北师大版八年级数学上册专题3.1平面直角坐标系【九大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题3.1平面直角坐标系【九大题型】同步练习(学生版+解析)，共39页。

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\l "_Tc5745" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Tc5745 \h 1
\l "_Tc2602" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Tc2602 \h 3
\l "_Tc10676" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Tc10676 \h 4
\l "_Tc32422" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Tc32422 \h 4
\l "_Tc14864" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Tc14864 \h 4
\l "_Tc6726" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc6726 \h 6
\l "_Tc16054" 【题型7 坐标系中的平移变换】 PAGEREF _Tc16054 \h 7
\l "_Tc19678" 【题型8 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Tc19678 \h 8
\l "_Tc4079" 【题型9 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Tc4079 \h 9
【知识点1 有序数对】
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）.
【题型1 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列
【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】
1.坐标平面内点的坐标特征:
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
2.平行于坐标轴的直线的表示:
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
3.象限角平分线的特点:
①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【题型2 平面内点的坐标特征】
【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ）

A．(0，0)B．(0，−1)C．(−1，1)D．(−1，0)
【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）
A．1，2B．3，0C．0，−1D．−5，6
【变式2-3】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−1,m2+1一定在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【知识点3 点到坐标轴的距离】
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】
【例3】（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ）
A．3,−4B．−3,4C．4,−3D．−4,3
【变式3-1】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）直角坐标平面内的点Pa,b到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．
【变式3-2】（2023春·天津西青·八年级校联考期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）
A．(8,−4)B．−4,8C．(2,4)D．−4,2
【变式3-3】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）已知点P坐标为2+a,3a−6且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A．6,6B．3,−3C．−6,−6或−3,−3D．6,6或3,−3
【知识点4 坐标平面内对称点坐标的特点】
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】
【例4】（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知点A的坐标为a,a−2，点B的坐标为5,a+3，AB∥y轴，则线段AB的长为（ ）
A．5B．6C．7D．13
【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）若点Ma+3，a−2在x轴上，则a=______．
【变式4-2】（2023春·八年级校考期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．
【变式4-3】（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点M2−m,1+2m.
(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；
(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.
【题型5 坐标系内求图形的面积】
【例5】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中点A−3,0，B5,0，C3,4，D−2,3．
（1）求四边形ABCD的面积
（2）点P为y轴上一点，且△ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．
【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,1)，B(3,2)，C(3,4)．
（1）请在平面直角坐标系中描出A，B，C三点，再连接AB，BC，AC，并求△ABC的面积；
（2）连接OA，OB，请直接写出△ABO面积的值．
【变式5-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）
A．−4B．4C．±4D．±5
【变式5-3】（2023春·青海西宁·八年级校考期中）已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．
（1）在平面直角坐标系中标出点A，B，C的位置；
（2）求线段AB的长；
（3）求点C到x轴的距离，点C到AB的距离；
（4）求三角形ABC的面积；
（5）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．
【知识点5 点的平移】
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”
【题型6 图形在坐标系中的平移】
【例6】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题：

(1)若将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积；
(3)已知第一象限内有两点P3， n+2，Q6， n．平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上．请直接写出点P平移后的对应点的坐标．
【变式6-1】（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）
A．−x,−yB．−x,y+4C．x−4,y+4D．x+4,y−4
【变式6-2】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'刚好落在x轴上，则m的值为( )
A．−2B．0C．1D．2
【变式6-3】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点Aa−5,2b−1在y轴上，点B3a+2,b+3在x轴上，则点Ca,b向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为______．
【题型7 坐标系中的平移变换】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为−4,5，−1,3．

(1)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出A和C'的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使PA+PC最小，在图中标出点P．
【变式7-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点Aa,1与点B−2,b关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【变式7-2】（2023·宁夏银川·八年级贺兰县第一中学校考期末）已知，点A0，1，B2，0，C4，3．
(1)在坐标系中画出△ABC；
(2)求△ABC的面积；
(3)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(4)画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标．
【变式7-3】（2023春·四川达州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是3,2则经过第2022次变换后所得的点A的坐标是 ．

【题型8 利用平面直角坐标系解决探究性问题】
【例8】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．2023,0B．2023,1C．2023,2D．2024,0
【变式8-1】（2023春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）
A．(13,13)B．(14,14)C．(15,15)D．(14,15)
【变式8-2】（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过两次翻滚，点A对应点记为A2；…；经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为___________．
【变式8-3】（2023春·山西·八年级期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．
(1)点A5的坐标为___________，点A9的坐标为___________，点A13的坐标为___________，点A4n+1的坐标为___________．
(2)直接写出点A1到点A2025的距离：___________．
【题型9 建立适当的直角坐标系解决实际问题】
【例9】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）我们出门旅游经常利用平面图确定位置，如图是某地火车站及周围场所的简单平面图，（图中每个小正方形的边长代表1千米）．
(1)请以图中某一场所所在的位置为坐标原点，以小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并直接写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；
(2)在（1）中所建的坐标平面内，相关部门计划兴建一所学校，请你选择某一格点为学校E的位置，请在图中标出学校E的位置并写出E的坐标，简要说明你的选址理由.
【变式9-1】（2023春·山西太原·八年级统考期中）直升机除了可以正常飞行，还可以悬停在空中进行作业，这也是直升机区别于一般固定翼飞机的一种特有飞行状态．如图，训练中的三架直升机按要求悬停在同一高度，若甲、乙的位置分别表示为1,0，−1,−2，则丙直升机的位置表示为______．
【变式9-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）
专题3.1 平面直角坐标系【九大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8089" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Tc8089 \h 1
\l "_Tc30380" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Tc30380 \h 4
\l "_Tc4017" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Tc4017 \h 6
\l "_Tc16347" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Tc16347 \h 8
\l "_Tc31710" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Tc31710 \h 9
\l "_Tc26558" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc26558 \h 14
\l "_Tc29717" 【题型7 坐标系中的平移变换】 PAGEREF _Tc29717 \h 17
\l "_Tc4122" 【题型8 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Tc4122 \h 22
\l "_Tc9758" 【题型9 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Tc9758 \h 25
【知识点1 有序数对】
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）.
【题型1 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．
【答案】CAT
【分析】根据题意即可求解．
【详解】解：∵咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“DOG”，表示2,2，1,1，3,1对应的字母为“DOG”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示2,1，3,2，1,3，对应表格中的“CAT”，
故答案为：CAT．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误，不符合题意；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确，符合题意；
C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误，不符合题意；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误，不符合题意．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可．
【详解】解：可以组成2，3，2，5，3，2，3，5，5，2，5，3共6个有序实数对，
故选D．
【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
【答案】（1）+3，+4；+2，0；A；（2）见解析
【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；
【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；
（2）根据行走路线可得：P点位置如图所示．
【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】
1.坐标平面内点的坐标特征:
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
2.平行于坐标轴的直线的表示:
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
3.象限角平分线的特点:
①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【题型2 平面内点的坐标特征】
【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ）

A．(0，0)B．(0，−1)C．(−1，1)D．(−1，0)
【答案】D
【分析】根据题意，确定坐标系的原点，由此即可求解．
【详解】解：∵“兵”位于点(1，−1)，如图所示，确定坐标系原点，

∴“炮”位于点(−1,0)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的知识，掌握平面直角坐标系原点的确定方法是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系象限的特点即可求解．
【详解】解：∵点P(1，−4)中，x>0,y