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北师大版八年级数学上册专题4.8一次函数章末九大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)
展开这是一份北师大版八年级数学上册专题4.8一次函数章末九大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)，共44页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30499" 【题型1 根据一次函数的性质求参数】 PAGEREF _Tc30499 \h 1
\l "_Tc30392" 【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】 PAGEREF _Tc30392 \h 1
\l "_Tc17830" 【题型3 确定一次函数经过的象限】 PAGEREF _Tc17830 \h 2
\l "_Tc7495" 【题型4 根据一次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc7495 \h 2
\l "_Tc215" 【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc215 \h 3
\l "_Tc12227" 【题型6 一次函数的平移】 PAGEREF _Tc12227 \h 3
\l "_Tc2907" 【题型7 确定一次函数解析式】 PAGEREF _Tc2907 \h 4
\l "_Tc8170" 【题型8 一次函数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8170 \h 6
\l "_Tc2789" 【题型9 一次函数的规律探究】 PAGEREF _Tc2789 \h 8
【题型1 根据一次函数的性质求参数】
【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）直线y=kx+b经过点3,−2，当−1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为 ．
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）已知一次函数图像经过点1,2，4,−4，m,3，求m的值．
【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知一次函数y=kx+1，当自变量的取值范围是k≤x≤3时，相应的函数值的范围是a≤y≤7，则a= ．
【变式1-3】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）数k使关于x的方程1x−2+kx−12−x=1的解是整数，且k使一次函数y=k−3x+k+2的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数k的值的和是 ．
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点3,1在该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是（ ）
A．0
A．k>−13B．−13
【变式2-2】（2023春·贵州·八年级统考期末）已知关于x的一次函数y=(2a−3)x+a+2，其图象在−2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是( )
A．m
【例3】（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第 象限．
【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(−1,−1)，(1,−3)两点，则其函数图象不经过第 象限．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级期末）如果直线y=2m+1x−2+m经过第一、三、四象限，那么则m的取值范围是 ．
【题型4 根据一次函数的性质比较大小】
【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，x1
【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1，−1.3，y2，2.7，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3B．y2
【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，Bm2−a，n2+b，Pa，y1，Qb，y2都在这条直线上，则下列一定正确的是（ ）
A．y1>y2B．y1
【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2,1，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】
【例5】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1，y1)、B(x2，y2)是这个函数的图象上的点，且y1−y2>0，则x1−x2<0；④当−3≤x≤1，函数的值2≤y≤6，则b=3．其中正确的序号为 ．
【变式5-1】（2023秋·江苏·八年级期末）在下列叙述中，正确的个数有（ ）
①正比例函数y=2x的图象经过二、四象限；
②一次函数y=2x−3中，y随x的增大而增大；
③函数y=3x+1中，当x=−1时，函数值为y=−2；
④一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；
③a−c=d−b3；
④d
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型6 一次函数的平移】
【例6】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到，且经过点1,1．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【变式6-1】（2023春·北京海淀·八年级期末）已知直线l:y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)，将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点(1,7)．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）已知点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点B的对应点D落在y轴上，则线段AB与y轴的交点P经过平移后对应点的坐标为 ．
【变式6-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）在平面直角坐标系中点 A（m−3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，−5），且点 B 在第二象限．
（1）点 B 向 平移 单位，再向下平移 （用含 m 的式子表达）单位可以与点 A 重合；
（2）若点 B 向下移动 3 个单位，则移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等，且有点 C（m−2，0）．
①则此时点 A、B、C 坐标分别为 、 、 ．
②将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 n 个单位，若平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点，求 n 的取值范围．
③当 m<−1 式，连接 AD，若线段 AD 沿直线 AB 方向平移得到线段 BE，连接 DE 与直线y=−2 交于点 F，则点 F 坐标为 ．（用含 m 的式子表达）
【题型7 确定一次函数解析式】
【例7】（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，一次函数y1=kx+bk≠0的图象分别与x轴和y轴相交于C、A0，6两点，且与正比例函数y2=−2x的图象交于点B−2，m．
(1)求一次函数的解析式；
(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD=2S△OCB，求点D的坐标．
【变式7-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）已知一次函数y1=k−1x+2k−1．
(1)若点(2,−1)在y1的图象上，求k的值；
(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y1的函数表达式；
(3)对于一次函数y2=(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y1>y2都成立，求k、a满足的数量关系及k的取值范围．
【变式7-2】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
【变式7-3】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b k≠0的图象与x轴交于点A5,0，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B3,n．
(1)求一次函数y1=kx+b k≠0的解析式；
(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1=kx+b k≠0的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE=3CD时，求DE的长；
(3)直线y=kx−k经过定点1,0，当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是 .
【题型8 一次函数中的新定义问题】
【例8】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，C(2,0)，D(2,4)，给出定义：若直线l与线段AB，CD都有公共点，则称直线l是线段AB，CD的“友好直线”．若直线y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，则b的取值范围是 ．
【变式8-1】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中点A(−4,0)，B(−4,4)，C(0,4)．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到P'，点P'在正方形OABC的内部或边上，则称点P为正方形OABC的“和谐点”，若在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，则k的取值范围是 ．
【变式8-2】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：
(1)min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
(2)如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图象，直接写出x的取值范围是 ．
(3)在（2）的基础上，直线y1＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y2＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP的面积．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
(1)已知点A(﹣12,0)，B为y轴上的一个动点
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)如图2，已知C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．
【题型9 一次函数的规律探究】
【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是 ．
【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线 y=−13x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020= ．
专题4.8 一次函数章末九大题型总结（培优篇）
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30499" 【题型1 根据一次函数的性质求参数】 PAGEREF _Tc30499 \h 1
\l "_Tc30392" 【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】 PAGEREF _Tc30392 \h 4
\l "_Tc17830" 【题型3 确定一次函数经过的象限】 PAGEREF _Tc17830 \h 7
\l "_Tc7495" 【题型4 根据一次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc7495 \h 8
\l "_Tc215" 【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc215 \h 11
\l "_Tc12227" 【题型6 一次函数的平移】 PAGEREF _Tc12227 \h 14
\l "_Tc2907" 【题型7 确定一次函数解析式】 PAGEREF _Tc2907 \h 20
\l "_Tc8170" 【题型8 一次函数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8170 \h 25
\l "_Tc2789" 【题型9 一次函数的规律探究】 PAGEREF _Tc2789 \h 31
【题型1 根据一次函数的性质求参数】
【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）直线y=kx+b经过点3,−2，当−1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为 ．
【答案】4或−2
【分析】先根据直线y=kx+b经过点3,−2得到3k+b=−2①，再分k=0，k>0，k<0三种情况结合当−1≤x≤5时，y的最大值为6进行求解即可．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过点3,−2，
∴3k+b=−2①，
当k=0时，则b=−2，则直线y=kx+b即为直线y=−2，
又∵当−1≤x≤5时，y的最大值为6，
∴此种情况不成立；
当k>0时，则y随x增大而增大，
∴当x=5时，y=6，
∴5k+b=6②，
联立①②得：k=4b=14；
当k<0时，则y随x增大而减小，
∴当x=−1时，y=6，
∴−k+b=6③，
联立①③得：k=−2b=4；
综上所述，k=4或k=−2，
故答案为：4或−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）已知一次函数图像经过点1,2，4,−4，m,3，求m的值．
【答案】见解析
【分析】设这个一次函数解析式为y=kx+bk≠0，确定函数解析式，后转化为根据函数值求自变量的值．
【详解】解：设这个一次函数解析式为y=kx+bk≠0
∵一次函数图像过点1,2和4,−4
∴k+b=24k+b=−4，
解得k=−2b=4，
∴y=−2x+4
∵直线y=−2x+4过点m,3
∴−2m+4=3，
∴m=12．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其求值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知一次函数y=kx+1，当自变量的取值范围是k≤x≤3时，相应的函数值的范围是a≤y≤7，则a= ．
【答案】5或−36+1．
【分析】根据题意，分别求得当x=k，x=3时的函数值，分k<0,k>0根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】当x=k时，y=k2+1,
当x=3时，y=3k+1，
∵k≤x≤3，
当k>0时，
∴k2+1≤3k+1，
∴k2+1=a，3k+1=7
解得：k=2，a=22+1=5，
当k<0时，k2+1>3k+1，
则k2+1=7，解得:k=−6或k=6（舍去）
∴a=3k+1=−36+1，
综上所述，a=5或−36+1，
故答案为：a=5或−36+1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）数k使关于x的方程1x−2+kx−12−x=1的解是整数，且k使一次函数y=k−3x+k+2的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数k的值的和是 ．
【答案】−2
【分析】根据关于x的方程1x−2+kx−12−x=1解是整数，且一次函数y=k−3x+k+2的图象不经过第三象限，可以求得满足条件的k的值，从而可以得到满足条件的所有整数k的和．
【详解】解：由分式方程1x−2+kx−12−x=1得，x=4k+1，
∵分式方程程1x−2+kx−12−x=1的解是整数，
∴4k+1是整数且不等于2，
∵一次函数y=k−3x+k+2的图象不经过第三象限，
∴k−3<0k+2≥0，
解得：−2≤k<3，
∵4k+1是整数且不等于2，
∴k=−2，0，
∵−2+0=−2，
∴满足条件的所有整数k的值的和是−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的k的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点3,1在该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是（ ）
A．0
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=−3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，b>0，则k的范围为0
因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
所以k>0，b>0，即−3k+1>0，
所以k的范围为0
所以m的范围为−1
【变式2-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为（ ）
A．k>−13B．−13
【答案】B
【分析】先求得一次函数图象与x轴的交点横坐标，利用横坐标大于0得到不等式求解即可．
【详解】解：令y=0，由kx+3k+1=0得x=−3−1k，
∵一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，
∴−3−1k>0，
当k>0时，k<−13，不符合题意，舍去；
当k<0时，k>−13，
∴−13
【变式2-2】（2023春·贵州·八年级统考期末）已知关于x的一次函数y=(2a−3)x+a+2，其图象在−2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
【答案】32
【详解】解：∵y=(2a−3)x+a+2是y关于x的一次函数，
∴2a−3≠0，
∴a≠32，
∴分两种情况讨论如下：
①当2a−3>0时，即a>32，
此时y随x的增大而增大，
当x=−2时，y=−4a+6+a+2=−3a+8，
∵该函数图象在−2≤x<1的一段都在x轴上方，
∴−3a+8>0，
解得：a<83，
∴a的取值范围是：32
此时y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2a−3+a+2=3a−1，
∵该函数图象在−2≤x<1的一段都在x轴上方，
∴3a−1>0，
解得：a>13，
∴a的取值范围是：13
【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是( )
A．m
【分析】设直线l的解析式为y=kx+bk≠0，根据直线l过点(0，m)，(2，n)，p,1和(3，−2)，得出k的表达式，再根据经过二、三、四象限判断出k的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，设直线l的解析式为y=kx+bk≠0，
∵直线l经过二、三、四象限，
∴k<0，b<0，y随x的增大而减小，
A选项，∵0<2，y随x的增大而减小，∴m>n,故该选项不符合题意；
B选项，∵0<3，y随x的增大而减小，∴m>−2，故该选项不符合题意；
C选项，∵2<3，y随x的增大而减小，∴n>−2，故该选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．
【题型3 确定一次函数经过的象限】
【例3】（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第 象限．
【答案】一
【分析】由一次函数的定义可知m+1≠0，故可分类讨论：当m+1>0和m+1<0时，分别求出−2m+3的取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵该函数为一次函数，
∴m+1≠0，即m≠−1
分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，
∴−2m+3<5，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；
②当m+1<0，即m<−1时，
∴−2m+3>7，
∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，其图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，其图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键．
【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(−1,−1)，(1,−3)两点，则其函数图象不经过第 象限．
【答案】一
【分析】用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式确定经过的象限．
【详解】将(−1,−1)，(1,−3)代入y=kx+b(k≠0)得，
−1=−k+b−3=k+b，
解得k=−1b=−2，
故函数解析式为y=−x−2，
函数经过二、三、四象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，求出函数的解析式是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级期末）如果直线y=2m+1x−2+m经过第一、三、四象限，那么则m的取值范围是 ．
【答案】−12
【详解】解：∵直线y=2m+1x−2+m经过第一、三象限，
∴2m+1>0，解得：m>−12，
∵直线y=2m+1x−2+m经过第四象限，
∴−2+m<0，解得：m<2，
综上：m的取值范围是−12
【题型4 根据一次函数的性质比较大小】
【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，x1
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵直线y=−2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y=0时，x=1.5，
∵x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，且x1
∴x1
∴y1y2>0，y2y3>0或y2y3<0，故选项A符合题意；
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1，−1.3，y2，2.7，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3B．y2
【答案】A
【分析】由解析式y=3x+b可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系．
【详解】解：∵y=3x+b，
∴y随x增大而增大，
∵−2.3<−1.3<2.7，
∴y1
【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，Bm2−a，n2+b，Pa，y1，Qb，y2都在这条直线上，则下列一定正确的是（ ）
A．y1>y2B．y1
【答案】D
【分析】由ab<0可知a<0，b>0或a>0，b<0，然后分情况讨论，根据点A，B的坐标得出a>0，b<0时符合题意，再根据一次函数的增减性得出答案．
【详解】解：∵ab<0，
∴a<0，b>0或a>0，b<0，
①当a<0，b>0时，y随x增大而减小，
∵点Am2，n2，Bm2−a，n2+b在这条直线上，且m2−a>m2，n2+b>n2，
∴y随x增大而增大，与题意矛盾，此情况舍去；
②当a>0，b<0时，y随x减小而减小，
∵点Am2，n2，Bm2−a，n2+b在这条直线上，且m2−a
∴a>0，b<0，
∴a>0>b，
又∵点Pa，y1，Qb，y2在这条直线上，
∴y1>y2，
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数y=ax+b中，当a>0时，y随x增大而增大；当a<0时，y随x增大而减小是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2,1，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】根据一次函数的解析式y=−2x+1得出y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：y=−2x+1，
∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−1<1，
∴x1>x2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】
【例5】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1，y1)、B(x2，y2)是这个函数的图象上的点，且y1−y2>0，则x1−x2<0；④当−3≤x≤1，函数的值2≤y≤6，则b=3．其中正确的序号为 ．
【答案】①②③④
【分析】图象过第一，二，四象限，可得k<0，b>0，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②．
【详解】解：∵图象过第一，二，四象限，
∴k<0，b>0；故①正确
由图象知，该直线与x轴的交点坐标是(m,0)，则x=m是方程kx+b=0的解，
故②正确；
∴y随x增大而减小，
∵y1−y2>0，
∴y1>y2，
∴x1
当−3≤x≤1时，2≤y≤6，
∴当x=−3时，y=6；x=1时，y=2，
代入y=kx+b得−3k+b=6k+b=2，
解得b=3；故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质．
【变式5-1】（2023秋·江苏·八年级期末）在下列叙述中，正确的个数有（ ）
①正比例函数y=2x的图象经过二、四象限；
②一次函数y=2x−3中，y随x的增大而增大；
③函数y=3x+1中，当x=−1时，函数值为y=−2；
④一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①根据y=2x中k=2＞0，可知函数图象经过第一、三象限；②根据y=2x−3中k=2＞0，可知y随x的增大而增大；③当x=−1时， y=3x+1=3×−1+1=−2；④y=x+1中，当x=−1时，y=0，可知一次函数y=x+1与x轴交点为−1,0，正确的叙述有3个．
【详解】解：①∵正比例函数y=2x中，k=2＞0，
∴有该函数图象经过第一、三象限，
故错误；
②∵一次函数y=2x−3中，k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
故正确；
③∵x=−1时，
∴y=3x+1中，y=3×−1+1=−2，
故正确；
④∵一次函数y=x+1中，x=−1时，
y=0，
∴一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0，
故正确．
∴综上所述：正确的叙述是3个．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握由一次函数的图象特征判定函数性质，由解析式的系数特征判定函数图象特征，点和图象位置关系的判定，是解题的关键．
【变式5-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）关于自变量x的函数y＝（k－3）x＋2k，下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点（－2，6）；
③若函数经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k＜3
其中结论正确的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据一次函数的定义，函数图像和系数的关系逐一判断选项即可.
【详解】解：①当k≠3时，函数是一次函数；故①符合题意；
②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，当x＝﹣2时，y＝6，过函数过点（﹣2，6），故②符合题意；
③函数y＝（k﹣3）x+2k经过二，三，四象限，则k−3<02k<0，解得：k＜0，故③符合题意；
④当k﹣3＝0时，y＝6，与x轴无交点；当k≠3时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即﹣2kk−3>0，解得：0＜k＜3，故④不符合题；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查根据一次函数的定义，一次函数图象的性质，一次函数与x轴交点问题，交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；
③a−c=d−b3；
④d
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①根据函数图像直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当x=3时，y1=y2；④当x=1和x=−1时，根据图像得不等式．
【详解】解：由图像可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a<0，d<0，所以函数y=ax+d的图像经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d，
∴3a−3c=d−b，
∴ a−c=d−b3，故③正确；
当x=1时，y1=a+b，
当x=−1时，y2=−c+d，
由图像可知y1>y2，
∴a+b>−c+d，
∴d
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质，利用数形结合是解题的关键．
【题型6 一次函数的平移】
【例6】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到，且经过点1,1．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=−x+2
(2)−1≤m≤2且m≠0
【分析】（1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点1,1代入y=kx+b求解b值即可求解；
（2）将1,1代入y=mx−1中，求得m=2，再结合一次函数的图像与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到的，
∴k=−1．
将点1,1代入y=kx+b，得b=2，
∴一次函数的表达式是y=−x+2；
（2）解：将1,1代入y=mx−1中，解得m=2，
如图，
∵当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=−x+2的值，
∴−1≤m≤2且m≠0．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．
【变式6-1】（2023春·北京海淀·八年级期末）已知直线l:y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)，将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点(1,7)．
【答案】 左 4
【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点(1,7)，列得关于m的方程，解方程即可．
【详解】已知直线l:y=kx+bk≠0
则该直线向上平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b+5k≠0
∵它过点(3,7)
∴3k+b+5=7
原直线向下平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b−5k≠0
∵它过点(7,7)
∴7k+b−5=7
解方程组3k+b+5=77k+b−5=7得k=52b=−112，
∴y=52x−112
设它向左平移m个单位后过点(1,7)
y=52x+m−112过点(1,7)
即521+m−112=7
解得：m=4
即直线向左平移4个单位后过点(1,7)，
故答案为：左，4．
【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）已知点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点B的对应点D落在y轴上，则线段AB与y轴的交点P经过平移后对应点的坐标为 ．
【答案】1，−92
【分析】先求得直线AB的解析式，得到线段AB与y轴的交点P的坐标，再根据点A的对应点C在x轴上得出纵坐标变化的规律，根据点B对应点D在y轴上得出横坐标变化的规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，且点A3，4，B−1，−2，
则3k+b=4−k+b=−2，解得k=32b=−12，
∴直线AB的解析式为y=32x−12，
令x=0，则y=−12，
∴线段AB与y轴的交点P的坐标为0，−12
∵点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点B的对应点D落在y轴上，
∴点A的纵坐标减4，点B的横坐标加1，
∴点P的对应点的坐标是0+1，−12−4，即1，−92．
故答案为：1，−92．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式6-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）在平面直角坐标系中点 A（m−3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，−5），且点 B 在第二象限．
（1）点 B 向 平移 单位，再向下平移 （用含 m 的式子表达）单位可以与点 A 重合；
（2）若点 B 向下移动 3 个单位，则移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等，且有点 C（m−2，0）．
①则此时点 A、B、C 坐标分别为 、 、 ．
②将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 n 个单位，若平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点，求 n 的取值范围．
③当 m<−1 式，连接 AD，若线段 AD 沿直线 AB 方向平移得到线段 BE，连接 DE 与直线y=−2 交于点 F，则点 F 坐标为 ．（用含 m 的式子表达）
【答案】（1）左；3；(1-2m)；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1≤n≤193；③ F(91−2m,−2)．
【分析】(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解
(2)①根据B点向下平移后，点B和点A的纵坐标相等得到等量关系，可求出m的值，从而求出A、B、C三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K点坐标，作 KH⊥BM 与 H 点，表示出H点坐标，然后利用面积关系SΔABM=SΔAKM+SΔBKM求出距离；当 B'在线段 CD 上时，BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD，利用S△COD S△OB'C S△OB'D，求出n的值，从而求出n的取值范围；③通过坐标平移法用m表示出E点的坐标，利用D、E两点坐标表示出直线DE的函数关系式，令y=﹣2，求出x的值即可求出F点坐标．
【详解】解：（1）根据平移规律可得：B向左平移；
m－（m－1）=3，所以平移3个单位；
m+4－（3m+3）=1－2m，所以再向下平移(1-2m)个单位；
故答案为：左；3；(1-2m)
（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B（m，m+1）
∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等
∴m+1=3m+3
∴m=﹣1
∴A（-4,0）；B（-1,0）；C（-3,0）；
②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，
设 K 点坐标为（-3，a）
M 点坐标为（-1,0）
作 KH⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a）
AM=3,BM=3,KC=a,KH=2
∵SΔABM=SΔAKM+SΔBKM
∴AM×BM2=KC×AM2+KH×BM2
∴3×32=3×a2+2×32
解得：a=1，
∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点，
∴ n 1，
当 B'在线段 CD 上时，如图 2
BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3
∵ S△COD S△OB'C S△OB'D
∴CO×OD2=CO×B'M2+OD×B'E2
∴3×52=3×(n−3)2+5×12
解得：n=193，
综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1≤n≤193．
③∵A（m−3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，−5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段 BE，
∴E点横坐标为：3
E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m
∴E（3，﹣4－2m），
设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b
∴3k+b=﹣4－2mb=﹣5∴ k=1-2m3b=-5 ，
∴y=1－2m3x－5 ，
把y=﹣2代入解析式得：﹣2=1－2m3x－5，
x=91－2m ，
∴F(91−2m,−2)．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．
【题型7 确定一次函数解析式】
【例7】（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，一次函数y1=kx+bk≠0的图象分别与x轴和y轴相交于C、A0，6两点，且与正比例函数y2=−2x的图象交于点B−2，m．
(1)求一次函数的解析式；
(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD=2S△OCB，求点D的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式y=x+6
(2)x>−2
(3)D点的坐标为2，8或(−14，−8)
【分析】（1）将x=−2代入y2=−2x，求出m为4，再将点A0，6，B(−2，4)代入y1=kx+b即可求出一次函数的解析式；
（2）当x>−2时，直线y1=kx+bk≠0在直线y2=−2x的上方；
（3）根据S△OCD=2S△OCB，利用三角形面积公式即可求出|yD|=8，得出D的纵坐标，代入y=x+6即可求得横坐标．
【详解】（1）解：把B−2，m代入y=−2x中得m=4，
∴B(−2，4)，
把A0，6、B(−2，4)代入y=kx+b得b=6−2k+b=4，
解得k=1b=6，
∴一次函数的解析式y=x+6；
（2）解：观察图象可知，当y1>y2时，x>−2；
（3）解：由S△OCD=12OC⋅yD=12×OC×|yD|，S△OCB=12×OC×4，
∵S△OCD=2S△OCB，
∴|yD|=8，
∴yD=±8，
代入y=x+6得x=2或x=−14，
∴D点的坐标为2，8或(−14，−8)．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）已知一次函数y1=k−1x+2k−1．
(1)若点(2,−1)在y1的图象上，求k的值；
(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y1的函数表达式；
(3)对于一次函数y2=(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y1>y2都成立，求k、a满足的数量关系及k的取值范围．
【答案】(1)k=12
(2)当k>1时，y1=25x+95；当k<1时，y1=−23x−13
(3)k=a+4，k>−23且k≠1
【分析】（1）直接将点代入函数表达式中求解即可；
（2）根据一次函数的增减性，分k−1>0和k−1<0两种情况求解即可；
（3）整理y2=a+3x−a−7，将对一切实数x，y1>y2都成立转化为y1∥y2，且直线y1在直线y2的上方，可得到k−1=a+3，且2k−1>−a−7，进而可求解．
【详解】（1）解：∵点(2,−1)在y1的图象上，
∴2k−1+2k−1=−1，解得k=12；
（2）解：当k−1>0即k>1时，函数y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最大值为3，由3k−1+2k−1=3得k=75，
∴y1=25x+95；
当k−1<0即k<1时，函数y随x的增大而减小，
∴当x=−5时，y有最大值为3，由−5k−1+2k−1=3得k=13，
∴y1=−23x−13；
（3）解：整理y2得y2=a+3x−a−7，
∵对一切实数x，y1>y2都成立，
∴y1∥y2，且直线y1在直线y2的上方，
∴k−1=a+3，且2k−1>−a−7，
∴k=a+4，且2k−1>−k+4−7，
解得k>−23，又k≠1，
∴k的取值范围为k>−23且k≠1．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的性质，（2）注意分类讨论思想的运用，（3）得到y1∥y2，且直线y1在直线y2的上方是解答的关键．
【变式7-2】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
【答案】y=910x
【分析】如图，利用正方形的性质得到B(0,3)，由于直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则SΔAOB=5，然后根据三角形面积公式计算出AB的长，从而可得A点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式.
【详解】解：如图，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴SΔAOB=4+1=5，
而OB=3，
∴ 12AB·3=5，
∴AB=103，
∴A点坐标为(103，3)．
设直线l的解析式为y=kx，
∴103k=3，解得k=910，
∴直线l的解析式为y=910x
故答案为y=910x．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得SΔAOB=5求分割点A的位置是解题关键.
【变式7-3】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b k≠0的图象与x轴交于点A5,0，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B3,n．
(1)求一次函数y1=kx+b k≠0的解析式；
(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1=kx+b k≠0的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE=3CD时，求DE的长；
(3)直线y=kx−k经过定点1,0，当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是 .
【答案】(1)y1=−2x+10
(2)DE=8
(3)k=1或2
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1=kx+b k≠0的解析式．
（2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则Dm,−2m+10，Em,23m+2），由CE=3CD求出m，即可得DE的长．
（3）由图可知，将点B和点A代入直线y=kx−k，可确定k的范围，参考题意k取正整数值．
【详解】（1）当x=3时，y2=23x+2=4，
∴B点坐标为3,4，
直线y1=kx+b经过A5,0和B3,4，
则5k+b=03k+b=4，
解得： k=−2b=10，
∴一次函数y1=kx+b k≠0的解析式为y1=−2x+10．
（2）设点C的横坐标为m，则Dm,−2m+10，Em,23m+2），
∴ CE=23m+2，CD=2m−10，
∵ CE=3CD，
∴ 23m+2=32m−10，解得m=6，
∴ D6,−2，E6,6，
∴ DE=8．
（3）∵ 3k−k≤45k−k≥0，
∴解得0≤k≤2，
∵k取正整数值，
∴ k=1或2．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
【题型8 一次函数中的新定义问题】
【例8】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，C(2,0)，D(2,4)，给出定义：若直线l与线段AB，CD都有公共点，则称直线l是线段AB，CD的“友好直线”．若直线y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，则b的取值范围是 ．
【答案】1≤b≤3
【分析】分别作直线BD∥l，AE∥BD，求得yBD=12x+3， yAE=12x+1，进而即可求解．
【详解】连接BD，
∵直线y=12x+b的系数k=yD−yBxD−xB=4−22+2=24=12，
设直线BD的解析式为：yBD=12x+m，
将B(−2,2)代入上式可得：2=12×−2+m，
解得：m=3，
∴直线BD的解析式为：yBD=12x+3，
又yBD=12x+3与直线y=12x+b平行，
∴当b≤3时，y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，
作AE∥BD交CD于点E，
可设yAE=12x+n，
要使yAE=12x+n与线段AB，CD都有公共点，
需要将点A(−2,0)代入上式可得：0=12×−2+n，
解得：n=1，
∴yAE=12x+1，
∴b≥1时，y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，
∴1≤b≤3，
故答案为：1≤b≤3．
【点睛】本题考查用待定系数法求解析式以及一次函数图象上的坐标特征，解题的关键是理解题意，作出符合题意的函数图象，利用数形结合的数学思想．
【变式8-1】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中点A(−4,0)，B(−4,4)，C(0,4)．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到P'，点P'在正方形OABC的内部或边上，则称点P为正方形OABC的“和谐点”，若在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥4或k≤−43
【分析】由在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，可知Q'在直线y=k(x+3)+8上，求得直线经过点B和C时的k的值，即可求得k的取值范围．
【详解】解：直线y=kx+6向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到y=k(x+3)+8，
把B(−4,4)代入得−k+8=4，解得k=4，
把C(0,4)代入得3k+8=4，解得k=−43，
∴k≥4或k≤−43．
故答案为：k≥4或k≤−43．
【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−平移，能够理解题意是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：
(1)min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
(2)如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图象，直接写出x的取值范围是 ．
(3)在（2）的基础上，直线y1＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y2＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP的面积．
【答案】(1)－3，x
(2)x≥−2
(3)53
【分析】（1）根据min{a，b}的定义，即可求解；
（2）根据图象，结合min{a，b}的定义即可；
（3）由P（-2，1）在函数y1=x+m图象上，可求出y1和y2的解析式，进而可得点A、B、C的坐标，由S△ABP=S△ABC－S△PBC即可求解.
【详解】（1）解：根据定义，得min{−3，2}＝−3，
当x≤2时，min{x，2}＝x，
故答案为：−3，x；
（2）解：∵{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，
根据图象，可得x的取值范围：x≥−2，
故答案为：x≥−2；
（3）解：∵P（-2，1）在函数y1=x+m图象上，
∴－2+m=1，
解得m=3，
∴y1=x+3，
当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
当y=0时，x=-3，
∴C（-3，0），
同理得y2=−32x－2，
当y=0时，x=−43，
∴B（−43，0），
∴S△ABP=S△ABC－S△PBC=12BC⋅yA−12BC⋅yP=12×53×2=53
【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合和待定系数法求一次函数解析式.理解新定义的含义，并灵活运用到一次函数中是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
(1)已知点A(﹣12,0)，B为y轴上的一个动点
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)如图2，已知C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．
【答案】(1)①(0,2))或(0,−2)；②12
(2)87，C−87,157
【分析】(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y)，由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0,y)，−12−0≥0−y，据此即可求得点A与点B的“非常距离”最小值；
(2)设点C的坐标为x0,34x0+3，根据材料：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0=34x0+2，据此可以求得点C的坐标．
【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0,y)，
∵−12−0=12≠2，
∴|0−y|=2，
解得y=2或y=−2；
∴点B的坐标是(0,2))或(0,−2)；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为12；
（2）解：如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义“若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|，即AC=AD，
∵C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是(0,1)，
∴设点C的坐标为x0,34x0+3，
∴−x0=34x0+2，
此时，x0=−87，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=87，
此时C−87,157．
【点睛】本题考查了新定义的运算方法，求一次函数图象上点的坐标，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
【题型9 一次函数的规律探究】
【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是 ．
【答案】2×32019
【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，A1(1,1)，B1(1,−1)，
∴A1B1=2，
∴第一个正方形的边长为2，
∴A1D1=2，
∴A2(3,3)，B2(3,−3)，
∴A2B2=2×3=6，
∴第二个正方形的边长为6，
∴A2D2=6，
∴A3(9,9)，B3(9,−9)，即：A3(32，32)， B3(32，−32)，
∴A3B3=2×32=18，
∴第三个正方形的边长为18，
∴A4(27,27)，B4(27,−27)，即：A4(33，33)， B4(33，−33)，
∴A4B4=2×33=54
…，
可得An(3n−1，3n−1)，Bn(3n−1，−3n−1)，AnBn=2×3n−1
第2020个正方形的边长为2×32019．
故答案为： 2×32019．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线 y=−13x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020= ．
【答案】924038
【分析】分别过点P1,P2,P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点P1,P2,P3 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设A1D=a，则P2D=a，
∴OD=6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y=−13x+4得到：−13(6+a)+4=a，
解得：a=32 ，
∴A1A2=2a=3，P2D= 32 ，
同理求得P3E=34，A2A3=32，
∴S1=12×6×3=9，S2=12×3×32=94，S3=12×32×34=916，
∴Sn=94n−1，
因此S2020=942020−1=942019=924038；
故答案为：924038；
【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则B100的坐标为 ．
【答案】（299，2100）
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点B100的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1B2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点An的坐标为（2n−1，0），点Bn的坐标为（2n−1，2n），
∴点B100的坐标为（299，2100）．
故答案为：（299，2100）．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题关键在于掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1；再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以A2为直角顶点，A2B2为直角边，在A2B2的右侧作等腰直角三角形A2B2C2，…，按此规律进行下去，点C1的横坐标为 ，点C2的横坐标为 ，点Cn的横坐标为 ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】 3 92 2×32n
【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，得到A1B1的长以及点C1的横坐标，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，得到A2B2的长以及点C2的横坐标为，最后根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出点∁n的横坐标．
【详解】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，
∴B1（2，1）
∴A1B1＝2﹣1＝1，即A1C1＝1，
∵A1C1＝A1B1＝1，
∴点C1的横坐标为3＝2×（32），
∴A2（3，3），
又∵A2B2∥y轴，交直线y=12x于点B2，
∴B2（3，32），
∴A2B2＝3−32=32，
∴A2C2=32，
∴点C2的横坐标为，92=2×（32）2；
以此类推，
A3B3=94，即A3C3=94，
∴点C3的横坐标为274=2×（32）3，
A4B4=278，即A4C4=278；
点C4的横坐标为818=2×（32）4…
∴AnBn＝（32）n﹣1，即An∁n＝（32）n﹣1．
∴点∁n的横坐标为2×（32）n，
故答案为：3，92，2×（32）n．
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