北师大版八年级数学上册专题5.6二元一次方程组章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题5.6二元一次方程组章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)，共26页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1633" 【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc1633 \h 1
\l "_Tc3220" 【题型2 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc3220 \h 1
\l "_Tc5762" 【题型3 同解方程组】 PAGEREF _Tc5762 \h 2
\l "_Tc7124" 【题型4 方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc7124 \h 2
\l "_Tc30840" 【题型5 根据方程组解的关系求参数值】 PAGEREF _Tc30840 \h 3
\l "_Tc23279" 【题型6 根据二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc23279 \h 3
\l "_Tc20436" 【题型7 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc20436 \h 4
\l "_Tc19451" 【题型8 二元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc19451 \h 4
【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例1】下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【变式1-1】下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-9=xB．5x=6yC．x-2y2=4D．3x-2y=xy
【变式1-2】方程 2x2m+3n−y2m−3=8是二元一次方程，则m−n= ．
【变式1-3】已知关于x，y的方程组x+ya−1=1ax−y=2是二元一次方程组．
(1)求a的值．
(2)下列哪些是该二元一次方程组的解．
① x=0y=1；② x=1y=0；③ x=1y=1．
【题型2 二元一次方程组的解】
【例2】若方程mx+ny=6的两个解是x=1y=1，x=2y=−1，则m，n的值为( )
A．−4，−2B．2，4C．4，2D．−2，−4
【变式2-1】若x=2y=1是关于x、y的方程x−ay=3的一个解，则a的值为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【变式2-2】小明在解关于x、y的二元一次方程组2x+y=7x−y=△时，解得x=4y=□，则△和□代表的数分别是（ ）
A．5和−1B．−1和5C．−1和3D．3和−1
【变式2-3】已知关于x,y的方程组x+3y=4−ax−y=3a，下列说法正确的有
①若x=my=n是第一个方程的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
②若x=my=n是方程组的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
③若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=1；
④若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=−1．
【题型3 同解方程组】
【例3】（22·23八年级上·广东深圳·期中）已知方程组x+y=−1ax+5y=4和x−y=35x+by=1有相同的解，则a−2b的值为
【变式3-1】（22·23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组5x−2y=3mx+5y=4与关于x，y的方程组x−4y=−35x+ny=1的解相同，则m+n的值为 ．
【变式3-2】（22·23七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求3a+b2023的值．
【变式3-3】已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【题型4 方程组的一般解法】
【例4】在二元一次方程2x−7y=4中，如果x与y互为相反数，那么此方程的解是 ．
【变式4-1】按要求解二元一次方程方程组：
(1)x=y−54x+3y=29；（代入消元法）
(2)2x+3y=−46x−5y=16．（加减消元法）
【变式4-2】解方程组：3x−2y−1=2x−y−1x6−y3=2．
【变式4-3】解方程组：
(1)2x−y=55x+2y=8
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2
【题型5 根据方程组解的关系求参数值】
【例5】（22·23下·广州·期中）已知方程组3x+2y=m+14x+2y=m−1，m等于 时，x，y的符号相反，绝对值相等．
【变式5-1】若关于x，y的方程2x+y=1+2m2y+x=4−m的解满足x−y=3，则m= ．
【变式5-2】已知关于x，y的方程组x+y=2a−1x−3y=7−2a．
(1)若x=2y，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明x−y的值不变．
【变式5-3】（20·21七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的方程组x+2y=k2x+y=2k+3．
(1)当k=4时，求x+y的值．
(2)若方程组的解x比y的值大1，求方程组的解及k的值．
【题型6 根据二元一次方程组解的情况求值】
【例6】k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【变式6-1】如果方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（ ）
A．a=1，c=1B．a≠bC．a=b=1，c≠1D．a=1，c≠1
【变式6-2】已知二元一次方程组ax+3y=22x−y=1无解，则a的值是（ ）.
A．±1B．−1C．1D．以上都不对
【变式6-3】关于x，y的二元一次方程组x+2ay=3−a−ax−2y=1，①当a=2时，方程组的解是x=−1y=12，②当a=3时，x+2y=12；③若该方程组无解，则a=±1，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【题型7 构造二元一次方程组求解】
【例7】如表格所示，在3×3方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ）
A．x=1y=−1B．x=−1y=1C．x=2y=−1D．x=−2y=1
【变式7-1】已知5x+y−3+x−2y2=0，则x+y= ．
【变式7-2】已知an=a1+n+1d(n为自然数)，且a2=5，a5=14，则a15的值为（ ）
A．53B．44C．29D．23
【变式7-3】若式子x4+(m−3)x3+(n−3m−8)x2+(24+mn)x−8n中不含x2和x3项，求m和n的值．
【题型8 二元一次方程组的应用】
【例8】现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【变式8-1】小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．小明从家到学校的下坡路长 米．
【变式8-2】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的45；
4x
−1
0
−y
5
2y
专题5.6 二元一次方程组章末八大题型总结（培优篇）
【北师大版】
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\l "_Tc1633" 【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc1633 \h 1
\l "_Tc3220" 【题型2 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc3220 \h 3
\l "_Tc5762" 【题型3 同解方程组】 PAGEREF _Tc5762 \h 5
\l "_Tc7124" 【题型4 方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc7124 \h 7
\l "_Tc30840" 【题型5 根据方程组解的关系求参数值】 PAGEREF _Tc30840 \h 10
\l "_Tc23279" 【题型6 根据二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc23279 \h 13
\l "_Tc20436" 【题型7 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc20436 \h 15
\l "_Tc19451" 【题型8 二元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc19451 \h 17
【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例1】下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．
【详解】解：①x−2y=3y+2z=7是三元一次方程组，故不符合题意；
②1x+y=4y−2x=−1各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③3x−4−2x=1x−y=5是二元一次方程组，故符合题意；
④x2−y3=12x+3y=12是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-9=xB．5x=6yC．x-2y2=4D．3x-2y=xy
【答案】B
【分析】由二元一次方程满足的条件:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程，解答即可.
【详解】A .不是二元一次方程，含有1个未知数;
B.是二元一次方程，符合二元一次方程的定义;
C .是二元二次方程;
D.是二元二次方程；
故选B.
【点睛】主要考查二元一次方程的概念,要求熟悉二元一次方程的形式及其特点:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程.
【变式1-2】方程 2x2m+3n−y2m−3=8是二元一次方程，则m−n= ．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义，列方程组，确定m，n的值，进而即可求解．
【详解】解：因为方程2x2m+3n−y2m−3=8是二元一次方程，
则2m+3n=12m−3=1，
解得m=2，n=−1．
将m=2，n=−1代入m−n=3．
故答案为：3．
【点睛】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据条件求得m、n的值，代入m−n即可求出．
【变式1-3】已知关于x，y的方程组x+ya−1=1ax−y=2是二元一次方程组．
(1)求a的值．
(2)下列哪些是该二元一次方程组的解．
① x=0y=1；② x=1y=0；③ x=1y=1．
【答案】(1)a=2
(2)②是该方程组的解
【分析】（1）根据二元一次方程的定义即可得到a−1=1，计算即可得到答案；
（2）由（1）得，方程组为x+y=12x−y=2，再分别将三组x，y的值代入方程组，进行验算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：a−1=1，
解得：a=2；
（2）解：由（1）得，方程组为：x+y=12x−y=2，
①当x=0，y=1时，2x−y=−1≠2，
∴它不是该方程组的解；
②当x=1，y=0时，x+y=1，2x−y=2，
∴它是该方程组的解；
③当x=1，y=1时，x+y=2≠1，
∴它不是该方程组的解；
∴ ②是该方程组的解．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程组的解满足二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
【题型2 二元一次方程组的解】
【例2】若方程mx+ny=6的两个解是x=1y=1，x=2y=−1，则m，n的值为( )
A．−4，−2B．2，4C．4，2D．−2，−4
【答案】A
【分析】把x=1y=1，x=2y=−1代入方程mx+ny=6得出方程组，再求出方程组的解即可．
【详解】解：把x=1y=1，x=2y=−1代入方程mx+ny=6得
m+n=62m−n=6
解得：m=4n=2
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
【变式2-1】若x=2y=1是关于x、y的方程x−ay=3的一个解，则a的值为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【答案】D
【分析】把x=2y=1代入关于x、y的方程x−ay=3得到关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x=2y=1是关于x、y的方程x−ay=3的一个解，
∴2−a=3，
解得：a=−1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根据题意得出关于a的方程是解此题的关键．
【变式2-2】小明在解关于x、y的二元一次方程组2x+y=7x−y=△时，解得x=4y=□，则△和□代表的数分别是（ ）
A．5和−1B．−1和5C．−1和3D．3和−1
【答案】D
【分析】将x=4代入方程组中第二个方程求出y的值，即可确定出△和□代表的数．
【详解】解：2x+y=7①x−y=△②，
把x=4代入①得：2×4+y=7，
∴y=−1，
则x=4，y=−1代入②得：4−(−1)=△，
∴△=5，
∴△=5，□=−1，
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．
【变式2-3】已知关于x,y的方程组x+3y=4−ax−y=3a，下列说法正确的有
①若x=my=n是第一个方程的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
②若x=my=n是方程组的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
③若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=1；
④若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=−1．
【答案】②③
【分析】根据二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义分析判断说法①②；根据x=my=n是方程组的解，可得m+3n=4−am−n=3a，再结合m+n=3求出a的值，即可判断说法③④．
【详解】解：若x=my=n是第一个方程的解，则x=my=n不一定是第二个方程的解，故说法①错误；
若x=my=n是方程组的解，则x=my=n一定是第二个方程的解，说法②正确；
若x=my=n是方程组的解，则有m+3n=4−am−n=3a，
将两个方程相加，可得2(m+n)=4+2a，整理可得m+n=2+a，
又因为m+n=3，即有3=2+a，解得a=1，
故说法③正确，说法④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程（组）的解的知识，理解并掌握二元一次方程（组）的解的定义是解题关键．
【题型3 同解方程组】
【例3】（22·23八年级上·广东深圳·期中）已知方程组x+y=−1ax+5y=4和x−y=35x+by=1有相同的解，则a−2b的值为
【答案】10
【分析】根据题意得出方程组x+y=−1x−y=3，进而得出x、y的值，代入另两个方程求出a、b的值，再代入计算求出a−2b的值即可．
【详解】解：将第一个方程组中的x+y=−1和第二个方程组中的x−y=3联立，组成新的方程组x+y=−1x−y=3，
将方程组x+y=−1x−y=3中的两个方程相加，得：2x=2，
解得：x=1，
将x=1代入x+y=−1，得：1+y=−1，
解得：y=−2，
将x=1y=−2代入ax+5y=4和5x+by=1，得：a−10=4和5−2b=1，
解得：a=14，b=2，
∴a−2b=14−2×2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键．
【变式3-1】（22·23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组5x−2y=3mx+5y=4与关于x，y的方程组x−4y=−35x+ny=1的解相同，则m+n的值为 ．
【答案】−5
【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；
【详解】解方程组5x−2y=3x−4y=−3，
解之得x=1y=1，
代入mx+5y=4得m=−1，
代入5x+ny=1得n=−4，
故m+n=−1−4=−5；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握消元思想是解题的关键．
【变式3-2】（22·23七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求3a+b2023的值．
【答案】−1
【分析】由题意可得：方程组2x−3y=33x+2y=11和方程组ax+by=−12ax+3by=3的解集相同，求得a，b的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得：方程组2x−3y=33x+2y=11和方程组ax+by=−12ax+3by=3的解集相同
解方程组2x−3y=33x+2y=11可得x=3y=1
将x=3y=1代入ax+by=−12ax+3by=3可得：3a+b=−16a+3b=3，化简可得：3a+b=−12a+b=1
解得a=−2b=5
将a=−2b=5代入3a+b2023可得，原式=−6+52023=−1
3a+b2023的值−1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a，b的值．
【变式3-3】已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【答案】(1)x=2y=−1
(2)m=6n=4
(3)对，见解析
【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．
【详解】（1）由题意可得：x+y=1x−y=3，
解得x=2y=−1；
（2）将x=2y=−1代入含有m，n的方程得：2m−2n=42n−m−1=3，
解得：m=6n=4；
（3）将x=2y=−1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×−1=5，
化简得：6+2a−2a−1=5，即5=5．
所以无论a取何值，x=2y=−1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
【题型4 方程组的一般解法】
【例4】在二元一次方程2x−7y=4中，如果x与y互为相反数，那么此方程的解是 ．
【答案】x=49y=−49
【分析】根据x和y互为相反数，得：x+y=0，与2x−7y=4联立，得到方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：2x−7y=4①x+y=0②，
②×2−①，得9y=−4，
y=−49，
∴ x=49，
∴此方程的解为x=49y=−49．
故答案为：x=49y=−49．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组的基本思想是消元，能将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【变式4-1】按要求解二元一次方程方程组：
(1)x=y−54x+3y=29；（代入消元法）
(2)2x+3y=−46x−5y=16．（加减消元法）
【答案】(1)x=2y=7
(2)x=1y=−2
【分析】（1）按要求运用代入消元法求解；
（2）按要求运用加减消元法求解．
【详解】（1）x=y−54x+3y=29①②，
把①代入②中，得4y−5+3y=29，
解得：y=7，
把y=7代入①，得x=2，
∴方程组的解为x=2y=7．
（2）2x+3y=−46x−5y=16①②，
①×3−②，得14y=−28，
解得：y=−2，
把y=−2代入①，得2x+3×−2=−4，
解得：x=1，
∴方程组的解为x=1y=−2．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-2】解方程组：3x−2y−1=2x−y−1x6−y3=2．
【答案】x=22y=5
【分析】化简后，选择适当方法解方程组即可．
【详解】∵3x−2y−1=2x−y−1x6−y3=2
∴x−4y−2=0x−2y−12=0,
两式相减，得2y−10=0，
解得y=5，
把y=5代入x−2y−12=0，
解得x=22，
故原方程组的解为x=22y=5．
【点睛】本题考查了方程组的解法，选择适当的方法是解题的关键．
【变式4-3】解方程组：
(1)2x−y=55x+2y=8
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2
【答案】(1)x=2y=−1
(2)x=7y=1
【分析】（1）利用加减消元法即可解决；
（2）先将原式化为整式后利用加减消元即可．
【详解】（1）2x−y=5①5x+2y=8②
①×2+②得：9x=18，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：4−y=5，
解得：y=−1.
故原方程组的解为：x=2y=−1.
（2）原方程组可化为：5x+y=36①−x+9y=2②，
② ×5+ ①得：46y=46，
解得：y=1
把y=1代入①得：x=7.
故原方程组的解为：x=7y=1
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键．
【题型5 根据方程组解的关系求参数值】
【例5】（22·23下·广州·期中）已知方程组3x+2y=m+14x+2y=m−1，m等于 时，x，y的符号相反，绝对值相等．
【答案】−3
【分析】由②−①求解：x=−2，再求解y=12m+72，再根据x，y的符号相反，绝对值相等建立方程求解即可．
【详解】解：3x+2y=m+1①4x+2y=m−1②，
②−①得：x=−2，
把x=−2代入①，得−6+2y=m+1，
解得：y=12m+72，
当x，y的符号相反，绝对值相等，可得12m+72=2，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解以及解法，掌握解二元一次方程的解法步骤是解本题的关键．
【变式5-1】若关于x，y的方程2x+y=1+2m2y+x=4−m的解满足x−y=3，则m= ．
【答案】2
【分析】利用二元一次方程组，得到x，y的值，代入x−y=3，即可得到答案．
【详解】解：∵2x+y=1+2m2y+x=4−m
∴x=−2−5m3y=−4m−73
∵x−y=3
∴−2−5m3−−4m−73=−2−5m3+4m−73=9m−93=3
∴9m−9=9
∴m=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查二元一次方程求参数的问题，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
【变式5-2】已知关于x，y的方程组x+y=2a−1x−3y=7−2a．
(1)若x=2y，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明x−y的值不变．
【答案】(1)a=5
(2)见解析
【分析】（1）把a看作已知数表示出x与y，根据x=2y求出a的值即可；
（2）把表示出的x与y代入x−y化简即可作出判断．
【详解】（1）解：x+y=2a−1①x−3y=7−2a②，
①−②得：4y=4a−8，
解得：y=a−2，
把y=a−2代入①得：x+a−2=2a−1，
解得：x=a+1，
∵x=2y，
a+1=2a−4，
解得：a=5；
（2）解：∵x−y=a+1−(a−2)=3，
则x−y的值不变．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把字母看成常数是解题的关键．
【变式5-3】（20·21七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的方程组x+2y=k2x+y=2k+3．
(1)当k=4时，求x+y的值．
(2)若方程组的解x比y的值大1，求方程组的解及k的值．
【答案】(1)5
(2)x=0y=−1，−2
【分析】（1）利用两方程相加得到x+y=k+1，当k=4时，得到x+y=k+1=5；
（2）①×2−②得3y=−3，解得y=−1，方程组的解x比y的值大1，x=y+1=0，即可得到方程组的解为x=0y=−1，把x=0y=−1代入x+y=k+1得到0−1=k+1，解得k=−2．
【详解】（1）解：x+2y=k①2x+y=2k+3②
①＋②得，3x+3y=3k+3，
∴x+y=k+1，
当k=4时，x+y=k+1=4+1=5，
即x+y的值为5．
（2）①×2−②得，
3y=−3，
解得y=−1，
∵方程组的解x比y的值大1，
∴x=y+1=0，
∴方程组的解为x=0y=−1，
把x=0y=−1代入x+y=k+1得到0−1=k+1，
解得k=−2．
∴方程组的解为x=0y=−1，k的值为−2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【题型6 根据二元一次方程组解的情况求值】
【例6】k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【答案】当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
【详解】解：y=kx+b ①y=3k−1x+2 ②
①−②可得：kx+b=3k−1x+2，化简可得：2k−1x=b−2
（1）当2k−1≠0时，即k≠12，方程2k−1x=b−2有唯一解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解；
（2）当2k−1=0，b−2≠0时，即k=12，b≠2，方程2k−1x=b−2无解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2无解；
（3）当2k−1=0，b−2=0时，即k=12，b=2，方程2k−1x=b−2有无数解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有无数解；
综上，当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
【变式6-1】如果方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（ ）
A．a=1，c=1B．a≠bC．a=b=1，c≠1D．a=1，c≠1
【答案】B
【详解】本题考查了二元一次方程组的解的定义
此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．
由题意得y=1−xy=cb−abx，
∴1−x=cb−abx，
∴(a−b)x=c−b，
x=c−ba−b，
要使方程有唯一解，
则a≠b，
故选B
【变式6-2】已知二元一次方程组ax+3y=22x−y=1无解，则a的值是（ ）.
A．±1B．−1C．1D．以上都不对
【答案】D
【分析】由②得出y=2x−1③，把③代入①得出(a+6)x=5，根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】ax+3y=2①2x−y=1②
由②得y=2x−1,③
把③代入①得ax+3(2x−1)=2,
∴(a+6)x=5，
∵ 方程组无解,
∴a+6=0,
∴a=−6，
故选D.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程(a+6=0)．
【变式6-3】关于x，y的二元一次方程组x+2ay=3−a−ax−2y=1，①当a=2时，方程组的解是x=−1y=12，②当a=3时，x+2y=12；③若该方程组无解，则a=±1，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】分别把a的值代入二元一次方程组，求解相应方程组即可判断得解．
【详解】解：当a=2时，方程组为x+4y=1−2x−2y=1，解得x=−1y=12，故①正确；
当a=3时，方程组为x+6y=0−3x−2y=1，解得x=−38y=116，所以x+2y=−38+2×116=−14故②错误；
x+2ay=3−a①−ax−2y=1②，
①+②得1−ax+2a−1y=4−a，
∵该方程组无解，
∴1−a=0或a−1=0，
∴a=1，
①−②得1+ax+2a+1y=2−a，
∵该方程组无解，
∴1+a=0，
∴a=−1，
∴a=±1，
故③正确；
∴正确的结论共有2个，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
【题型7 构造二元一次方程组求解】
【例7】如表格所示，在3×3方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ）
A．x=1y=−1B．x=−1y=1C．x=2y=−1D．x=−2y=1
【答案】D
【分析】根据题意，可得4x−1+0=2y+5+04x−y+2y=2y+5+0，解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：由题意可得
4x−1+0=2y+5+04x−y+2y=2y+5+0，解得x=1y=−1，
【点睛】本题考查二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组并利用加减消元法求解是解决问题的关键．
【变式7-1】已知5x+y−3+x−2y2=0，则x+y= ．
【答案】3
【分析】已知5x+y−3+x−2y2=0中的绝对值以及二次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都是0，即可求得x，y的值．
【详解】解：根据题意，得x+y−3=0x−2y=0，
解，得x=2y=1．
∴x+y=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，解决问题的关键在于掌握几个非负数的和是0，则每个非负数都是0．
【变式7-2】已知an=a1+n+1d(n为自然数)，且a2=5，a5=14，则a15的值为（ ）
A．53B．44C．29D．23
【答案】B
【分析】先根据已知条件，列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，再根据定义代入计算即可．
【详解】解：∵an=a1+n+1d，a2=5，a5=14，
∴a1+3d=5①a1+6d=14②，
②−①得：d=3，
把d=3代入①得：a1=−4，
∴a15=−4+15+1×3
=−4+16×3
=−4+48
=44，
【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，求出a1，d的值．
【变式7-3】若式子x4+(m−3)x3+(n−3m−8)x2+(24+mn)x−8n中不含x2和x3项，求m和n的值．
【答案】m=3，n=17
【分析】根据“不含x2和x3项”可令其系数为0，得出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
n−3m−8=0m−3=0，
解得m=3n=17，
答：m=3，n=17．
【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题，解二元一次方程组，理解“不含x2和x3项”的意义是正确解答的关键．
【题型8 二元一次方程组的应用】
【例8】现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；
(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，
由题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；
（2）由题意得：3a+4b=31，
∴a=31−4b3，
又∵a、b均为非负整数，
∴a=9b=1或a=5b=4或a=1b=7
，∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式8-1】小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．小明从家到学校的下坡路长 米．
【答案】800
【分析】设从小明家到学校的下坡路长x米、平路为y米，根据时间=路程÷速度结合从家里到学校需20分钟、从学校到家里需30分钟，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设从小华家到学校的下坡路长x米、平路为y米，
根据题意得：x80+y60=20x40+y60=30，
解得：x=800y=600．
所以，从小明家到学校的下坡路长800米．
故答案为：800．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据数量关系时间=路程÷速度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的45；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要x天，甲队单独完成此项工程需要3x−5天，依题意得，x+3x−5=55，解得，x=15，则3x−5=40；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为140，乙的工作效率为115，设还需要再合作y天可完成此项工程的45，依题意得，140×10+140+115y=1×45，计算求解即可；
（3）设甲单独工作a天，甲乙合作工作b天，依题意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，计算求出a，b的值，然后根据a+b，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要x天，甲队单独完成此项工程需要3x−5天，
依题意得，x+3x−5=55，
解得，x=15，
∴3x−5=3×15−5=40，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为140，乙的工作效率为115，
设还需要再合作y天可完成此项工程的45，
依题意得，140×10+140+115y=1×45，
解得，y=6，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作a天，甲乙合作工作b天，
依题意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，
解得，a=7b=9，
∵a+b=16，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
【变式8-3】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？(每款都有销售)
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)1100
(3)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：5m+12n=112010m+15n=1700，
解得：m=80n=60，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）解：根据题意得：120x+90y=3300，
4x
−1
0
−y
5
2y
类型
进价(元/个)
售价(元/个)
A款
m
120
B款
n
90