北师大版八年级数学上册专题5.5二元一次方程组章末拔尖卷同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题5.5二元一次方程组章末拔尖卷同步练习(学生版+解析)，共29页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知方程组x−2y=kx+4y=5的解x与y的值互为相反数，则k的值是（ ）
A．5B．−5C．3D．4
2．（3分）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A．该函数的最小值为−3B．当x≥0时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，对应的函数值y=12D．当x=12和x=32时，对应的函数值相等
3．（3分）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x−y=b(b21−2>14−3>7−6，所以6×7是42的最佳分解，所以F(42)=67．
(1)求F(56)的值；
(2)如果一个两位正整数(个位数不为0），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若
第5章 二元一次方程组章末拔尖卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知方程组x−2y=kx+4y=5的解x与y的值互为相反数，则k的值是（ ）
A．5B．−5C．3D．4
【答案】B
【分析】利用加减消元法解方程组，得到x=5+2k3，y=5−k6，再根据相反数的定义，即可求出k的值．
【详解】解：x−2y=k①x+4y=5②，
由②−①得：6y=5−k，
解得：y=5−k6，
将y=5−k6代入④得：x+4×5−k6=5，
解得：x=5+2k3，
∵x与y的值互为相反数，
∴5−k6+5+2k3=0，
解得：k=−5，
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题关键．
2．（3分）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A．该函数的最小值为−3B．当x≥0时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，对应的函数值y=12D．当x=12和x=32时，对应的函数值相等
【答案】A
【分析】分别求出x≥1和x≤1时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，函数的最小值为−2；故该选项错误；
B、当x≥1时，y随x的增大而增大，故该选项错误；
C、设x≤1时，函数的解析式为y=kx+b，由图可知，点−1,3,1,−2，在直线上，
∴3=−k+b−2=k+b，解得：k=−52b=12，
∴y=−52x+12，
∴当x=0时，y=12，故该选项正确；
D、当x=12时，y=−52×12+12=−34，
设x≥1时，函数的解析式为y=mx+n，由图可知，点3,1,1,−2在直线上，
∴1=3m+n−2=m+n，解得：m=32n=−72，
∴y=32x−72，
∴当x=32时，y=94−72=−54；
∴当x=12和x=32时，对应的函数值不相等；故该选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．
3．（3分）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x−y=b(b0，解方程组求得x=−−b−1a−1>0，由b0，即可得出a−1>0，解得a>1．
【详解】解：∵点A在第一象限，
∴x>0，且x−y＝b①ax−y＝1②，
②−①得a−1x=−b−1，
∴x=−−b−1a−1>0，
∵b0，
∴a−1>0，
∴a>1，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关键．
4．（3分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：x+y的值为定值；
结论Ⅲ：若xm−3n=1，则y的值为4或1．（3分）
A．I，Ⅲ均对B．Ⅱ对，Ⅲ错C．Ⅱ错，Ⅲ对D．I，Ⅱ均错
【答案】B
【分析】先由题意得到x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，然后解方程组得到x=n−m2y=3m−n4，当n=5时，m=3，则此时y=3×3−54=1，即可判断I；①+②得4x+4y=8，即可判断②；根据1的任何次方为1，−1的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．
【详解】解：由题意得，x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，
②−①得2x=n−m，解得x=n−m2，
把x=n−m2代入①得n−m2+2y=m，解得y=3m−n4，
∴方程组的解为x=n−m2y=3m−n4，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，则此时y=3×3−54=1，故结论I正确；
①+②得4x+4y=8，
∴x+y=2，故结论Ⅱ正确；
当x=1时，y=1，此时满足xm−3n=1；
当m−3n=0时，则m=3n，此时m=6，n=2，
∴x=−2，y=4，此时满足xm−3n=1；
当x=−1时，则y=3，
此时m=−1+2×3=5n=−1×3+2×3=3，
∴m−3n=5−3×3=−4，此时满足xm−3n=1，
综上所述，若xm−3n=1，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（3分）方程x+2y=7在正整数范围内的解有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．无数个
【答案】B
【分析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可．
【详解】解：∵方程可变形为x=7−2y，
∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1，
∴方程x+2y=7的正整数解有：{y=1x=5，{y=2x=3，{y=3x=1，
【点睛】本题考查了二元一次方程，二元一次方程有无数组解，确定二元一次方程的特殊解，解题的关键是用其中一个未知数表示另一个未知数．
6．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：4x+3y=mx+2y=n，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．（8分）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；
②若2x+y=3，则a=−1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，解得x=5y=−1，经检验得是x+y=a+3的解，故①正确；方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②两方程相加得2x+y=6+3a，根据2x+y=3，得到6+3a=3，解得a=−1，故②正确；根据x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，得到3x+3y=12，得到x+y=4，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据x+y=4，得到x，y都为自然数的解有x=0y=4,x=1y=3,x=2y=2,x=3y=1,x=4y=0共5对，故④正确．
【详解】解：将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，
解得x=5y=−1，
将x=5y=−1代入方程x+y=a+3左右两边，
左边=5−1=4，右边1+3=4，
∴当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解，故①正确；
方程组x+2y=6−3a①x−y=6a② ①+②得2x+y=6+3a，
若2x+y=3，则6+3a=3，解得a=−1，故②正确；
∵x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，
∴两方程相加得3x+3y=12，
∴x+y=4，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解有x=0y=4,x=1y=3,x=2y=2,x=3y=1,x=4y=0共5对，
故④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
8．（3分）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=−2，则方程组3a1x+2b1y=a1+c13a2x+2b2y=a2+c2的解是（ ）
A．x=43y=1B．x=43y=−1C．x=−1y=−1D．x=−1y=1
【答案】B
【分析】可得a13x−1+b12y=c1a23x−1+b22y=c2，从而可得3x−1=32y=2，即可求解．
【详解】解：由3a1x+2b1y=a1+c13a2x+2b2y=a2+c2得
a13x−1+b12y=c1a23x−1+b22y=c2，
∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=−2，
∴3x−1=32y=−2，
解得：x=43y=−1；
【点睛】本题主要考查了方程的解的应用，解二元一次方程组，掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键．
9．（3分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“Δ”为：(a,b)Δ(c,d)=(ac+bd,ad+bc)．如果对于任意实数u,v，都有(u,v)Δ(x,y)=(u,v)，那么(x,y)为( )
A．(0,1)B．(1,0)C．(−1,0)D．(0,−1)
【答案】B
【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程ux+vy=u，uy+vx=v是解此题的关键．
【详解】解：∵u,v△x,y=ux+vy,uy+vx=u,v，
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x=1，y=0，
∴x,y为1,0．
10．（3分）甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲队先达到终点
B．上午10：30分乙队追上甲队
C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远
D．上午11：10乙队到达终点
【答案】A
【分析】甲队在上午11时30分到达终点，共花时间2.5小时，从图象上看，AB线是甲队的路程，所以是乙队花时间少，先到终点，从而判断A，D；从图象来看，乙队的路程与时间成正比例关系，甲队的路程与时间是一个分段函数，即在1小时内是正比例函数，在1到2.5小时是一次函数，可使用待定系数法分别求出．乙队追上甲队时，两队的路程相等，列出方程可求解，从而判断B；由图看出1小时之内，两队相距最远距离是4千米；乙队追上甲队后，两队的距离也可计算，相比较得出甲、乙两队在出发后1小时相距最远，从而判断C．
【详解】解：对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，
到达终点用时35÷16＝3516时＝2时11分15秒，时间为11时11分15秒，
∵甲队在上午11：30分到达终点，
∴乙队先到达终点．
故A、D错误，不符合题意；
对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx+b，
将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：k+b=202.5k+b=35 ，
解得：k=10b=10 ，
所以y＝10x+10
∴解方程组y=16xy=10x+10 得：x＝53．
即出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队，
故B错误，不符合题意；
1小时之内，两队相距最远距离是4千米；
乙队追上甲队后，两队的距离是16x﹣（10x+10）＝6x﹣10，当x为最大，
即x＝3516时，6x﹣10最大，
此时最大距离为6×3516﹣10＝3.125＜4，
所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远，
故C正确，符合题意．
【点睛】本题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求一次函数关系式．当解决追程问题时，需注意的是两者路程相等．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(−1,−1)，(1,−3)两点，则其函数图象不经过第 象限．
【答案】一
【分析】用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式确定经过的象限．
【详解】将(−1,−1)，(1,−3)代入y=kx+b(k≠0)得，
−1=−k+b−3=k+b，
解得k=−1b=−2，
故函数解析式为y=−x−2，
函数经过二、三、四象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，求出函数的解析式是解题的关键．
12．（3分）如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点Pm,4，则方程组y=x+2y=kx+b的解是 ．

【答案】x=2y=4
【分析】由交点坐标m,4，先求出m，再求出方程组的解即可．
【详解】解：∵y=x+2的图象经过Pm,4，
∴4=m+2，
解得m=2，
∴一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P2,4，
∴方程组y=x+2y=kx+b的解是x=2y=4，
故答案为x=2y=4．
【点睛】本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
13．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组x+2y=k3x+5y=k−1的解满足x−y=7，那么k的值是 ．
【答案】−2
【分析】两个方程相减可得2x+3y=−1，与x−y=7联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案．
【详解】解：x+2y=k①3x+5y=k−1②，
②-①，得2x+3y=−1，
解方程组2x+3y=−1x−y=7，得x=4y=−3，
∴k=4+2×−3=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．
14．（3分）古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只．
【答案】45
【分析】设甲放x只羊，乙放y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同”列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲放x只羊，乙放y只羊，
由题意得：x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得：x=63y=45，
即：乙的羊数量45只．
故答案为：45．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，根据数量的变化，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
15．（3分）已知关于x，y的方程组2x−3y=3mx+my=−1和2mx+3ny=33x+2y=11的解相同，则3m+n3的值为 ．
【答案】2764
【分析】根据两个方程组共解可得到方程组2x−3y=33x+2y=11的解即为原方程组的解，解方程组2x−3y=33x+2y=11后，将x，y的值代入mx+my=−12mx+3ny=3计算出m，n的值即可计算代数式的值．
【详解】解：解方程组2x−3y=33x+2y=11可得：x=3y=1，
将x=3y=1代入mx+my=−12mx+3ny=3可得3m+m=−16m+3n=3解得：m=−14n=32，
∴3m+n3=3×(−14)+323=2764，
故答案为：2764
【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，根据共解求出方程组的解是解决本题的关键．
16．（3分）如图，正方形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…的顶点A1，A2，A3，…在直线y=kx+bk≠0上，顶点C1，C2，C3，…在x轴上，已知A10,1，A21,2，那么点B2023的坐标为 .

【答案】22023−1,22022
【分析】首先求得直线的解析式，根据点A1，A2，A3…的坐标，可以得到规律得到点An的坐标，再根据点Bn与点An的坐标之间关系得到点Bn的坐标，从而解决问题．
【详解】将A10,1，A21,2代入y=kx+b得b=1k+b=2，
解得k=1b=1
∴直线函数解析是为y=x+1．
由此可知An的纵坐标总比横坐标多1．（3分）
∵四边形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…都是正方形，由图易知图中所有的三角形都是等腰直角三角形，
∴点A1的横坐标为0=20−1，纵坐标为0+1=1=20，
点A2的横坐标为1=21−1，纵坐标为1+1=2=21，
点A3的横坐标为3=22−1，纵坐标为3+1=4=22，
点A4的横坐标为7=23−1，纵坐标为7+1=8=23，
点A5的横坐标为15=24−1，纵坐标为15+1=16=24，
……
∴点An的横坐标为2n−1−1，纵坐标为2n−1，
观察图可知Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标．
∵点An+1的横坐标为2n−1，点An的纵坐标为2n−1，
∴点Bn的坐标为2n−1,2n−1，
∴点B2023的坐标为22023−1,22022．
故答案为：22023−1,22022
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程组：
(1)x+2y=55x−2y=7
(2)x2+y3=22x+3−3y=1
(3)x+y=−1x−y+z=72x−y−z=0
【答案】(1)x=2y=32
(2)x=2y=3
(3)x=1y=−2z=4
【分析】（1）用加减消元法先算出x的值，然后代入计算y即可；
（2）先化简方程组，然后用加减消元法算出x的值，代入计算y值即可；
（3）先将后边两个方程相加，得到一个和x，y相关的方程，在和第一个方程联立求解x，y，在代入求z即可．
【详解】（1）x+2y=5①5x−2y=7②，
①+②可得：6x=12，解得：x=2，
将x=2代入①可得：y=32，
∴原方程组的解是x=2y=32；
（2）化简原方程组可得：3x+2y=12①2x−3y=−5②，
①×3+②×2可得：9x+4x=36−10，解得：x=2，
将x=2代入①可得：y=3
∴原方程组的解是x=2y=3；
（3）x+y=−1①x−y+z=7②2x−y−z=0③，
②+③可得：3x−2y=7④，
①×2+④可得：5x=5，解得：x=1，
将x=1代入①可得：y=−2，
将x=1，y=−2代入②可得：z=4，
∴原方程组的解是：x=1y=−2z=4．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，选择合适的消元法解方程是解题的关键．
18．（6分）如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1）
（1）那么点B，点C的坐标分别为__________；
（2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是x=xAy=yA和x=xBy=yB，请写出这个二元一次方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解．
（3）任取（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D；
（4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系是_________，点D与直线AB的位置关系是__________．
（5）若把直线AB叫做（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组x+y=4x−y=−2中两个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现．
【答案】（1）B−2，2，C0，0；（2）x+y=0，C的坐标值是它的解；（3）x=1y=−1，描点见解析；（4）作图见解析，直线AB与直线AC重合，点D在直线AB上；（5）二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标．
【分析】（1）由题意，先建立合适的坐标系，再求得点B，点C的坐标；
（2）由（1）写出两个解，再写出这个二元一次方程，并检验点C的坐标是否是这个二元一次方程的解；
（3）先找到点D的坐标，再描出点D；
（4）分别作出直线AB、AC，然后再判断两条直线的位置关系以及点D和直线AB的位置关系；
（5）通过描点、连线作出两个二元一次方程的图象，可发现两条直线的交点坐标恰好是方程组的解．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），
∴点B的坐标为（﹣2，2），点C的坐标为（0，0）；
（2）∴x=−1y=1，x=−2y=2，这个二元一次方程为x+y=0，
∵0+0=0，
∴点C的坐标值是它的解；
（3）方程的又一个解为x=1y=−1，如图：
点D的坐标为（1，﹣1）；
（4）由（3）题图知，直线AB与直线AC重合，点D在直线AB上；
（5）如图：
直线x+y=4与直线x−y=−2的交点为：（1，3）；
将x=1，y=3代入原方程组知，x=1y=3是原方程组的解；
因此二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标．
【点评】本题实际考查了用图象法解二元一次方程组的方法．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19．（8分）已知关于x，y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n是常数）．
(1)当n=1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5．
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①x=1y=1，x=3y=0②−4
(2)−2或0
【分析】（1）①根据x，y为非负数即可求得方程x+2y=3的所有非负整数解；②先解方程组x+2y=3x+y=2，然后将x，y的值代入方程x−2y+mx=−5中即可获得答案；
（2）将n=3代入原方程组，利用加减消元法得到x=−55+2m，再根据方程组有整数解，且m为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵x，y为非负整数，
∴方程x+2y=3的所有非负整数解为
x=1y=1，x=3y=0；
②∵根据题意可得x+2y=3x+y=2，
解得x=1y=1，
将x=1y=1代入x−2y+mx=−5中，
解得 m=−4；
（2）当n=3时，原方程组可化为3x+4y=5①x−2y+mx=−5②，
由①+②×2，可得 5x+2mx=−5，
整理可得x=−55+2m，
∵方程组由整数解，且m为整数，
∴5+2m=±1或5+2m=±5，
当5+2m=1时，解得m=−2，此时方程组的解为x=−5y=5；
当5+2m=−1时，解得m=−3，此时方程组的解为x=5y=−52（舍去）；
当5+2m=5时，解得m=0，此时方程组的解为x=−1y=2；
当5+2m=−5时，解得m=−5，此时方程组的解为x=1y=12（舍去）．
综上所述，整数m的值为−2或0．（3分）
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定m的值是解题关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A(−30,0)和点B(0,15)，直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P，与y轴交于点C．
(1)求直线y=kx+b的解析式；
(2)求△PBC的面积；
(3)在直线y=x+5上是否存在一点Q使得三角形QBC面积等于△PBC的面积的一半？若存在，请求出点Q坐标．
【答案】(1)y=12x+15
(2)100
(3)存在，(10,15)或(−10,−5)
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点P的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出线段BC的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出△PBC的面积；
（3）设出Q点的坐标，根据题意得出S△QBC=12BC⋅|t|=50，即12×10×|t|=50，解方程求得t的值，可求得Q点的坐标．
【详解】（1）解：将点A(−30,0)、B(0,15)代入y=kx+b得，
−30k+b=0b=15，解得：k=12b=15，
∴直线y=kx+b的解析式为y=12x+15．
（2）联立两直线解析式成方程组，
y=12x+15y=x+5，解得：x=20y=25，
∴点P的坐标为(20,25)．
当x=0时，y=x+5=5，
∴点C的坐标为(0,5)，
∴BC=15−5=10，
∴S△PBC=12BC⋅xP=12×10×20=100；
（3）存在，∵三角形QBC面积等于△PBC的面积的一半，
∴S△QBC=12×100=50，
设Q点坐标为(t,t+5)，
则S△QBC=12BC⋅|t|=50，即12×10×|t|=50，
解得t=±10，
∴Q点的坐标为(10,15)或(−10,−5)．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，用过解方程组求出交点P的坐标；（3）中用Q的坐标表示出△QBC的面积．
21．（8分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F(n)=pq．例如42可以分解成1×42，2×21，3×14或6×7，因为42−1>21−2>14−3>7−6，所以6×7是42的最佳分解，所以F(42)=67．
(1)求F(56)的值；
(2)如果一个两位正整数(个位数不为0），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为2376，那么我们称这个两位正整数t为“最美数”．当t为“最美数”时，求F(t)的最大值．
【答案】(1)F(56)=78
(2)Ft的最大值为35．
【分析】（1）由题意可得：56=1×56=2×28=4×14=7×8，结合56−1>28−2>14−4>8−7即可得到56的最佳分解是：7×8，从而可得：F(56)=78；
（2）设原来的两位正整数十位数字为x，个位数字为y， 且1≤x≤9， x， y为自然数由题意易到：m=(10y+x)−(10x+y)=9(y−x)，n=(10y+x)+(10x+y)=11(x+y)，由此可得：mn=99((y−x)(y+x)结合mn=2376，可得(y−x)(x+y)=24，再结合x、y都是自然数，且1≤x≤y≤9即可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求得符合条件的x、y的值，从而可得“最美数”t的值；由所得结果结合（1）中的方法即可求得F(t)的最大值．
【详解】（1）∵56=1×56=2×28=4×14=7×8，且56−1>28−2>14−4>8−7，
∴7×8是56的最佳分解，
∴F(56)=78；
（2）设原来的两位正整数十位数字为x，个位数字为y， 且1≤x≤9， x， y为自然数．则原来的这个两位整数表示为10x+y．由题意可知：m=10y+x−10x+y=9y−x，
n=10y+x+10x+y=11x+y，
∴mn=9y−x⋅11x+y=99y−xx+y，
∴99y−xx+y=2376 ，即 y−xx+y=24，
∵x、y为自然数，且1≤x≤y≤9，
∴ y−x=1x+y=24 y−x=2x+y=12 y−x=3x+y=8 y−x=4x+y=6 ，
解得：x=11.5y=12.5， x=5y=7， x=2.5y=5.5， x=1y=5 ，
∵x、y为自然数，且1≤x≤y≤9，
∴ x=5y=7 或 x=1y=5，
∴t=5×10+7=57或t=1×10+5=15，
即“最美数”为57和15；
当t=57时，∵57=1×57=3×19
∴F57=319；
当t=15时，∵15=1×15=3×5，
∴F15=35，
∵35>319，
∴Ft的最大值为：35．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，解题关键是掌握最佳分解和“最美数”的概念．
22．（8分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)．图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
(1)甲、乙两地之间的距离为_________km；
(2)求慢车和快车的速度；
(3)请解释图中点C的实际意义；
(4)分别写出线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

【答案】（1）900；（2）慢车75km/h，快车150km/h；（3）C表示快车到达乙地以及此时两车之间的距离；（4）线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900（4≤x≤6）
线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y=-225x+900（0≤x≤4）.
【分析】（1）根据图上的信息即可得到甲、乙两地之间的距离；
（2）利用速度和路程之间的关系列式求解即可；
（3）C点时两车间的速度变化减慢，说明快车已到达乙地，此时两车之间的距离；
（4）分别根据题意得出点C的坐标为（6，450），再结合B（4，0），利用待定系数法求解即可；
【详解】解：（1）由图像直接可得：甲、乙两地之间的距离900km；
（2）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为90012 =75（km/h）；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，
所以慢车和快车行驶的速度之和为9004=225（km/h），所以快车的速度为225-75=150（km/h）.
（3）C表示快车到达乙地以及此时两车之间的距离；
（4）根据（2）得快车的速度为150km/h，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶900150=6（h）到达乙地，此时两车之间的距离为900-6×75=450（km）
所以点C的坐标为（6，450）.
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（4，0），（6，450）代入得
0=4k+b450=6k+b
解得k=225，b=-900
所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900（4≤x≤6）;
同理设y=kx+b，将A（0，900）,B(4，0)代入可求得:
线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y=-225x+900（0≤x≤4）.
【点睛】本题主要考查运用一次函数图像解决实际问题的能力和读图能力以及运用待定系数法确定线段的解析式，解答的关键在于在图中获取信息；确定解析式自变量的取值范围是解答本题的易错点.
23．（8分）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
(1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩x万只，则总销售额为______万元．（用含x的代数式表示）
(2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．
【答案】(1)1.2x+12；
(2)甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
(3)该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩x万只，乙种型号的防疫口罩y万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该同学购买m只甲型口罩，n只乙型口罩，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩x万只，则总销售额为1.8x+0.620−x=1.2x+12（万元），
故答案为：1.2x+12；
（2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只，
由题意可得：
1.8−1.2x+0.6−0.4y=8.8x+y=20，
解得：x=12y=8，
答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
（3）设该同学购买m只甲型口罩，n只乙型口罩，
根据题意得：1.8×(1+50%)m+0.6n=16.2，
∴m=6−29n．
又∵m，n均为正整数，
∴ m=4n=9或m=2n=18，
∴该同学共有2种购买方案，
方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；
方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只