苏科版七年级数学下册举一反三系列7.11平面图形的认识(二)八类必考压轴题同步练习(学生版+解析)

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专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题【苏科版】必考点1平行线中求角度的综合1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．(1)如图1，求证：EF∥GH；(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，  (1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM， EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．7．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.必考点2平行线中的辅助线构造1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（ ）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（ ）∴∠CPQ=∠C（ ）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．5．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴ ∠B= ，∠C ，∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB0，则∠ABP=3x，∠PBG=x，先根据平行线的性质可得∠BAD=180°−4x，从而可得∠BGA=90°−2x，再根据平行线的性质可得∠BCH=∠BGA=90°−2x，从而可得∠PBM=∠DCH=2x，然后分①点M在BP的下方和②点M在BP的上方两种情况，根据角的和差可得∠ABM和∠GBM的值，由此即可得．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA．（2）证明：如图，过点F作FM∥BC于M，∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，由（1）已证：∠BAG=∠BGA，∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC，即∠BAG−∠GFC=∠MFC，又∵∠BAG−∠GFC=45°，∴∠MFC=45°，∴∠BCF=45°，又∵∠BCD=90°，∴CF平分∠BCD．（3）解：设∠ABC=4xx>0，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x，∵AD∥BC，∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−4x，由（1）已得：∠BGA=∠BAG=12∠BAD=90°−2x，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°−2x，∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°−90°−2x=2x，由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在BP的下方时，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM−∠PBG=2x−x=x，∴∠ABM∠GBM=5xx=5；②如图，当点M在BP的上方时，∴∠ABM=∠ABP−∠PBM=3x−2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM=x3x=13；综上，∠ABM∠GBM的值是5或13．必考点5平行线中的动态问题1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AEM=∠FME，结合题意即可推出∠AEM=∠FEM，即得出∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°；（2）由（1）即可说明EM平分∠AEF；（3）由平行线的性质可得出∠BEG=∠EGF=α，∠BEH=∠EHF．再根据角平分线的定义即得出∠FEH=∠GEH=12∠FEG，即得出∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．又易求∠MEH=12∠AEG=90°−12α，结合HN⊥EM，可求出∠EHN=90°−∠MEH=12α．由∠BEH=∠EHF，得∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，即得出α+∠FEH=12α+∠MHN，即推出∠MHN−∠FEH=12α．【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠FME．∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠FEM．∵∠AEF=∠AEM+∠FEM=70°，∴∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°．故答案为：35；（2）由（1）可知∠AEM=∠FEM=12∠AEF，即EM平分∠AEF；（3）∠MHN−∠FEH=12α，证明如下，∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF=α．∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH=12∠FEG，∴∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，∴∠MEH=12∠AEG=12(180°−α)=90°−12α．∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°−∠MEH=90°−(90°−12α)=12α．∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EHF，即∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，∴α+∠FEH=12α+∠MHN，∴∠MHN−∠FEH=12α．2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．(1)当∠BFH=12∠BFN时，求∠AKF．(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，由MN∥AB，得到∠BFN=30°，由∠BFH=12∠BFN，则∠BFH=15°，由角平分线和平行线性质得到∠ADE=∠BAD=30°，即可得到答案；（2）由MN∥AB得到∠HAK=∠FDK，由∠AKF=∠HFD+∠KDF即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可．【详解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，∵MN∥AB，∴∠BFN=∠B=30°，∵∠BFH=12∠BFN，∴∠BFH=12×30°=15°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∵MN∥AB，∴∠ADE=∠BAD=30°，∴∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN=30°+15°+30°=75°，即∠AKF=75°；（2）∵MN∥AB，∴∠HAK=∠FDK，∵∠AKF=∠DFH+∠KDF，∴∠AKF=∠HAK+∠DFH；（3）由（1）知，∠FDK=30°，∠KFD=45°，∴∠DKF=180°−∠FDK−∠KFD=105°，如图1，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，∵∠CFE=30°，∴此时是旋转了180°−30°−90°=60°，此时，t=60°÷5°=12s；如图2，当DK∥CF时， ∵∠CFD=∠KDF=30°，∴此时是旋转了180°−30°−30°=120°，此时，t=120°÷5°=24s；如图3，当KF∥CE时，∵∠EFK=180°−∠CEF=120°，∴此时是旋转了180°−120°+45°=105°，此时，t=105°÷5°=21s；如图4，当DK∥EC时，设DK与MN相交于点S，∴∠KSF=∠CEF=60°，∴∠DFS=∠KSF−∠D=30°，∴此时是旋转了30°，此时，t=30°÷5°=6s；如图5，当DK∥EF时， ∴∠EFK=180°−∠DKF=75°，∴此时是旋转了180°−75°−45°=150°，此时，t=150°÷5°=30s；∴当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．【分析】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，根据∠BAN+∠BAM=180°，可列出关于x的等式，解出x即可求解；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0 AB，同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，以上三式左右两边分别相加得到:2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,即PA+ PB+ PC>12(AB+ BC+ AC)，∴PA+ PB+ PC>12×（12+10+6）=14，即PA+ PB+ PC>14故选A.【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论.2．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有____个．【答案】2041210【分析】已知b=2020，根据三角形的三边关系求解，首先确定出a、c三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形．【详解】解：a，b，c表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中a⩽b⩽c，如果b=2020，则0⩽a⩽2020，2020⩽c⩽4039，∴当c=2020时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为1⩽a⩽2020，有2020个三角形；当c=2021时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为2⩽a⩽2020，有2019个三角形；当c=2022时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为3⩽a⩽2020，有2018个三角形；…当c=4039时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为a=2020，有1个三角形；∴三角形数量是：(2020+2019+2018+…+3+2+1)=(1+2020)×20202=2041210，故答案为：2041210．【点睛】本题主要考查一元一次不等式、三角形的三边关系，解题的关键是利用了在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三边关系．3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有________个．【答案】3【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个数．【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5； 根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5； 故这样的三角形共有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．4．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为________．【答案】54.【分析】由三条整数长度的线段的长度和的最小值，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即1+1=2；由四条线段的长度和的最小值，可确定规律最后一条线长为前两条长之和，然后同理可得八条线段的长度和的最小值.【详解】解：根据题意，不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即1+1=2；四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7，也可找出最后一条线长为前两条长之和，即1+2=3；同理可得：五条线段的长度和的最小值为1+1+2+3+(2+3)=1+1+2+3+5，八条线段的长度和的最小值为1+1+2+3+5+8+13+21=54.本题答案为：54.【点睛】本题考查了三角形的定义，构成三角形其中两边长之和必须大于第三边长，由简到繁，结合三角形的定义知识点，找到规律是解本题的关键，这种发散思维的题型是今后一种趋势，可多体会.5．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.(1)求x的取值范围;(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.【答案】(1)5