|-（-2）
＝﹣6+3+2
＝﹣1；
（﹣6）⊗3
=（-2）×3+|-2|-3
＝﹣6+2﹣3
＝﹣7，
所以3⊗（﹣6）＞（﹣6）⊗3．
故答案为：＞．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】
【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）
(1)这辆车离开出发点最远是 千米；
(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？
(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？
【答案】(1)12；
(2)54km；
(3)共耗油216升
【分析】（1）分别求出每一次出发点的距离，比较大小即可；
（2）将所给的数的绝对值求和，即为总路程；
（3）用总路程乘以每公里耗油量，即可求耗油总量．
【详解】（1）解：第一次与出发点的距离为5km，
第二次与出发点的距离为+5+−3=2km，
第三次与出发点的距离为+5+−3++10=12km，
第四次与出发点的距离为+5+−3++10+−8=4km|，
第五次与出发点的距离为+5+−3++10+−8+−6=−2km|，
第六次与出发点的距离为+5+−3++10+−8+−6++12=10km，
第七次与出发点的距离为+5+−3++10+−8+−6++12+−10=0km，
∴这辆车离开出发点最远是12km，
故答案为：12；
（2）解：+5+−3++10+−8+−6++12+−10=54km，
∴这辆车在上述过程中一共行驶了54km；
（3）解：∵54×4=216 （升），
∴汽车耗油量为3升/千米，共耗油216升．
【点睛】本题考查正数与负数，有理数的乘法，能根据具体情境问题，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键．
【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
(1)根据记录可知前四天共生产 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)412
(2)26
(3)42675
【分析】（1）前四个数据的和加上原计划每天生产的数量乘以4，即可得解；
（2）表格中数据最大的数减去最小的数即可得解；
（3）先求出生产自行车的总数量，再根据题意，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：100×4+5−2−4+13=412（辆）；
故答案为：412；
（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产16−−10=26（辆），
故答案为：26．
（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+5−2−4+13−10+16−9=709．
709×60+709−700×15=42675（元）．
答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．
【点睛】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【答案】(1)5千克
(2)9千克
(3)8299.5元
【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解
【详解】（1）解：3−−2=5（千克），
答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克
（2）解：−2×5+−1×10+0×3+1×1+2×5+3×6=9（千克），
答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克
（3）解：这30袋大米的总重量为50×30+9=1509（千克），
食堂购进大米总共花了1509×5.5=8299.5（元）．
答：食堂购进大米总共花了8299.5元．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【答案】(1)六；15
(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元
(3)选择方式一购买更省钱
【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是10+5=15（元）．
故答案为：六；15．
（2）解：1×20−2×35+3×10−1×30+2×15+5×5−4×50=−195（元），
10−8×20+35+10+30+15+5+50=2×165=330（元），
−195+330=135（元）；
答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．
（3）解：方式一：35−5×12×0.8+12×5=348（元），
方式二：35×10=350（元），
∵348<350，
∴选择方式一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
【知识点 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】
【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：99989÷(−119)；
【答案】−899910
【详解】试题分析：先化99989=1000−19，同时把除化乘，再根据乘法分配律计算即可得到结果.
解：原式=（1000−19）×（−109）=1000×（−109）−19×（−109）=899910.
考点：有理数的混合运算
【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−16+34−112÷148．
【答案】24
【分析】现将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：−16+34−112÷148
=−16+34−112×48
=−16×48+34×48−112×48
=−8+36−4
=24．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．
【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：
(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;
(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.
【答案】(1)−353536;(2)−320.
【详解】试题分析：（1）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后计算即可；（2）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后根据有理数的运算法则依次计算即可.
试题解析：
（1）原式=-81×49+49×116=-36+136=-353536;
（2）原式=1÷［1211×116+3.9÷（-0.45）］=1÷(2-263)=-320.
点睛：本题考查了有理数的混合运算，正确运用有理数的混合运算法则是解题的关键.
【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：136÷14+112−718−136+14+112−718−136÷136
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；-3；(3)-13；(4)-313
【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；
(3)根据倒数的性质得出答案；
(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.
【详解】(1) 前后两部分互为倒数；
(2) 先计算后部分比较简便
14+112−718−136÷136=14+112−718−136×36=9+3−14−1=−3
(3)136÷14+112−718−136=−13
(4)原式=−13+（-3）=-313
【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】
【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【答案】(1)未超过
(2)5小时
【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；
（2）根据题意列式求解．
【详解】（1）解：−0.1+0.5−0.8+0−0.2−0.3+0.4=−0.5，
答：水库的水位未超过警戒线．
（2）−1−−0.5÷−0.2+0.1=5（小时），
答：水库需放水5小时．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．
(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
【答案】(1)李师傅在甲地的西边1公里位置；
(2)李师傅距甲地的最远距离是8公里；
(3)李师傅当日在该加油站加油共花费237元．
【分析】（1）将记录的数字相加得到结果，根据正负即可得到结果；
（2）根据几次的绝对值进行比较即可；
（3）将记录数字绝对值相加，乘以10，得出行驶的公里数，用结果除以100乘8得出耗油的升数，再用升数乘7减3乘5即可得到结果．
【详解】（1）解：4−3−6+13−10−4+5=−1（公里），
∴李师傅在甲地的西边1公里位置；
（2）解：第一站离甲地是4公里；
第二站离甲地是5−3=1；
第三站离甲地是1−6=−5；
第四站离甲地是−5+13=8；
第五站离甲地是8−10=−2；
第六站离甲地是−2−4=−6；
第七站离甲地是−6+5=−1；
取绝对值可以看出最远是8公里；
（3）解：当日工作至17:00为止，共工作10小时，
10×4+3+6+13+10+4+5=450（公里），
450÷100×8=36（L），
36×7−3×5=237（元）．
答：李师傅当日在该加油站加油共花费237元．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？
(3)求这7天每天平均人数是多少万人？
【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差1.4万人
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8万人
(3)这7天每天平均人数4.9万人
【分析】（1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；
（2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解；
（3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数．
【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：
1日：+1.7（万人）
2日：1.7+0.6=2.3（万人）
3日：2.3+0.3=2.6（万人）
4日：2.6−0.3=2.3（万人）
5日：2.3−0.6=1.7（万人）
6日：1.7+0.2=1.9（万人）
7日：1.9−1.1=0.8（万人）
所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差2.6−0.8=1.4（万人）.
（2）解：由（1）可知，与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8万人
（3）这7天的游客总人数是3×7+(1.7+2.3+2.6+2.3+1.7+1.9+0.8)=21+13.3=34.3（万人）
这7天每天平均人数：34.3÷7=4.9（万人）
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，注意正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）
(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．
(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？
【答案】(1)17；17
(2)6月份需缴纳水费为43元
(3)7月份需缴纳水费88元
【分析】（1）根据题意，用2月的水表读数减去1月的水表读数得出1月份的用水量，用7月份的水表读数减去1月份的水表读数除以6即可求得1~6月平均每月用水量；
（2）根据题意，2月份的水费按一级用水价格收取，根据题意求得一级用水的价格与二级用水的价格，进而根据表格求得6月份用水量，即可求解；
（3）根据题意得出7月份的用水超过30吨，则按照一、二、三级的水费进行计算即可求解．
【详解】（1）解：小高家1月份的用水量450−433=17吨；
1~6月平均每月用水量为535−433÷6=17吨；
故答案为：17；17．
（2）解：∵小高家2月份用水量为：468−450=18<20，
∴一级用水的价格为36÷18=2元/吨；二级用水的价格为1.5×2=3元/吨；
∴他家6月份用水量为：535−514=21吨，
∵21>20，
∴6月份需缴纳水费为20×2+1×3=43元．
（3）解：根据题意：三级用水的价格为2×1.8=3.6元/吨，
7月用水：21+14=35（吨）
20×2+10×3+5×3.6=88（元）
∴7月份需缴纳水费88元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】
【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(13−14+112)．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3−50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷(412−312+112)＝50÷212＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为(13−14+112)÷50
＝(13−14+112)×150=13×150−14×150+112×150=1300．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：(−142)÷(16−314+23−27)．
【答案】一；−114
【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；
根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．
【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝−142÷56−36
＝−142×3
＝−114．
【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．
【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：
计算：−124÷23−34+78
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：23−34+78÷−124=23−34+78×(−24)=−16+18−21=−19
所以原式=−119
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−120÷−14−25+910−32
【答案】125．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：−14−25+910−32÷−120
=−14−25+910−32×(−20)
=5+8−18+30
=25，
所以，原式=125．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a:b=x，则b÷a=1x；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：(−160)÷(13−14+112).
【答案】-110
【分析】根据所给材料，先算(13−14+112)÷(−160)的值，再根据倒数的定义即可求解．
【详解】先计算原式的倒数：
(13−14+112)÷(−160)
=(13−14+112)×(−60)
=-20+15-5
=-10，
所以原式=−110.
【点睛】本题考查了有理数的除法，解答本题的关键是看懂材料，灵活运用运算律简便计算．
【变式8-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：
−124÷−12+23−34
【答案】114
【分析】先计算−12+23−34÷−124，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后取结果的倒数即可得到答案．
【详解】解：∵−12+23−34÷−124
=−12+23−34×−24
=−12×−24+23×−24−34×−24
=12−16+18
=14．
∴−124÷−12+23−34=114．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键．
【题型9 运用有理数的除法化简分数】
【例9】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
（1）−217； （2）3−36； （3）−54−8； （4）−6−0.3．
【答案】（1）−3；（2）−112；（3）274；（4）20．
【分析】根据有理数的除法法则，即可求解．
【详解】解：（1）−217=−21÷7=−21×17=−3；
（2）3−36=3÷−36=−3×136=−112；
（3）−54−8=−54÷−8=−54×−18=274；
（4）−6−0.3=−6÷−0.3=−6×−103=20．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数，还要注意两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）−72−8；（2）−130.2；（3）0.2−13．
【答案】（1）9；（2）–53；（3）–35．
【分析】（1）根据有理数的除法运算法则计算可得；
（2）根据有理数的除法运算法则计算可得；
（3）根据有理数的除法运算法则计算可得．
【详解】（1）−72−8=9；
（2）−130.2=−1315=–53；
（3）0.2−13=15−13=–35．
【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．
【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）−26= ；（2）−6−24= ；（3）0−5= ；
【答案】 −13 14 0
【分析】根据分数的性质和有理数除法运算法则即可解答．
【详解】解：−26=−13，−6−24=−6−24=14，0−5=0．
故答案为−13，14，0．
【点睛】本题主要考查了分数的性质、有理数除法运用等知识点，掌握分数的性质是解答本题的关键．
【变式9-3】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
(1) −2−6 ; (2) −3−9 ;
(3) 0−3 ; (4)- −a−b .
【答案】(1) 13; (2) 13; (3) 0; (4)-ab .
【详解】试题分析：根据有理数的除法法则化简即可.
试题解析：
（1）原式=13 ；
（2）原式=13；
（3）原式=0；
（4）原式=−ab.
【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）a、b为任何非零有理数，则aa+bb+abab的可能取值是（ ）
A．−3或1B．3或1或−1C．1或3D．−1或3
【答案】A
【分析】分a>0,b>0、a>0,b<0、a<0,b>0和a<0,b<0四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得．
【详解】由题意，分以下四种情况：
（1）当a>0,b>0时，ab>0，
则aa+bb+abab=aa+bb+abab=1+1+1=3，
（2）当a>0,b<0时，ab<0，
则aa+bb+abab=aa+b−b+ab−ab=1−1−1=−1，
（3）当a<0,b>0时，ab<0，
则aa+bb+abab=a−a+bb+ab−ab=−1+1−1=−1，
（4）当a<0,b<0时，ab>0，
则aa+bb+abab=a−a+b−b+abab=−1−1+1=−1，
综上，aa+bb+abab的可能取值是−1或3，
D．
【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键．
【变式10-1】（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且x＝a|a|+|b|b+|c|c−abc|abc|，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分四种情况讨论：①当a>0,b>0,c>0时，则abc>0, ②当a>0,b>0,c<0时，则abc<0, ③当a>0,b<0,c<0时，则abc>0, ④当a<0,b<0,c<0时，则abc<0,再化简绝对值即可.
【详解】解：∵ a、b、c均为非零有理数，
①当a>0,b>0,c>0时，则abc>0,
∴x=1+1+1−1=2,
②当a>0,b>0,c<0时，则abc<0,
∴ x=1+1+−1−−1=2,
③当a>0,b<0,c<0时，则abc>0,
∴ x=1+−1+−1−1=−2,
④当a<0,b<0,c<0时，则abc<0,
∴x=−1+−1+−1−−1=−2.
所以x的不同结果有2种，
B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，对有理数a,b,c的分类讨论是解题的关键.
【变式10-2】（2023春·山东聊城·七年级校考期中）若ab≠0，则aa−bb的取值不可能是（ ）．
A．0B．1C．2D．−2
【答案】B
【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可．
【详解】解：当a>0，b>0时，aa−bb=1−1=0；
当a>0，b<0时，aa−bb=1−−1=2；
当a<0，b>0时，aa−bb=−1−1=−2；
当a<0，b<0时，aa−bb=−1−−1=0；
∴aa−bb的取值不可能是1，
B．
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知x1,x2,x3,⋅⋅⋅x20都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，则y1等于1或−1；若y2=x1x1+x2x2，则y2等于2或−2或0；若y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋅⋅⋅+x20x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．
【答案】220
【分析】根据绝对值的意义推理处y20的所有有可能的取值，然后再计算绝对值之和即可．
【详解】解：若y1=x1x1，则y1等于1或−1；
若y2=x1x1+x2x2，则y2等于2或−2或0；
若y3=x1x1+x2x2+x3x3，则y3等于3或-3或1或-1；
…..
若y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋅⋅⋅+x20x20，则有：
当y20中有20项为1，0项为-1，则y20=20，当y20中有19项为1，1项为-1，则y20=18，y20中有18项为1，2项为-1，则y20=16，…..；以此类推可知y20中有0项为1，20项为-1，则y20=-20，
∴y20所有有可能的值为-20，-18，-16，……，16，18，20，
∴y20所有可能等于的值的绝对值之和为0+2+4+6++20×2=220；
故答案为220．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键．
序号
1
2
3
4
5
6
7
路程
+5
−3
+10
−8
−6
+12
−10
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
−2
−4
+13
−10
+16
−9
与标准重量偏差（单位：千克）
−2
−1
0
1
2
3
袋数
5
10
3
1
5
6
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤价格相对于标准价格（元）
+1
−2
+3
−1
+2
+5
−4
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
+1.7
+0.6
+0.3
−0.3
−0.6
+0.2
−1.1
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表读数（吨）
433
450
468
485
500
514
535
序号
1
2
3
4
5
6
7
路程
+5
−3
+10
−8
−6
+12
−10
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
−2
−4
+13
−10
+16
−9
与标准重量偏差（单位：千克）
−2
−1
0
1
2
3
袋数
5
10
3
1
5
6
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤价格相对于标准价格（元）
+1
−2
+3
−1
+2
+5
−4
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
+1.7
+0.6
+0.3
−0.3
−0.6
+0.2
−1.1
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表读数（吨）
433
450
468
485
500
514
535