苏科版八年级数学上册专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结同步练习(学生版+解析)，共106页。

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\l "_Tc25850" 【题型1 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc25850 \h 1
\l "_Tc2644" 【题型2 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc2644 \h 3
\l "_Tc28224" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc28224 \h 5
\l "_Tc18620" 【题型4 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc18620 \h 7
\l "_Tc24570" 【题型5 利用整式加减确定方案问题】 PAGEREF _Tc24570 \h 9
\l "_Tc14813" 【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】 PAGEREF _Tc14813 \h 10
\l "_Tc21071" 【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】 PAGEREF _Tc21071 \h 12
\l "_Tc18393" 【题型8 一元一次方程的实际应用】 PAGEREF _Tc18393 \h 13
\l "_Tc22282" 【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】 PAGEREF _Tc22282 \h 15
\l "_Tc5306" 【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】 PAGEREF _Tc5306 \h 16
\l "_Tc10705" 【题型11 动点或旋转角的综合运用】 PAGEREF _Tc10705 \h 18
\l "_Tc4170" 【题型12 数式或图形中的规律问题】 PAGEREF _Tc4170 \h 19
\l "_Tc31511" 【题型13 数式或图形中的新定义问题】 PAGEREF _Tc31511 \h 21
【题型1 数轴上的动点定值问题】
【例1】（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知A,B,C,D四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．动点P,Q同时分别从点A,D出发，相向而行，点P的运动速度为每秒4个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，线段BC所在部分为“交换区”，规则为：点P从点B进入“交换区”，其运动速度变为点Q原来的运动速度，点Q从点C进入“交换区”，其运动速度变为点P原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为t秒．
(1)分别求a，d的值；
(2)当P,Q两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数；
(3)当点P在点Q的左侧且满足BP=CQ时，求t的值．
【变式1-1】（2023上·浙江·七年级统考期末）【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n−m．

【应用】请用上面的知识解答下面的问题：

如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．
(1)求A、B两点之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且a+10+b−32=0．

(1)请直接写出：a= ______，b= ______；
(2)动点CM从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（a>0），三个动点同时出发，设运动时间为t秒．
①请用含a或t的式子表示：
动点CM对应的数为______，
动点N对应的数为______，
动点T对应的数为______；
②若在运动过程中，正好先后两次出现TM=TN的情况，且两次间隔的时间为10秒，求a的值；
③若在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是______．
【变式1-3】（2023上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，数轴上有三个点A，B，C，它们的起始位置表示的数分别是−5，−3，6，如图所示．

(1)若将点B从起始位置开始沿数轴向右移动，使得B，C两点之间的距离与A，B两点之间的距离相等，则须将点B向右移动______单位；
(2)若点A从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点B也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为AC，设运动的时间为t（秒）．
①求AC−BC（用含t的代数式表示）；
②若点C也与点A，B同时从起始位置开始运动，且点C以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数k，使得k⋅AB−2BC的值不随运动时间t（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数k，并求此时k⋅AB−2BC的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 数轴上的折叠问题】
【例2】（2023上·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−16、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（t>0）秒．

(1)点A与原点O的距离是 ．
(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）．
(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．
(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，求t的值．
【变式2-1】（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为−6，点B表示的数为5，点C表示为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒．
(2)若P，Q两点在点CM处相遇，则点CM在折线数轴上所表示的数是多少？
(3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【变式2-2】（2023下·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；
(2)P，Q两点在点CM处相遇，求出相遇点CM所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【变式2-3】（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足a+122+b−8=0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍．
(1)填空：a= _____，b= _____，c= _____；
(2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和mm>4个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．
①t为何值时，AD=3BD？
②若AB−32AC的值始终保持不变，求m的值：
(3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为_____．
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023上·河南周口·七年级统考期末）（1）探索材料1（填空）：
数轴上表示数cm和数n的两点之间的距离等于m−n．例如数轴上表示数2和5的两点距离为2−5= ；数轴上表示数3和−1的两点距离为3−−1= ；x+4的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
（2）探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？

②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？

③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？

（3）结论应用（填空）：
①代数式x+3+x−4的最小值是______，此时x的范围是_______；
②代数式x+6+x+3+x−2的最小值是_______，此时x的值为______；
③代数式x+7+x+4+x−2+x−5的最小值是______，此时x的范围是______．
【变式3-1】（2023上·湖南怀化·七年级校考期末）阅读下列材料：
我们知道a的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，a=a−0也就是表示数a与数0的两点之间的距离，a−b表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．

例1．已知x=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为−2和2，即x的值为−2和2．
例2．已知x−1=2，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和−1，即x的值为3和−1．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若x=3，则x=________，若x+2=4，则x=________；
(2)x+1+x−2的最小值是________，若x+1+x−2=5，则x=________；
(3)代数式x+11+x−3+x−5的最小值为________；
(4)求代数式x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−200的最小值．
【变式3-2】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=|a−b|．
（2）理解：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果AB=2，那么x= ；
（3）运用：
③当代数式x+1+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
④当代数式x+1+|x−2+x−4|取最小值时，相应的x的值是 ；
（4）提升：
⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？
【变式3-3】（2023上·广东广州·七年级校考期末）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
(1)应用一：已知图①，点A在数轴上表示为−2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为x+2，应用这个知识，请写出：
①x−1+x+3有最小值为____________，此时x满足条件__________；
②x−1+2x+3有最小值为__________，此时x满足条件____________；
③12x−1+12x−3+x+12有最小值为___________，此时x满足条件____________．
(2)应用二：在图①中，将数轴沿着点A折叠，若数轴上点CM在点N的左侧，CM，N两点之间距离为12，CM，C两点之间距离为4，且CM，N两点沿着A点折叠后重合，则点CM表示的数是____________；点C表示的数是____________．
(3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为AB=4，AC=3，BC=5的三角形ABC的顶点A与原点重合，AB边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿A→B→C→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上，负半轴的线沿A→C→B→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上．
①如果正半轴的线缠绕了n圈，负半轴的线缠绕了n圈，求绕在点C上的所有数之和；（用n表示）
②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点−2的位置对应着拉长后的数−1，并将三角形ABC向正半轴平移一个单位后再开始绕，则绕在点B且绝对值不超过200的所有数之和是__________．
【题型4 有理数的实际应用】
【例4】（2023上·河南郑州·七年级校联考期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2200个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
【变式4-1】（2023上·浙江·七年级期末）出租车司机李师傅从上午8:00~9:15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）+8,−6,+3,−7,+8,+4,−7,−4,+3,+4
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？
（2）上午8:00~9:15李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午8:00~9:15一共收入多少元？
【变式4-2】（2023上·福建泉州·七年级校考阶段练习）股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票2000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)
(1)星期二收盘时，每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?最低价每股多少元?
(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何?
【变式4-3】（2023上·浙江金华·七年级校考期末）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
【题型5 利用整式加减确定方案问题】
【例5】（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且为整数）．
(1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？
(2)若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算；
(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【变式5-1】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【变式5-2】（2023上·吉林长春·七年级统考期末） 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价30元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装30套，领带x条（x>30）.
（1）若该客户按方案①购买，西装需付款_______元，领带需付款_______元（用含x的代数式表示）.
若该客户按方案②购买，西装需付款_______元，领带需付款______元（用含x的代数式表示）.
（2）若x=30，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需付款金额.
【变式5-3】（2023上·浙江·七年级期末）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b0，k−2=2−k且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好．
【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】
【例6】（2023上·陕西西安·七年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A开始以2ccm/s的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1ccm/s的速度沿C→A→B的方向移动．若AB=16ccm，AC=12ccm，BC=20ccm，已知点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；
(2)如图②，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，△QAB的面积等于△ABC面积的14；
(3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，当t为何值时，AQ=BP
【变式6-1】（2023上·广东广州·七年级广州市第二中学校考期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为3a厘米，宽为（2a－b）厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
（1）求大长方形ABCD的周长；
（2）求图②中两块阴影部分周长之和．（用含a，b的式子表示）
【变式6-2】（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市第三十五中学校考期末）为了进行农业试验，某村开辟了A、B、C、D四块试验田．如图所示，A试验田可分割成3块长方形的小试验田（图中长度单位：米），B试验田的面积比A试验田面积的2倍还多m+4n−4平方米．
A试验田示意图
(1)用含m、n的式子表示A试验田的面积为______平方米，B试验田的面积为______平方米；
(2)已知C、D试验田的面积相等，且都比A试验田的面积少2cm平方米．
①用含m、n的式子表示出A、B、C、D四块试验田的面积之和为多少平方米？
②当A、B、C、D四块试验田的面积之和为200平方米时，求B试验田的面积比C试验田的面积多多少平方米？
【变式6-3】（2023上·贵州毕节·七年级统考期末）如图是1925年数学家莫伦发现的完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中正方形1，2的边长分别为x，y，则正方形3的边长为x+y，正方形4的边长为x+y+y=x+2y．
(1)用含x，y的代数式继续表示正方形5∼9的边长；
(2)已知在完美长方形中，y=1.2x，则当x=5时，求这个完美长方形的周长．
【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】
【例7】（2023上·广东广州·七年级统考期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子E−13AB的值．
【变式7-1】（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
(1)若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；
(2)若关于的方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，求k的值；
(3)若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，求a与b的关系.
【变式7-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）已知cm，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（cm+1）x2+cmx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
【变式7-3】（2023上·广东广州·七年级广州市第五中学校考期末）已知代数式A=3ax5+bx3−2cx+4，B=ax4+2bx2−c，E=3ax3+4bx2−cx+3，其中a，b，c为常数，当x=1时，A=5，x=−1时，B=4．
(1)求3a+b−2c的值；
(2)关于y的方程k−4by=2a−cy−20的解为y=2，求k的值．
(3)当x=−1时，求式子E−13AB的值．
【题型8 一元一次方程的实际应用】
【例8】（2023上·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩12cm2地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺2cm2瓷砖．
(1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．
(2)现该学校有26个宿舍的地板和74cm2的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为2：3，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？
【变式8-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【变式8-2】（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
(1)若小明家有5口人，年用气量2000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
【变式8-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了A、B两种商品，A商品每件进价40元，B商品每件进价10元，两种商品共购进了300件，所用资金为12000元．
(1)求12月A、B两种商品各购进了多少件？
(2)12月初，该网店在出售A、B两种商品时，A商品在进价的基础上加价30%出售，并以此价格售出了14，B商品以一定价格售出了15．为了促销，余下的A、B两种商品．网店推出买一件A商品送一件B商品的优惠活动，但是单独购买B商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的A、B两种商品全部售完，且剩余的A商品都参加了促销活动，最终网店通过销售A、B两种商品共获利15%，求12月份每件B商品的售价是多少元？
(3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A、B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案．
甲厂家优惠方案：
乙厂家优惠方案：
1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A、B两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A商品实际付款4320元，第二次全部购进B商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A商品每件进价34元，购买B商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A、B两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？
【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】
【例9】（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．

(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，求CDAB的值．
【变式9-1】（2023上·山东济宁·七年级统考期末）线段AB和CD在同一直线上，CM，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6ccm，CD=8ccm．
(1)当A，C两点重合时，如图1，求CMN的长；
(2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2ccm，求CMN的长；
(3)在(2)的情况下，CMN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果)
【变式9-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC,BD中点．
(1)若AC=4，BC=10，求CE的长；
(2)若AB=5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系．
【变式9-3】（2023上·广西桂林·七年级统考期末）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．CM为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN= ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PCM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】
【例10】（2023上·山西晋城·七年级校考期末）已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）
【变式10-1】（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度数；
（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB=14∠COB，∠COM=34∠COA”，且∠AOB=α，求∠AOM+∠BON的度数；
（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【变式10-2】（2023上·重庆·七年级校联考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式10-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC=∠BOD．

(1)试说明：∠AOB=∠COD；
(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG时，请正确画出图形，并直接写出∠AOG的度数．
【题型11 动点或旋转角的综合运用】
【例11】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）点C在线段AB上，BC＝2AC．
(1) 如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1ccm/s，2ccm/s的速度沿直线AB向左运动；

①在P还未到达A点时，APCQ的值为 ；
②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直线AB上一点，且AD−BD=12CD．则BDAB的值为 ．
【变式11-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图1，已知∠AOC=140∘，∠BOC的余角比它的补角的12少20°．
(1)求∠BOC的度数；
(2)如图1，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC=20∘时，求旋转时间．
(3)如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，∠DOE+∠BOC∠COE=92，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【变式11-2】（2023上·重庆綦江·七年级统考期末）已知：如图1，CM是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从CM、B出发以1ccm/s、3ccm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段ACM上，D在线段BCM上）
(1)若AB＝11ccm，当点C、D运动了1s，求AC+CMD的值．
(2)若点C、D运动时，总有CMD＝3AC，直接填空：ACM＝ BCM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝CMN，求2CMN3AB的值．
【变式11-3】（2023上·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒．
(1)当t=2s时，求∠BOC和∠AOD的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．
①用含t的代数式表示射线OA和射线OD重合前∠BOC和∠AOD的度数；
②整个旋转过程中，当满足∠AOD−∠BOC=5°时，求出相应的t的值．
【题型12 数式或图形中的规律问题】
【例12】（2023上·贵州安顺·七年级校联考期末）阅读理解题．
我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有：
S1=13=12=1×(1+1)22；
S2=13+23=(1+2)2=2×(1+2)22；
S3=13+23+33=(1+2+3)2=3×(1+3)22
⋯

观察上面式子的规律，完成下面各题．
(1)猜想出Sn= （用n表示）．
(2)依规律，直接求13+23+33+⋯+103的值为 ．
(3)依规律，23+43+63+⋯+203的值．
(4)依规律，求113+123+133+⋯+403的值．
【变式12-1】（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：
(1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；
(2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
(3)【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．
(4)【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？
【变式12-2】（2023上·江苏宿迁·七年级校考期末）观察下列各式：−1×12=−1+12=−12,−12×13=−12+13=−16,−13×14=−13+14=−112，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12018×12019；
（3）拓展应用：计算：1×13+13×15+15×17+17×19+⋯+12017×12019；
【变式12-3】（2023上·山西临汾·七年级统考期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.
（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条.
（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条.
（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角
（4）解决问题：曲沃县某学校七年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？
【题型13 数式或图形中的新定义问题】
【例13】（2023上·北京朝阳·七年级校联考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【变式13-1】（2023上·江苏连云港·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求cm的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程，”求关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+k+2的解．
【变式13-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
（2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝a+b2，a⊕b＝a−b2．
若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
【变式13-3】（2023上·北京昌平·七年级统考期末）给出如下定义：如果∠AOC+∠BOC=90°，且∠AOC=k∠BOC（k为正整数），那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①∠BOC=15°；②∠AOC=70°；③OC是∠AOB的角平分线；
(2)如图，当∠BOC=30°时，在图中画出∠BOC的一个“倍锐角”∠AOC；
(3)如图，当∠BOC=60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”∠AOC=_____°；
(4)当∠BOC=m°且存在它的“倍锐角”∠AOC时，则∠AOB=________°．
专题7.4 期末复习之解答压轴题十三大题型总结
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23601" 【题型1 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc23601 \h 1
\l "_Tc12791" 【题型2 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc12791 \h 8
\l "_Tc13154" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc13154 \h 17
\l "_Tc6553" 【题型4 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc6553 \h 26
\l "_Tc3961" 【题型5 利用整式加减确定方案问题】 PAGEREF _Tc3961 \h 31
\l "_Tc15485" 【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】 PAGEREF _Tc15485 \h 35
\l "_Tc12536" 【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】 PAGEREF _Tc12536 \h 41
\l "_Tc10916" 【题型8 一元一次方程的实际应用】 PAGEREF _Tc10916 \h 45
\l "_Tc6972" 【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】 PAGEREF _Tc6972 \h 51
\l "_Tc18382" 【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】 PAGEREF _Tc18382 \h 58
\l "_Tc16758" 【题型11 动点或旋转角的综合运用】 PAGEREF _Tc16758 \h 67
\l "_Tc10008" 【题型12 数式或图形中的规律问题】 PAGEREF _Tc10008 \h 75
\l "_Tc19537" 【题型13 数式或图形中的新定义问题】 PAGEREF _Tc19537 \h 80
【题型1 数轴上的动点定值问题】
【例1】（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知A,B,C,D四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．动点P,Q同时分别从点A,D出发，相向而行，点P的运动速度为每秒4个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，线段BC所在部分为“交换区”，规则为：点P从点B进入“交换区”，其运动速度变为点Q原来的运动速度，点Q从点C进入“交换区”，其运动速度变为点P原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为t秒．
(1)分别求a，d的值；
(2)当P,Q两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数；
(3)当点P在点Q的左侧且满足BP=CQ时，求t的值．
【答案】(1)−24，12
(2)当P,Q两点相遇时，t=416，相遇点在数轴上所对应的数为−43
(3)t的值为4或194或112
【分析】（1）由|b|=|c|=6，且如图点B，点C分别在原点两侧，可求b=−6，c=6，则BC=12，由AB=32BC=95CD，可得AB=18，CD=10，然后求a，d的值即可；
（2）由题意得，点P从A到B需184=92秒，点Q从D到C需要102=5秒，即P与Q在线段BC上相遇，依题意得，18+2t−92+4t−5+10=40，计算求解，然后求相遇点在数轴上所对应的数即可；
（3）分当点P在A，B间，点Q在C，D间时，即0