北师大版八年级数学下册举一反三系列7.1期中期末专项复习之三角形的证明十六大必考点同步练习(学生版+解析)

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专题7.1 三角形的证明十六大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc19720" 【考点1 寻找构成等腰三角形的点的个数】  PAGEREF _Toc19720 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3602" 【考点2 利用三线合一求值】  PAGEREF _Toc3602 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22277" 【考点3 利用三线合一证明】  PAGEREF _Toc22277 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31589" 【考点4 利用等角对等边证明边长相等】  PAGEREF _Toc31589 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26185" 【考点5 利用等角对等边证明】  PAGEREF _Toc26185 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23685" 【考点6 作等腰三角形】  PAGEREF _Toc23685 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc22603" 【考点7 等边三角形的判定与性质】  PAGEREF _Toc22603 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc32760" 【考点8 含30度的直角三角形】  PAGEREF _Toc32760 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21666" 【考点9 利用直角三角形的两锐角互余求值】  PAGEREF _Toc21666 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc23936" 【考点10 全等的性质与HL综合】  PAGEREF _Toc23936 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc12421" 【考点11 勾股定理及其逆定理的拓展】  PAGEREF _Toc12421 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc10248" 【考点12 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】  PAGEREF _Toc10248 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc891" 【考点13 垂直平分线的判定与性质】  PAGEREF _Toc891 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc12315" 【考点14 等腰三角形中的新定义问题】  PAGEREF _Toc12315 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc7804" 【考点15 角平分线的判定与性质的综合求值】  PAGEREF _Toc7804 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc8970" 【考点16 角平分线的判定与性质的综合证明】  PAGEREF _Toc8970 \h 23【考点1 寻找构成等腰三角形的点的个数】【例1】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（    ）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【变式1-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有___个．【变式1-2】（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°, ∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP度数是_______．【变式1-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【考点2利用三线合一求值】【例2】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（    ）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．15a2【变式2-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(   )A．4 B．6 C．8 D．12【变式2-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____.【考点3 利用三线合一证明】【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【变式3-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．【变式3-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【变式3-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B重合），连接CE．(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，试猜想CG、BE的数量关系并证明．【考点4 利用等角对等边证明边长相等】【例4】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____.【变式4-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为__cm．【变式4-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．【变式4-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【考点5 利用等角对等边证明】【例5】（2022·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式5-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB． (1)求证：△BDE是等腰三角形；(2)求证：CD=BE．【变式5-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．问题发现(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？问题探究(2)如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【变式5-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3)如图③，若ΔABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【考点6 作等腰三角形】【例6】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P和直线BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M落在BC上．【变式6-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．【变式6-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线CM∥AB．(1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC．【变式6-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．【考点7 等边三角形的判定与性质】【例7】（2022·全国·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（　　）A．25m B．13m C．38m D．35m【变式7-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）A．12a+2b B．12a+43b C．a+2b D．32a【变式7-2】（2022·广东·东华学校八年级期中）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；(2)判断△CFG的形状并说明理由；(3)求证：OA+OC=OB．【变式7-3】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）晓芳利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：初步发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB＝60°；深入探究：如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；拓展创新：如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，连接AE交BD于P，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC＝3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：（1）AP−3PDPC；（2）AP+PC+2PDBD−PC+PE．【考点8 含30度的直角三角形】【例8】（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）如图，在 △ABC 中，AB=AC，D，E 在 △ABC 内部，AD 平分 ∠BAC，∠EBC=∠E=60∘，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长为____．【变式8-1】（2022·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求证△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的长．【变式8-2】（2022·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC边上一点，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接CE，过点D作BC的垂线，交CE的垂直平分线于点F，连接EF．(1)如图1，当点D与点C重合时，证明：BF＝2DF；(2)如图2，当点D不与B，C两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．【变式8-3】（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．【考点9 利用直角三角形的两锐角互余求值】【例9】（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，则∠EDF的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式9-1】（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图所示，点A、B分别是坐标轴上的点，且OA=OB，AC⊥x轴，点D在x轴负半轴上，AC=OD，连接OC、BD相交于点E，若四边形ACED的面积为56，OE长为1，则点A的坐标为_______．【变式9-2】（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，AD⊥BC交BC于点D，∠BAC=80°，∠EAD=10°，求∠B的度数．【变式9-3】（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠CDE=45°，∠AED=∠B．若DE=2，BC=8，则S△CDE=___________．【考点10 全等的性质与HL综合】【例10】（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论：①∠MAP=∠ACB；②PA=PC；③BC−AB=2CD；④BP=AC；⑤四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有___________．【变式10-1】（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．并思考要想解决问题，应把∠B分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：(1)第一种情况：当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．(2)第二种情况：当∠B是锐角时，如图，BC=EF， ∠B=∠E<90°，在射线EQ上有点D，使DF=AC，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断△ABC和△DEF的关系（     ）A、不全等    B、不一定全等    C、全等(3)第三种情况：当∠B是钝角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．【变式10-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在四边形ABCD中，AC、BD交于点E，且∠ACD=∠ADC．(1)如图1，若AB=AD，求证：∠BAC=2∠BDC；(2)如图2，在（1）的条件下，若∠BDC=30°，求证：BC=AC．(3)如图3，若BC＝AD，∠BDC=30°，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F， 且EF：BE＝2∶11，DF=9，求BD的长．【变式10-3】（2022秋·四川泸州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC=DE，BC=BE．(1)求证：AB=BD；(2)BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．①求∠ABG的度数；②当KB平分∠AKG时，求证：AK=DG＋KG．【考点11 勾股定理及其逆定理的拓展】【例11】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知直线l1:y=x+1与x轴交于点A,与直线l2:y=12x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若ΔABC为直角三角形，则点C的坐标为__________．【变式11-1】（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH【变式11-2】（2022春·山东济宁·八年级统考期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长.【变式11-3】（2022秋·河北衡水·八年级校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．【探究1】（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．【探究2】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．①b=_；②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．【考点12 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】【例12】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．【变式12-1】（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BAC是钝角，完成下列画图．(1)BAC的平分线AD；(2)AC边上的中线BE；(3)AC边上的高BF【变式12-2】（2022·广东广州·八年级期中）如图，在钝角△ABC中．(1)用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和∠HBC的大小关系．【变式12-3】（2022·江苏·八年级阶段练习）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC= ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA= ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【考点13 垂直平分线的判定与性质】【例13】（2022·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．【变式13-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求证： （1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【变式13-2】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．证明：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，则∠BAC−∠B+∠C=30°，∠BAC+∠B+∠C=180°，解得∠BAC＝105°．情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【变式13-3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C＝β．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝12DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．【考点14 等腰三角形中的新定义问题】【例14】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有_______≌________．(2)【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE=CD．(3)【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．【变式14-1】（2022·福建厦门·八年级期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段．(1)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段．(2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．【变式14-2】（2022·浙江·八年级单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．【变式14-3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）阅读下列材料，解答问题：定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36∘，BM为△ABC的完美分割线，且CMNC，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点C1处，AC1交BN于点M．求证：BM=C1N．【考点15 角平分线的判定与性质的综合求值】【例15】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（   ）A．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式15-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB=45∘．其中正确结论的是__________．【变式15-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【考点16 角平分线的判定与性质的综合证明】【例16】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．【思考说理】（1）求证：FE=FD．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB=90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE=FD）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【变式16-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P．（1）求∠APB的度数．（2）求证：点P在∠C的平分线上．（3）求证：①PD=PE；②AB=AD＋BE．专题7.1 三角形的证明十六大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc28690" 【考点1 寻找构成等腰三角形的点的个数】  PAGEREF _Toc28690 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23419" 【考点2 利用三线合一求值】  PAGEREF _Toc23419 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4048" 【考点3 利用三线合一证明】  PAGEREF _Toc4048 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc8212" 【考点4 利用等角对等边证明边长相等】  PAGEREF _Toc8212 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc29874" 【考点5 利用等角对等边证明】  PAGEREF _Toc29874 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc32517" 【考点6 作等腰三角形】  PAGEREF _Toc32517 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc15924" 【考点7 等边三角形的判定与性质】  PAGEREF _Toc15924 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc16933" 【考点8 含30度的直角三角形】  PAGEREF _Toc16933 \h 37 HYPERLINK \l "_Toc7690" 【考点9 利用直角三角形的两锐角互余求值】  PAGEREF _Toc7690 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc3746" 【考点10 全等的性质与HL综合】  PAGEREF _Toc3746 \h 49 HYPERLINK \l "_Toc15795" 【考点11 勾股定理及其逆定理的拓展】  PAGEREF _Toc15795 \h 57 HYPERLINK \l "_Toc17637" 【考点12 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】  PAGEREF _Toc17637 \h 63 HYPERLINK \l "_Toc27983" 【考点13 垂直平分线的判定与性质】  PAGEREF _Toc27983 \h 67 HYPERLINK \l "_Toc2176" 【考点14 等腰三角形中的新定义问题】  PAGEREF _Toc2176 \h 75 HYPERLINK \l "_Toc20053" 【考点15 角平分线的判定与性质的综合求值】  PAGEREF _Toc20053 \h 83 HYPERLINK \l "_Toc30862" 【考点16 角平分线的判定与性质的综合证明】  PAGEREF _Toc30862 \h 90【考点1 寻找构成等腰三角形的点的个数】【例1】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（    ）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【答案】D【分析】当AB为底时，作AB的垂直平分线，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，分别找到格点即可求解．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有___个．【答案】4【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；作AB的垂直平分线与BC有一个交点，即有1+2+1＝4个，故答案为4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．【变式1-2】（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°, ∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP度数是_______．【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三种情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分别求解即可解决问题．【详解】解：如图，在ΔABC中，∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−120°−40°=20°，①当AB=AP时，∠ABP1=∠AP1B=10°，∠ABP3=∠AP3B=12(180°−20°)=80°，②当PA=PB时，∠ABP2=∠AP2B=20°，③当BA=BP时，∠ABP4=180°−20°−20°=140°，综上所述，满足条件的∠ABP的值为10°或80°或20°或140°．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．【变式1-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底， AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．【考点2利用三线合一求值】【例2】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（    ）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．15a2【答案】A【分析】利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM=S△BCM求出答案．【详解】解：连接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，在△CMF和△BME中，∠FCM=∠EBM=45°MC=MB∠CMF=∠BME,∴△CMF≌△BMEASA，∴S△CMF=S△BME，∴四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM=S△BME+S△CEM=S△BCM=12S△ABC =14a2，【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明△CMF≌△BME．【变式2-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判断②，由全等三角形的性质可求∠AEB=∠CME=90°，可得CM∥BE，可证∠BCM=∠CBE，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCE,CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①错误， ∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE， ∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正确， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°． ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°， ∴∠AEB=∠CME=90°， ∴CM∥BE， ∴∠BCM=∠CBE，故④正确， ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME． ∵∠DCE=90°， ∴DM=ME=CM． ∴AE=AD+DE=BE+2CM． ∴AE-BE=2CM，故③正确， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD≌△BCE是本题的关键．【变式2-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(   )A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面积=12×BC×EF=6，【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式2-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____.【答案】8【分析】由等腰三角形的性质得到△ABC是△ACD的面积的两倍，然后用等面积法求得DE和CF的关系，进而得到CF的长．【详解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD＝2×12×DE•AC＝DE•AC，∵S△ABC=12AB•CF，∴12AB•CF＝DE•AC，∵AC＝AB，∴12CF＝DE，∵DE＝4，∴CF＝8；故答案为：8【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高．【考点3 利用三线合一证明】【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，AD和BE是高，可知∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，通过ASA即可证明△AEH≌△BEC，（2）由（1）可知△AHE≌△BCE，则AH=BC，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，可知BC=2BD，即可进行证明．（1）证明：∵AD是高，BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC∴△AEH≌△BEC(ASA)；（2）∵△AEH≌△BEC∴AH＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH＝2BD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、及三角形全等的判定方法．解决本题的关键是证明△AEH≅△BEC．【变式3-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．【答案】DD⊥EF，理由见解析【分析】先根据角平分线的性质可得DE＝DF，然后再证Rt△AED≌Rt△AFD可得AE＝AF，即△AEF是等腰三角形，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可．【详解】解：AD⊥EF，理由如下：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD=ADDE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形∵AD平分∠EAF，∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识点，说明△AEF是等腰三角形是解答本题的关键．【变式3-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【答案】证明见解析．【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定义得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根据同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【详解】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE⊥CE，AD⊥BC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B重合），连接CE．(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，试猜想CG、BE的数量关系并证明．【答案】(1)证明见解析(2)CG=BE，证明见解析【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACG=45°，再根据直角三角形的性质可得∠CAG=∠BCE，然后根据三角形全等的判定证出△CAG≅△BCE，根据全等三角形的性质即可得证；（2）先根据等腰三角形的性质可得CD=BD=AD,CD⊥AB，再根据直角三角形的性质可得∠G=∠DEC，然后根据三角形全等的判定证出△ADG≅△CDE，根据全等三角形的性质可得DG=DE，最后根据线段和差即可得证．（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠B=∠ACG=45°，∠CAG+∠AHC=90°，∵AH⊥CE，∴∠BCE+∠AHC=90°，∴∠CAG=∠BCE，在△CAG和△BCE中，∠ACG=∠BAC=CB∠CAG=∠BCE，∴△CAG≅△BCEASA，∴CG=BE．（2）解：CG=BE，证明如下：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴CD=BD=AD,CD⊥AB，∴∠DCE+∠DEC=90°，∵AG⊥CF，∴∠DCE+∠G=90°，∴∠G=∠DEC，在△ADG和△CDE中，∠ADG=∠CDE=90°∠G=∠DECAD=CD，∴△ADG≅△CDEAAS，∴DG=DE，又∵CD=BD，∴DG+CD=DE+BD，即CG=BE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．【考点4 利用等角对等边证明边长相等】【例4】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____.【答案】14【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出EB＝ED，FD＝FC，即可得出答案．【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，熟练掌握相关图形的性质是解本题的关键．【变式4-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为__cm．【答案】5．【分析】根据角平分线和平行线的性质可证BD＝FD，EF＝CE，再根据线段和差可求CE的长．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∵BD＝9cm，DE＝4cm，，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5cm，故答案为：5．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，解题关键是理解已知条件，根据角平分线和平行线得出等腰三角形．【变式4-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．【答案】(1)见解析；(2)AC＝14．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形的对应边相等可得AE＝AB，DE＝BD，根据全等三角形的对应角相等可得∠AED＝∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝∠C＋∠CDE，从而求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE＋CE计算即可得解．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴AE＝AB＝9，DE＝BD＝5，∠AED＝∠B，∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠B＝2∠C，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝DE＝5，∴AC＝AE＋CE＝9＋5＝14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依题意可证，从而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得问题的解；（2）延长CG，AB交于点H，可证，从而AH=AC，HG=GC，又，，，由问题可解；（3）在AC上取一点N，使得AN=AB，从而，所以BD=DN=NC=n-m，从而由求得DC的长．（1）解：，，∵为的角平分线，，，，，，故答案为：3；（2）解：延长CG，AB交于点H， 由（1）知，，，，，，故答案为：12；（3）解：在AC上取一点N，使得AN=AB,(SAS),,，,,,，由角平分线的性质得：点D到AB，AC的距离相等，，又，， 故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．【考点5 利用等角对等边证明】【例5】（2022·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【答案】见解析【分析】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根据平行线的性质以及等角对等边可得BD＝DG，等量代换即可证明BD＝CE．【详解】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G，则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，在△DGF和△ECF中，∠GDF=∠EDF=EF∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DG＝CE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，∴BD＝DG∴ BD＝CE．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等角对等边，正确的添加辅助线是解题的关键．【变式5-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB． (1)求证：△BDE是等腰三角形；(2)求证：CD=BE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DE∥AC，CD∥AB，∴∠1=∠2=∠3=∠4．∵∠2+∠ABD=90°，∠5+∠4=90°，∴∠5=∠ABD，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形；（2）证明：由（1）得∠4=∠2∴AE=DE，∵AD=AD，∠1=∠4，∠2=∠3，∴△ACD≌△AED，∴CD=AE，∴CD=AE=DE=BE．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．【变式5-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．问题发现(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？问题探究(2)如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析．【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），求出∠POD＝∠POE可得结论；（2）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT，证明△POD≌△POT（SAS），可得∠ODP＝∠OTP，然后根据平行线的性质求出∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，然后根据等角对等边求出PT＝OT，PT＝TE，可得结论．（1）解：小新的观点正确；理由：在△OPD和△OPE中，OD=OEPD=PEOP=OP，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD＝∠POE，即射线OP是∠AOB的角平分线；（2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT．∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT，在△POD和△POT中，OD=OT∠POD=∠POTOP=OP，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP，∵PD∥OB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°，∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE，∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式5-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3)如图③，若ΔABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【答案】(1)图中是等腰三角形的有：ΔAEF,ΔOEB,ΔOFC,ΔOBC,ΔABC，共5个等腰三角形；EF,BE,FC的关系是EF=BE+FC．理由见解析(2)当AB≠AC时，（1）的结论仍然成立，见解析(3)EF=BE−FC．理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．（1）解：图中是等腰三角形的有：ΔAEF,ΔOEB,ΔOFC,ΔOBC,ΔABC，共5个等腰三角形；EF,BE,FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，（1）的结论仍然成立．∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）EF=BE−FC．理由如下：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠FOC=∠OCG，∠EOB=∠OBC，∴∠ABO=∠EOB，∴BE=OE，∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，∴EF=EO−FO=BE−FC．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．【考点6 作等腰三角形】【例6】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P和直线BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M落在BC上．【答案】见解析【分析】作PF⊥BC交BC于点E，以点E为圆心EP为半径画弧交BC于M、Q，连接PM、PQ，△PMQ即为所求．【详解】解：作PF⊥BC交BC于点E，以点E为圆心EP为半径画弧交BC于M、Q，连接PM、PQ，△PMQ即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，灵活运用所学知识．【变式6-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．【答案】见解析【分析】方法1，作线段AB的垂直平分线交BC于D；方法2，以B为圆心BA为半径作弧交BC于D．【详解】如图1所示，△ABD是黄金三角形：如图2所示，△ABD是黄金三角形：根据作图，可知：AB=AD，∵∠B=36°，∴△ABD是黄金三角形．【点睛】本题考查了尺规作图－作等腰三角形以及线段的垂直平分线，仔细阅读理解黄金三角形的定义是解题的关键．【变式6-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线CM∥AB．(1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为点D，连接CD、ED即可；（2）证明四边形ABCD是平行四边形即可．（1）解：以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为所求作的点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为所求作的点D，如图所示：（2）证明：连接AD，如图所示：∵AC＝AB，CE＝CB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，∵CD∥AB，∴∠CEB＝∠DCE，∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，∴△DCE≌△ABC（ASA），∴CD＝AB，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式6-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．【答案】见详解【分析】作∠MAN=∠α，作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD=ℎ，过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C，则得所求三角形．【详解】作法：1．作∠MAN=∠α2．作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD=a；3．过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C，由作图可知：∠MAN=∠α，AD=ℎ，BC⊥AD，AP是∠MAN的平分线，∵AP是∠MAN的平分线，∴∠MAP=∠NAP，∵BC⊥AD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADB≌ADC，∴AB=AC，则△ABC就是所求三角形．【点睛】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握基本作图，等腰三角形的判定是解本题的关键．【考点7 等边三角形的判定与性质】【例7】（2022·全国·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（　　）A．25m B．13m C．38m D．35m【答案】D【分析】先根据SAS定理证出△ACD≅△CBE，从而可得∠AFG=60°，根据等边三角形的判定可得△AFG是等边三角形，再根据SAS定理证出△ACF≅△ABG，从而可得∠BGC=∠BAC=60°=∠AFG，根据平行线的判定可得AF∥BG，从而可得S△AFG=S△ABF=m，然后根据AF:EF=5:3可得EG:FG=2:5，最后根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB,∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°，在△ACD和△CBE中，BC=AC∠ACD=∠CBECD=BE，∴△ACD≅△CBESAS，∴∠CAD=∠BCE，∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴∠AFG=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，∵FG=FA，∴△AFG是等边三角形，∴AF=AG,∠FAG=60°，∴∠BAC−∠BAD=∠FAG−∠BAD，即∠CAF=∠BAG，在△ACF和△ABG中，AC=AB∠CAF=∠BAGAF=AG，∴△ACF≅△ABGSAS，∴∠ACF=∠ABG，又∵∠AEC=∠BEG，∴∠BGC=∠BAC=60°，∴∠BGC=∠AFG，∴AF∥BG，∴S△AFG=S△ABF=m（同底等高），∵AF:EF=5:3，FG=FA，∴FG:EF=5:3，∴EG:FG=2:5，∴S△AEG:S△AFG=2:5，∴S△AEG=25S△AFG=25m，即△AEG的面积为25m，【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．【变式7-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）A．12a+2b B．12a+43b C．a+2b D．32a【答案】D【分析】因为C△AEF=AF+AE+EF=12a+AE+EF，所以当AE+EF最小时，△AEF周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．【详解】解：连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M，连接AM，CM，连接FM交CE延长线于点N，连接AN，如下图：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=60∘∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE即∠BAD=∠CAE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AB=AC,AF=CF∴BF⊥AC,且BF平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30∘∴∠BCE=90∘即点E在射线CE上运动∵点A和点M关于射线CE对称∴∠MCE=∠ACE=30∘，CE⊥AM∴∠ACM=60∘又∵CA=CM∴△ACM是等边三角形∴AM=AC∵BF⊥AC∴FM=BF=2b又∵C△AEF=AF+AE+EF=12a+AE+EF∴当AE+EF最小时，△AEF周长取得最小值即AE+EF=MN+FN时，△AEF周长取得最小值∴C△AEF=12a+FM=12a+2b故选：A【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质判定，以及轴对称求最值，能够根据题意作出相关的图形是解题的关键.【变式7-2】（2022·广东·东华学校八年级期中）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；(2)判断△CFG的形状并说明理由；(3)求证：OA+OC=OB．【答案】(1)证明见解析，∠DOE=60°(2)△CFG是等边三角形，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证△BCD≌△ACE（SAS），即得出BD=AE，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE．再根据∠DGO=∠CGE，即得出∠DOE=∠DCE=60°；（2）由等边三角形的性质可得出∠ACB=∠DCE=60°，即可求出∠BCF=∠ACG=60°，易证△BCF≌△ACG（ASA），即得出CG=CF，即证明△CFG是等边三角形；（3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N．易证△CDN≌△CEM（AAS），得出EM=DN，CM=CN，即证明OC为∠BOE的角平分线，得出∠BOC=∠EOC．又易证△CMG≌△CNF（SSS），得出∠MCG=∠NCF，从而得出∠MCN=∠GCF=60°，即可求出∠MON=120°，从而可求出∠BOC=∠EOC=12∠MON=60°，进而可求出∠COD=180°−∠BOC=120°．易证△COP为等边三角形，即得出∠CPO=60°，OP=OC，从而可求出∠CPE=120°=∠COD，进而可证△COD≌△CPE（AAS），得出OD=PE．最后即可求出BO=BD−OD=AE−PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO；（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE =60°，∴∠BCD=∠ACE =180°−60°=120°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE．又∵∠DGO=∠CGE，∴∠DOE=∠DCE=60°；（2）∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=180°−60°−60°=60°，∴∠BCF=∠ACG=60°，在△BCF与△ACG中，∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG ，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴CG=CF．∵∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形；（3）如图，在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N．∵△BCD≌△ACE，∴∠CDN=∠CEM．在△CDN和△CEM中，∠CDN=∠CEM∠CND=∠CME=90°CD=CE，∴△CDN≌△CEM（AAS），∴EM=DN，CM=CN，∴OC为∠BOE的角平分线，∴∠BOC=∠EOC．∵BD=AE，BF=AG，∴MG=NF．在△CMG和△CNF中，CM=CNCG=CFMG=NF，∴△CMG≌△CNF（SSS），∴∠MCG=∠NCF，∴∠MCN=∠GCF=60°，∴∠MON=360°−∠MCN−90°−90°=120°．∴∠BOC=∠EOC=12∠MON=60°，∴∠COD=180°−∠BOC=120°．∵CP=CO，∠COP=60°，∴△COP为等边三角形，∴∠CPO=60°，OP=OC，∴∠CPE=180°−∠CPO=120°=∠COD．在△COD和△CPE中，∠CDO=∠CEP∠COD=∠CPECO=CP，∴△COD≌△CPE（AAS），∴OD=PE．∴BO=BD−OD=AE−PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO；【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和定义．在证明（3）时正确的作出辅助线是解决的关键，较难．【变式7-3】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）晓芳利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：初步发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB＝60°；深入探究：如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；拓展创新：如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，连接AE交BD于P，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC＝3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：（1）AP−3PDPC；（2）AP+PC+2PDBD−PC+PE．【答案】初步发现：证明见解析；深入探究：CE+DC=AC，证明见解析；拓展创新：（1）2，证明见解析；（2）1，证明见解析【分析】初步发现：只需要利用SAS证明△BCD≌△ACE得到∠CBD=∠CAE，由∠BOC=∠AOF，推出∠AFO=∠BCO=60°，由此即可证明结论；深入探究：在AB上取一点G使得BG=BD，连接DG，先证明△BDG是等边三角形，得到BG=BD=DG，∠BGD=60°，再利用ASA证明△AGD≌△DCE得到CE=GD=BD，即可证明CE+DC=AC；拓展创新：（1）如图所示，在AE上取一点F，使得EF=PD，先证明△ACE≌△BCD得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，再证明△CPD≌△CFE得到PD=FE，∠PCD=∠FCE，PC=CF，进而证明△PCF是等边三角形，得到PC=PF；过点C作CG⊥BD于G，CH⊥AE于H，利用面积法证明CG=CH，得到BP=3PE，得到AE=BD=3PC+4PD AP=2PC+3PD，由此即可得到结论；（2）根据（1）所求分别用PC和PD表示出分子和分母的线段的和差即可得到答案．【详解】解：初步发现：如图所示，设AC与BF交于O，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD=∠CAE，∵∠BOC=∠AOF，∠AOF+∠AFO+∠OAF=180°，∠CBO+∠BOC+∠BCO=180°，∴∠AFO=∠BCO=60°，即∠AFB=60°；深入探究：CE+DC=AC，证明如下：如图所示，在AB上取一点G使得BG=BD，连接DG，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB，∠ACB=∠B=60°，∴∠ACF=120°，△BDG是等边三角形，∴BG=BD=DG，∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，AG=DC，∵CE平分∠ACF，∴∠ECF=∠ACE=12∠ACF=60°，∴∠DCE=120°，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，∴∠CDE=∠BAD，在△AGD和△DCE中，∠DAG=∠EDCAG=DC∠AGD=∠DCE，∴△AGD≌△DCE（ASA），∴CE=GD=BD，∴CE+DC=BD+DC=BC，∴CE+DC=AC；拓展创新：（1）AP−3PDPC=2，证明如下：如图所示，在AE上取一点F，使得EF=PD，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，在△CPD和△CFE中，CD=CE∠CDP=∠CEFDP=EF，∴△CPD≌△CFE（SAS），∴PD=FE，∠PCD=∠FCE，PC=CF，∴∠PCD+∠DCF=∠FCE+∠DCF，∴∠PCF=∠DCE=60°，∴△PCF是等边三角形，∴PC=PF；过点C作CG⊥BD于G，CH⊥AE于H，∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，∴12BD⋅CG=12AE⋅CH，∴CG=CH，∵BC=3CE，∴S△BCP=3S△PCE，∴12BP⋅CG=3×12PE⋅CH，∴BP=3PE，∴AE=BD=BP+PD=3PE+PD=3PF+3EF+PD=3PC+4PD，∴AP=AE−PE=3PC+4PD−PF−EF=2PC+3PD，∴AP−3PDPC=2PC+3PD−2PDPC=2；（2）AP+PC+2PDBD−PC+PE=1，证明如下：由（1）可得AP+PC+2PD=2PC+3PD+PC+2PD=3PC+5PD，BD−PC+PE=3PC+4PD−PC+PF+EF=3PC+4PD−PC+PC+PD=3PC+5PD，∴AP+PC+2PDBD−PC+PE=1；【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形面积等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【考点8 含30度的直角三角形】【例8】（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）如图，在 △ABC 中，AB=AC，D，E 在 △ABC 内部，AD 平分 ∠BAC，∠EBC=∠E=60∘，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长为____．【答案】8【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据∠EBC=∠E=60°得出△BEM是等边三角形，从而得出BM=EM=6，然后通过求出DM长度得出NM，最后得出BN，从而进一步解出答案即可．【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM是等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴EM=BE=6，∴DM=4，∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ANC=90°∴∠NDM=30°，∴NM=12DM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质与30°角对应直角边等于斜边一半，熟练掌握相关概念并且正确作出辅助线是解题关键．【变式8-1】（2022·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求证△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件，证明△ABD是等边三角形，然后根据SSS证明△ADF≌△BDF；（2）由△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，再证明∠DBF=90°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可解决问题．（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE，∴AB=DB，∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，在△ADF与△BDF中，AD=BDAF=BFDF=DF，∴△ADF≌△BDF（SSS）；（2）∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∵△ADF≌△BDF，∴∠ADF=∠BDF=12∠ADB=30°，AF=BF，∴DF⊥AB，∠DEB=∠C=90°，∴∠BAC=30°，∵AF=BF，∴∠EBF=∠BAC=30°，∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=60°+30°=90°，∵BF=AF=2，∠BDF=30°，∴DF=2BF=4．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式8-2】（2022·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC边上一点，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接CE，过点D作BC的垂线，交CE的垂直平分线于点F，连接EF．(1)如图1，当点D与点C重合时，证明：BF＝2DF；(2)如图2，当点D不与B，C两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)仍然成立，理由见解析【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，推出BD＝DE，求出∠BED＝30°，由点F在DE的垂直平分线上，得到DF＝EF，求出∠FED＝∠BED，得B、E、F三点共线，证得∠FBD＝30°，即可得到BF＝2DF；（2）（1）中的结论仍然成立．延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，AG，证明△ADG≌△EDF（SAS），得到AG＝EF．由FC＝FE得到AG＝CF，推出△ABG≌△CBF（SSS），得到∠ABG＝∠GBD，求出∠DBF＝∠GBD＝30°，即可推出BF＝2DF．（1）解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，点D与点CA重合，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ADB＝60°，∵AD＝DE，∴BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∵∠ADB＝∠DBE+∠DEB，∴2∠BED＝60°，∴∠BED＝30°，∵DF⊥BD，∴∠BDF＝90°，∴∠FDE＝30°．∵点F在DE的垂直平分线上，∴DF＝EF，∴∠FED＝∠FDE＝30°，∴∠FED＝∠BED，由题意知，点B，F在AE的同侧，∴B、E、F三点共线，∴∠FBD＝30°，∴BF＝2DF；（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，AG，∵DF⊥BC于点D，∴∠BDF＝90°，∴BG＝BF，∴∠DBF＝∠DBG．又AD＝DE，∠ADG＝∠EDF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG＝EF．∵点F在CE的垂直平分线上，∴FC＝FE，∴AG＝CF，又AB＝BC，∴△ABG≌△CBF（SSS），∴∠ABG＝∠CBF，∴∠ABG＝∠GBD，又∠ABC＝60°，∴∠GBD＝30°，∴∠DBF＝∠GBD＝30°，∴BF＝2DF．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形30°角的性质，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．【变式8-3】（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．【答案】(1)见解析(2)（i）见解析；（ii）S△ACF＝8【分析】（1）先证明∠AEF＝∠CDF，然后证明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，进一步证明△ABD≌△CBF（ASA），即可证明AB＝BC；（2）（i）如图1，延长BG交CE于H，先证明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，则∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，先证明△BDN是等边三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，则∠ANB＝∠CDG＝120°，再证△ABN≌△FCD（AAS），推出CD＝BD，证明△BDG≌△CDM（AAS），得到CM＝BG，再由含30度角的直角三角形的性质得到DG＝12BD，DG＝12AF，据此求解即可．（1）解：∵AE＝EF，∴∠A＝∠AFE，同理可得：∠C＝∠CFD，∴∠AFE＝∠CFD，∴∠A＝∠AEF＝∠CFD＝∠C，∴∠AEF＝∠CDF，在△AEF和△CDF中，AE=DF∠AEF=∠CDFEF=CD，∴△AEF≌△FDC（SAS），∴AF＝CF，∴AF+DF＝CF+EF，∴AD＝CE，∵∠AEF＝∠CDF，∴∠BEC＝∠ADB，又∵∠C=∠A，∴△ABD≌△CBF（ASA），∴AB＝BC；（2）（i）如图1，延长BG交CE于H，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠FGH＝90°，∴∠A+∠ABG＝∠HFG+∠FHG＝90°，由（1）得，∠A＝∠HFG，∴∠ABG＝∠FHG，∵∠FHG是△CBH的外角，∴∠FHG＝∠GBD+∠C，∴∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）解：如图2，在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，∴∠M＝90°，∵∠BGD＝90°，∠GBD＝30°，∴∠BDG＝90°﹣∠GBD＝60°，∴△BDN是等边三角形，∴BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，∴∠ANB＝∠CDG＝120°，∵BD＝DN，BD＝AF，∴AF＝DN，∴AN＝DF，由（1）知：∠BAN＝∠CFD，∴△ABN≌△FCD（AAS），∴CD＝BN，∴CD＝BD，∵∠M＝∠BGD＝90°，∠BDG＝∠CDM，∴△BDG≌△CDM（AAS），∴CM＝BG，∵∠BGD＝90°，∠DBG＝30°，∴DG＝12BD，∴DG＝12AF，∵SΔBDG=12DG⋅BG＝12⋅(12AF)⋅BG，SΔACF=12AF⋅CM＝12AF⋅BG，∴S△ACF＝2S△BDG＝2×4＝8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．【考点9 利用直角三角形的两锐角互余求值】【例9】（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，则∠EDF的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】根据等腰三角形性质得到∠C=∠B=30°，在由DE⊥AB，DF⊥AC，由直角三角形两锐角互余，得到∠EDB=60°,∠FDC=60°，从而有∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=60°．【详解】解：在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，∴ ∠C=∠B=30°，∵ DE⊥AB，∴在Rt△BDE中，∠DEB=90°,∠B=30°，则∠EDB=60°；在Rt△CDF中，∠DFC=90°,∠C=30°，则∠FDC=60°，∴ ∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=180°−60°−60°=60°，【点睛】本题考查三角形背景下求角度问题，涉及等腰三角形性质、直角三角形性质、平角定义等知识，熟练掌握等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余、平角为180°是解决问题的关键．【变式9-1】（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图所示，点A、B分别是坐标轴上的点，且OA=OB，AC⊥x轴，点D在x轴负半轴上，AC=OD，连接OC、BD相交于点E，若四边形ACED的面积为56，OE长为1，则点A的坐标为_______．【答案】−343,0【分析】首先根据全等三角形的判定定理SAS，即可证得△OAC≌△BOD，可得∠C=∠ODB，OA=BO，S△OAC=S△BOD，可证得S四边形ACED=S△BOE=56，再根据直角三角形的性质可证得∠DEO=∠BEO=90°，根据三角形的面积公式，即可求得BE=53，最后根据勾股定理可求得OB，据此即可解答．【详解】解：∵AC⊥x，∴∠OAC=∠BOD=90°在△OAC与△BOD中，OA=OB∠OAC=∠BODAC=OD∴△OAC≌△BODSAS，∴∠C=∠ODB，OA=BO，S△OAC=S△BOD，∴S△OAC−S△ODE=S△BOD−S△ODE，∴S四边形ACED=S△BOE=56，∵∠AOC+∠C=90°，∴∠ODB+∠AOC=90°，∴∠DEO=∠BEO=90°，∴S△BOE=12OE⋅BE=12×1×BE=56，∴BE=53，∴BO=OE2+BE2=12+532=343，∴OA=343，∴点A的坐标为−343,0，故答案为：−343,0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得∠BEO=90°是解决本题的关键．【变式9-2】（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，AD⊥BC交BC于点D，∠BAC=80°，∠EAD=10°，求∠B的度数．【答案】∠B=40°【分析】运用垂直的意义，角的平分线的意义，三角形内角和定理求解即可．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°∵AE平分∠BAC，∠BAC=80°，∴∠CAE=12∠BAC=40°，∵∠EAD=10°，∴∠CAD=30°，∴∠C=60°，∴∠B=180°−∠BAC−∠C=40°．【点睛】本题考查了垂直的意义，角的平分线的意义，三角形内角和定理，熟练掌握两个定义的意义及其内角和定理是解题的关键．【变式9-3】（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠CDE=45°，∠AED=∠B．若DE=2，BC=8，则S△CDE=___________．【答案】5【分析】如图，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，交延长BA于点H，先证明△CDG是等腰直角三角形，得CG=DG，设EG=x，则DG=CG=x+2，再证明∠H=∠B，得CH=BC=8，然后证明△CGE≌△DGHASA，得GH=EG=x，根据CH=7列方程可得结论．【详解】解：如图，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，交延长BA于点H，∴∠CGD=90°，∵∠CDE=45°，∴△CDG是等腰直角三角形，∴CG=DG，设EG=x，则DG=CG=x+2，∵∠BAC=∠DGH=∠DGC=90°，∴∠ADE+∠AED=∠ADE+∠H=∠ECG+∠CEG=90°，∴∠AED=∠H，∵∠CEG=∠AED=∠B，∴∠H=∠B，∠GDH=∠ECG，∴CH=BC=8，在△CGE和△DGH中，∠GDH=∠ECGDG=CG∠DGH=∠CGE，∴△CGE≌△DGHASA，∴GH=EG=x，∴x+x+2=8，∴x=3，∴CG=x+2=5，∴S△CDE=12DE⋅CG=12×2×5=5．故答案为：5．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识，注意根据题意作出辅助线是关键．【考点10 全等的性质与HL综合】【例10】（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论：①∠MAP=∠ACB；②PA=PC；③BC−AB=2CD；④BP=AC；⑤四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有___________．【答案】4【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≅Rt△BPD、△PAK≅△PCD，最后利用全等三角形的性质即可解答．【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK=PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，BP=BPPK=PD，∴Rt△BPK≅Rt△BPDHL，∴BK=BD，∵∠APC+∠ABC=180°，且∠ABC+∠KPD=180°，∴∠KPD=∠APC，∴∠APK=∠CPD，∵PD⊥BC，PK⊥AB∴∠MAP=∠ACB故①正确，在△PAK和△PCD中，∠AKP=∠PDCPK=PD∠APK＝∠CPD，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，∵BK=BD∴CD=BK−AB=BD−AB，∵CD=BC−BD，∴BC−AB=2CD，故③正确，∵Rt△BPK≅Rt△BPD，△PAK≅△PCD（ASA），∴S△BPK=S△BPD，S△APK=S△PDC，∴S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD．故④正确．故答案为4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键．【变式10-1】（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．并思考要想解决问题，应把∠B分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：(1)第一种情况：当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．(2)第二种情况：当∠B是锐角时，如图，BC=EF， ∠B=∠E<90°，在射线EQ上有点D，使DF=AC，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断△ABC和△DEF的关系（     ）A、不全等    B、不一定全等    C、全等(3)第三种情况：当∠B是钝角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．【答案】(1)见解析(2)B(3)见解析【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法解决问题即可；（2）画出图形说明不一定全等；（3）如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，利用三次全等证明即可．【详解】（1）解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DFBC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL；（2）解：如图①，DF=D'F=AC，△DEF≌△ABC，△D'EF和△ABC不全等．故选：B；（3）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，∵∠ABC=∠DEF，∴180°−∠ABC=180°−∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∠CBG＝∠FEH∠G＝∠H＝90°BC＝EF，∴△CBG≌△FEHAAS，∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC＝DFCG＝FH，∴Rt△ACG≌Rt△DFHHL，∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D∠ABC＝∠DEFAC＝DF，∴△ABC≌△DEFAAS．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定方法，属于中考常考题型．【变式10-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在四边形ABCD中，AC、BD交于点E，且∠ACD=∠ADC．(1)如图1，若AB=AD，求证：∠BAC=2∠BDC；(2)如图2，在（1）的条件下，若∠BDC=30°，求证：BC=AC．(3)如图3，若BC＝AD，∠BDC=30°，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F， 且EF：BE＝2∶11，DF=9，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)BD的长为22【分析】（1）△ABC和△BCD中，利用三角形内角和定理及等边对等角进行等量代换即可；（2）先由等角对等边、等量代换得出△ABC是等腰三角形，再由∠BDC=30°，∠BAC=2∠BDC得出△ABC是等边三角形，即可得出结果；（3）如图，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：CE=ED=12CD，由直角三角形30°角的性质得：CF=12CD，则CE=CF，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△BCF，得∠DCF=∠ACB=60°，则△ABC是等边三角形，设HF=2x，BH=11x，由BH=HD列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图，在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，在△BCD中，∠3+∠4+∠6+∠7=180°，∴∠1+∠2=∠6+∠7，∵∠ACD=∠ADC，即∠7=∠5+∠6，∴∠1+∠2=∠6+∠5+∠6，∵AB=AD，∴∠2=∠5，∴∠1+∠5=∠6+∠5+∠6，∴∠1=2∠6，即∠BAC=2∠BDC．（2）证明：∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB=AD，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BDC=30°，∴∠BAC=2∠BDC=60°，△ABC是等边三角形，∴BC=AC．（3）解：如图，过A作AE⊥CD于E，∵AC=AD，∴CE=ED=12CD，∵∠BDC=30°，∴CF=12CD，∴CE=CF，∵BC=AD=AC，∠AEC=∠BFC=90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（HL），∴∠ACE=∠BCF，∴∠ACE-∠ACF=∠BCF-∠ACF，即∠DCF=∠ACB=90°-30°=60°，∵AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∴AD=AB，∵AH⊥BD，∴BH=HD，∵HF：BH=2：11，DF=9，设HF=2x，BH=11x，由BH=HD得：11x=2x+9，x=1，∴BD=11x+2x+9=22．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质，等边三角形性质和判定解决问题，第3问有难度，构建辅助线，证明Rt△ACE≌Rt△BCF是关键．【变式10-3】（2022秋·四川泸州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC=DE，BC=BE．(1)求证：AB=BD；(2)BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．①求∠ABG的度数；②当KB平分∠AKG时，求证：AK=DG＋KG．【答案】(1)见解析(2)①∠ABG=135°；②见解析【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可得证；（2）①根据BF平分∠ABC交AC于点F，得出∠CBF=∠ABF=45°，根据对顶角相等得出∠DBG=∠CBF=45°，进而即可求解；②作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可得证．【详解】（1）证明：在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB=BD；（2）①∵BF平分∠ABC交AC于点F，∠ABC=90°，∴ ∠CBF=∠ABF=45°，∠ABD=90°∵ ∠DBG=∠CBF=45°，∴ ∠ABG=∠ABD+∠DBG=90°+45°=135°，②证明：如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM=∠MBD=45°，∠AKB=∠BKG，∵∠ABF=∠DBG=45°，∴∠MBD=∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK∠AKB=∠BKG，∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM=BG，MK=KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBGBM=BG，∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM=DG，∵AK=AM+MK，∴AK=DG+KG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的性质与判定．【考点11 勾股定理及其逆定理的拓展】【例11】（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知直线l1:y=x+1与x轴交于点A,与直线l2:y=12x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若ΔABC为直角三角形，则点C的坐标为__________．【答案】(2，0)或（5，0）【分析】先求出A，再求出y=x+1y=12x+2，解得x=2y=3，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．【详解】l1:y=x+1与x轴交于点A，∴y=0，x=-1，∴A(-1，0)，直线l1:y=x+1与直线l2:y=12x+2交于点B，y=x+1y=12x+2，解得x=2y=3，∴B（2，3），当点C为直角顶点时，∴BC⊥AC，∴BC∥y轴，B、C横坐标相同，C（2，0），当点B为直角顶点时，∴BC⊥AB，l1:y=x+1，k=1，∴∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=2+12+32=32，AC=2AB=6，AO=1，CO=AC-AO=5，C（5，0），C点坐标为（2，0）或（5，0）．故答案为：（2，0）或（5，0）．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．【变式11-1】（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH【答案】D【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=32+42=25，CD2=12+22=5，EF2=42+22=20，GH2=22+32=13，因为CD2+EF2=AB2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【变式11-2】（2022春·山东济宁·八年级统考期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长.【答案】（1）点M，N是线段AB的勾股分割点，理由见详解；（2）12或13.【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x，分3种情况，分类讨论：①当MN是最长边时，AM2+BN2=MN2，②当BN是最长边时，AM2+MN2=BN2，③当AM是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可.【详解】(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：∵AM=2.5，MN=6.5，BN=6，又∵2.52+62=42.25=6.52 ，∴AM2+BN2=MN2，∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，∴点M，N是线段AB的勾股分割点；(2)设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x，①当MN是最长边时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴AM2+BN2=MN2，∴52+x2=(25−x)2，解得：x=12；②当BN是最长边时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴AM2+MN2=BN2，∴52+(25−x)2=x2，解得：x=13；【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，根据题意，分类讨论，利用勾股定理列出方程，是解题的关键.【变式11-3】（2022秋·河北衡水·八年级校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．【探究1】（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．【探究2】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．①b=_；②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）a=6,b=8,c=10；探究2（1）12(49−1),12(49+1)；（2）12(n2−1)，12(n2+1)；（3）①80，②(m2)2−1，弦(m2)2+1【分析】探究1：（1）根据勾股定理a2+b2=c2，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公式求出a2+b2、c2根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；探究2：（1）根据规律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝12(n2−1)，弦＝12(n2+1)；（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）证明：(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n2+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+1∴(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1，∴(2n+1)2+(2n2+2n）2=(2n2+2n+1）2，满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；（3）∵a2+b2=[12(m2−n2)]2+(mn)2=14m4−12m2n2+14n2+m2n2＝14m4+12m2n2+14n2 =[12(m2+n2)]2=c2∴满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；当m=4,n=2时，a=12(m2−n2)=6,b=mn=8,c=12(m2+n2)=10，∴6,8,10构成一组勾股数．(答案不唯一）探究2：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=12(49−1)，弦25=12(49+1)， （2）如果勾用n(n≥3，且n为奇数）表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)（3）①b＝80．②根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，则另一条直角边b=(m2)2−1弦c=(m2)2+1【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足a2+b2=c2的三个正整数均为勾股数是解题的关键．【考点12 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】【例12】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．【答案】见解析【分析】作∠CAB的角平分线，与MN的垂直平分线，交于点O，即为所求．【详解】解：如图，作∠CAB的角平分线，与MN的垂直平分线，交于点O，点O即为所求．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式12-1】（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BAC是钝角，完成下列画图．(1)BAC的平分线AD；(2)AC边上的中线BE；(3)AC边上的高BF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用角平分线的作法得出即可；（2）首先作出线段AC的垂直平分线得出E为中点，进而得出中线；（3）延长CA，进而过点B作BF⊥CA即可．（1）如图所示：AD即为所求；（2）如图所示：BE即为所求；（3）如图所示：BF即为所求．【点睛】本题考查了作角平分线，线段的垂直平分线，掌握三角形的高、中线，角平分线的定义是解题的关键．【变式12-2】（2022·广东广州·八年级期中）如图，在钝角△ABC中．(1)用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和∠HBC的大小关系．【答案】(1)见解析(2)图见解析，∠ADE＝∠HBC【分析】（1）利用尺规作图法作AC的垂直平分线即可；（2）在(1 )的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH (可用三角板画图)即可，进而可以写出∠ADE和∠HBC的大小关系．（1）解：如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）解：在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∠ADE=∠HBC，理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝EC，又DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，∵BH⊥AC，DE⊥AC，∴DE∥BH，∴∠CDE＝∠HBC，∴∠ADE＝∠HBC．【点睛】本题考查了作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．【变式12-3】（2022·江苏·八年级阶段练习）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC= ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA= ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【答案】图见解析，BC，DC，线段的垂直平分线的判定【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．【详解】解：如图，△AOC即为所求．如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=BC．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=DC．若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点13 垂直平分线的判定与性质】【例13】（2022·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠DCB=35°【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数．【详解】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB=DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，DB=DCDM=DN∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，∴BM=CN；（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，DA=DADM=DN∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，∴∠ADM=∠ADN∵∠BAC=70°∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，∵∠BDM=∠CDN∴∠BDC=∠MDN=110°∵AD是BC的垂直平分线∴∠EDC=55°∴∠DCB=90°-∠EDC=35°∴∠DCB=35°故答案为∠DCB=35°．【点睛】考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式13-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求证： （1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【答案】见详解．【分析】（1）连接AE、EC，证明RT△AGE≌RT△CFE，即可证明AG=CF．（2）先证BG=BF，现由（1）的结论得BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=AG+CF=2CF．【详解】证明：（1）如图1连接AE、EC∵E在AC的垂直平分线上∴AE=CE∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，∴GE=FE在RT△AGE和RT△CFE中∵{GE=FEAE=CE∴RT△AGE≌RT△CFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）∴AG＝CF．（2）由（1）知GE=EF在RT△BGE和RT△BFE中∵{GE=EFBE=BE ∴RT△BGE≌RT△BFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）∴BG=BF∴BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=GA+FC由（1）知GA=FC代入得BC﹣AB＝2FC．【点睛】本题综合考查角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理．本题关键是寻找条件运用“斜边直角边对应相等的直角三角形全等”证明全等．【变式13-2】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．证明：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，则∠BAC−∠B+∠C=30°，∠BAC+∠B+∠C=180°，解得∠BAC＝105°．情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)△ADM≅△BDM(2)90°+12α(3)∠MAN+2∠BAC=180°；理由见解析【分析】（1）利用边角边可证得△ADM≅△BDM；（2）利用∠BAC−∠B+∠C=∠MAN=α，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得答案；（3）证得∠ABC=∠BAM，∠NAC=∠BCA，结合∠BAM=∠ABC=∠BAN+∠MAN，∠NAC=∠BCA=∠CAM+∠MAN，∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM，可得答案；（1）解：∵ DM是AB的垂直平分线，∴ BD=AD,∠BDM=∠ADM=90°，∵DM=DM，∴△ADM≅△BDM(SAS)，∴∠MAB=∠B，故答案为：△ADM≅△BDM；（2）由(1)知，∠MAB=∠B，同理可得，∠NCA=∠CAN，∵ ∠BAC−∠B+∠C=∠MAN=α，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=90°+12∠MAN=90°+12α，故答案为：90°+12α；（3）∠MAN+2∠BAC=180°．理由：∵ DM是AB的垂直平分线，∴AD=BD,∠ADM=∠BDM=90°，∴△ADM≅△BDMSAS，∴∠ABC=∠BAM，同理可得，∠NAC=∠BCA，∵ ∠BAM=∠ABC=∠BAN+∠MAN，∠NAC=∠BCA=∠CAM+∠MAN，∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴ ∠BAN+∠MAN+∠CAM+∠BAC=180°，∴ ∠MAN+∠BAC+∠BAC=180°，∴ ∠MAN+2∠BAC=180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法：边边边，边角边，角角边，解题关键灵活结合线段垂直平分线的性质．【变式13-3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C＝β．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝12DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．【答案】【猜想】150；【探究】（1）见解析；（2）(180﹣β)；【应用】1【分析】猜想：延长ED交BC于点F，交AC于点O．证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；应用：证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，∵CB＝CA，∴∠ABM＝∠BAN，∵CA＝CB，BM＝AN，∴CM＝CN，∵∠C＝∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN＝∠CAM，∵E是AD的垂直平分线上的点，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，∴∠BNC＝∠BFE，∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，∴∠NDO＝30°，∴∠BDE＝150°，故答案为：150°；探究：（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，∴CA﹣AN＝CB﹣BM，∴MC＝NC，在△BCN和△ACM中，BC=AC∠C=∠CCN=CM，∴△BCN≌△ACM（SAS）；（2）如图，延长ED交BC于点F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN＝∠CAM，同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，∴∠ACB＝∠BDF＝β，∴∠BDE＝180°﹣β．故答案为：（180﹣β）；应用：∵∠C＝120°，CA＝CB，∴∠BAC＝30°，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC＝12∠BAC＝15°，∵AP∥BC，∴∠C＝∠CAD＝120°，∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，∴∠ADE＝45°，∴∠E＝90°，∵DE＝12DF，DE＝1，∴DF＝2，∴△DEF的面积为12DE⋅DF=12×1×2=1．故答案为：1．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【考点14 等腰三角形中的新定义问题】【例14】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有_______≌________．(2)【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE=CD．(3)【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．【答案】(1)△BAD；△CAE(2)证明见解析(3)BD⊥CE且BD=CE【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可（2）根据SAS证明△ACD≌△AEB，再由全等的性质得到（3）根据SAS证明△EAC≌DAB，由全等的性质可得BD=CE，∠ACE=∠ABD，进而可证BD⊥CE（1）证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△BAD≌△CAE（2）证明：由等边△ABD和等边△ACE知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°由（1）的推理，同理可知：∠DAC=∠BAE在△ACD和△AEB中，AB=AD∠DAC=∠BAEAE=AC∴△ACD≌△AEB∴BE=CD（3）BD⊥CE且BD=CE,理由如下证明：如下图所示，AB交CE于点O由以上推理，同理可知：∠DAB=∠EAC在△ABD和△ACE中，AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC∴△ABD≌△ACE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD∵∠AOC+∠ACE=90°,∠AOC=∠POB∴∠POB+∠ABD=90°即∠OPB=90°∴BD⊥CE【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”．【变式14-1】（2022·福建厦门·八年级期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段．(1)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段．(2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等直分割线的定义解答即可；（2）根据等直三角形可得：AD=BD，AE=CE，∠BAE=90°，∠CAD=90°，结合等腰三角形的判定和性质即可解答．（1）如图：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD∵∠C=90°∴△ACD是直角三角形∴AD是△ABC的一条等直分割线段（2）如图，AD，AE是△ABC的两条等直分割线∴AD=BD，∠BAE=90°，AE=CE，∠CAD=90°∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°∴∠BAD=∠CAE∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．【变式14-2】（2022·浙江·八年级单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明△BAD≌△CAE即可得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠CAE=∠BAD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE．（2）证明：如图，过点A作AG⊥BM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠ACH，∵AG⊥BM，AH⊥EM，∴∠AGB=∠AHC=90°，∴△BAG≌△CAH（SAS），∴AG=AH，∴AM平分∠BME．【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键．【变式14-3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）阅读下列材料，解答问题：定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36∘，BM为△ABC的完美分割线，且CMNC，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点C1处，AC1交BN于点M．求证：BM=C1N．【答案】(1)72，108；(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C=（180°-∠BAC）÷2，∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM即可求出两角的度数；（2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN、△ACN均为等腰三角形，即可得证结论；（3）根据ASA证△AC1N≌△ABM，即可得证结论．（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°，∵BM为△ABC的完美分割线，且CM＜AM，∴∠ABM=∠BAC=36°，∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108°故答案为：72，108；（2）∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B＝∠C＝12 (180°−∠BAC)＝36°，∵AC=CN，∴∠CAN＝∠CNA＝12 (180°−∠C)＝72°，∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°，∴∠BAN=∠B，∴NA=NB，∴△ABN、△ACN均为等腰三角形，∴AN为△ABC的完美分割线；（3）∵AN是△ABC的一条完美分割线，∴AN=CN，AB=BN，∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，∴∠BAN=2∠CAN，∵∠CAN=∠C1AN，∴∠BAN=2∠C1AN，∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，∴∠C1AN=∠BAM，∵AC=AB，∴∠C=∠B，∵∠C=∠C1，∴∠C1=∠B，∵AC=AC1，∴AC1=AB，∴△AC1N≌△ABM（ASA），∴NC1=BM．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【考点15 角平分线的判定与性质的综合求值】【例15】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（   ）A．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【答案】A【分析】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：OE=OF=OD，依据三角形面积公式求比值即可得．【详解】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是三条角平分线交点，∴OE=OF=OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12⋅AB⋅OE：12⋅BC⋅OF：12⋅AC⋅OD=AB:BC:AC=2:3:4，【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】过M作ME⊥AD于E，由角平分线的性质得出∠MDE=12∠CDA，∠MAD=12∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=12（∠CDA+∠BAD）=90°，由三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；由角平分线的性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②；由Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），得出CD=DE，由Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出AB=AE，即可判断③；由全等三角形推出S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，即可判断④．【详解】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE=12∠CDA，∠MAD=12∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=12（∠CDA+∠BAD）=12×180°=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵AB∥CD，∠B=90°，∴MC⊥DC，∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME，∴点M为BC的中点，故②正确；在Rt△DCM和Rt△DEM中，MC=MEDM=DM，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），∴AB=AE，∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正确；∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，∴S△ADM=12S梯形ABCD，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质和判定等知识；熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式15-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB=45∘．其中正确结论的是__________．【答案】①②④【分析】证明△DAC≌△EAB，再利用全等三角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD =90°，证得∠EOD=90°，即可判断②；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AO平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③．【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=∠BAC+ ∠EAC=∠EAB，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确：∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠EOD=90°，∴BE⊥CD，故②正确：如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，∵△DAC≌△EAB，∴S△ADC=12CD⋅AM=SΔEAB=12BE⋅AN，∴AM=AN，∴OA平分∠BOD，∵BE⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误，∴正确结论为①②④．故答案为：①②④【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．【变式15-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC=90°+12∠ABC；（2）解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAOAO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD=31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．【考点16 角平分线的判定与性质的综合证明】【例16】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．【思考说理】（1）求证：FE=FD．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB=90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE=FD）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证RtΔFDN≅RtΔ∠FEMAAS即可求解；（2）在AB上截取CP=CD，分别证ΔCDF≅ΔCPFSAS、ΔAFE≅ΔAFPASA即可求证；【详解】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴点F是ΔABC的内心，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM=FN，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠CAB=30°∴∠CAD=15°∴∠ADC=75°∵∠ACE=45°∴∠CEB=75°∴∠ADC=∠CEB∴RtΔFDN≅RtΔ∠FEMAAS∴FE=FD（2）如图，在AB上截取CP=CD，在ΔCDF和ΔCPF中，∵CD=CP∠DCF=∠PCFCF=CF∴ΔCDF≅ΔCPFSAS∴FD=FP，∠CFD=∠CFP，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，∵∠B=60°，∴∠ACB+∠BAC=120°，∴∠CAD+∠ACE=60°，∴∠AFC=120°，∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，∵∠CFD=∠CFP，∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，在ΔAFE和ΔAFP中，∵∠AFE=∠AFPAF=AF∠PAF=∠EAF∴ΔAFE≅ΔAFPASA∴FP=EF∴FD=EF．【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式16-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P．（1）求∠APB的度数．（2）求证：点P在∠C的平分线上．（3）求证：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【答案】（1）∠APB＝120°；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作PG，PH，PK分别垂直于AB，AC，BC，即可得解；（3）①根据（2）所做图像，证明△PKE≌△PHD(AAS)全等即可得解；②在AB上取AF=AD，证明△HAP≌△GAP(AAS)，△GBP≌△KBP(AAS)，得到BK=BG，证明△DAP≌△FAP(SAS)，得到AD=AF，证明△PDH≌△PFG(HL)，得到DH=FG=EK，再结合图像即可证明．【详解】解：（1）已知∠C＝60°，∴∠CAB+∠CBA=180°−∠C=120°，又∵ AE，BD是△ABC的角平分线，∴∠PAB+∠ABP=12(∠CAB+∠CBA)=60°，∠APB=180°−(∠PAB+∠ABP)=120°；（2）作PG，PH，PK分别垂直于AB，AC，BC如图，∵ AE，BD是△ABC的角平分线，∴PH=PG=PK，∴P在∠C的平分线上；（3）①：如图所示，在四边形HPKC中，∠HPK=180°−∠C=120°，∠APB=∠DPF=120°（对顶角），∴∠KPE+∠EPH=∠EPH+∠HPD=120°，∴∠HPD=∠KPE，又∵∠PKE=∠PHD=90°，PH=PK，∴△PKE≌△PHD(AAS)，∴PD=PE；②：在AB上取AF=AD，∵∠PHA=∠PGA=90°∠HAP=∠GAPAP=AP，∴△HAP≌△GAP(AAS)，同理可证△GBP≌△KBP(AAS)，∴AH=AG，BK=BG，又∵AD=AF∠DAP=∠FAPAP=AP，∴△DAP≌△FAP(SAS)，∴AD=AF，DP=FP，又∵DP=FP∠PHD=∠PGF=90°PH=PG，∴△PDH≌△PFG(HL)，又∵ △PKE≌△PHD(AAS)∴DH=FG=EK∴BE=BK+EK=BG+FG=BF，∴AB=AF+BF=AD+BE．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键．【变式16-2】（2022·四川成都·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．连接BD，CE交于点O．(1)求证：BD=CE；(2)求∠BOC的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO，并提出了下面结论：OA平分∠BOE．请给予证明．【答案】(1)见解析(2)38°(3)见解析【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≅△CAE，由全等角形的性质可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由三角形外角性质可得出答案；（3）过点A作AG⊥BD于点G，AH⊥CE于点H，可证明△AGB≅△AHC（AAS），可得AG＝AH，由角平分线的性质可得OA平分∠BOE．（1）解：如图所示标注角度：∵∠1=∠2=38°∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AP∴△BAD≅△CAE（SAS）∴BD=CE（2）解：∵△BAD≅△CAE∴∠3=∠4设BD交AC于点F，则∠6是△FAB和△FOC的外角∴∠6=∠1+∠3，∠6=∠5+∠4∴∠5=∠1∵∠1=38°∴∠5=38°即∠BOC的度数是38°（3）证明：过点A作AG⊥BD于G，AH⊥CE于H，则∠7=90°，∠8=90°∴∠7=∠8在△AGB和△AHC中AB=AC∠3=∠4∠7=∠8∴△AGB≅△AHC（AAS）∴AG=AH而AG⊥BD于G，AH⊥CE∴点A在△BOE的平分线上即OA平分∠BOE【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角性质及角平分线的性质，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．【变式16-3】（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明．（3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）图见解析；（2）FE＝FD，证明见解析；（3）成立，证明见解析【分析】（1）根据角平分线的性质定理，故应该取角平分线上一点向两边作垂线；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，则FG＝FH＝FK，通过计算得出∠EFG＝∠DFH=15°，从而证明△EFG≌△DFH（ASA），于是得出FE＝FD．（3）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，则FG＝FH＝FK，利用∠AFC=90°+12∠B，以及四边形内角和得到∠EFD＝∠AFC＝120°，继而得出∠EFG＝∠DFH，从而证明△EFG≌△DFH（ASA），于是得出FE＝FD．【详解】解：图①如图所示：作PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，则有△AOP≌△BOP．证明：∵OP是∠MON的平分线∴∠AOP=∠BOP．∵∠OAP=∠OBP，∠AOP=∠BOP，OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS）．（2）FE＝FD，证明过程如下：证明：如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，∵∠ACB是直角，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°．又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=12∠BAC=15°，∠FCA=12∠BCA=45°，∴∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=180°−15°−45°=120°，∴∠DFE=∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=180°−15°−45°=120°，∵∠ACB是直角，FH⊥BC于H，∴FH∥AC，∴∠DFH=∠FAC=15°．又∵∠ADB=∠FAC+∠ACB=105°，∠B=60°，∠BGF=90°，∴∠DFG=360°−∠ADB−∠B−∠BGF=105°，∴∠EFG=∠DFE−∠DFG=15°，∴∠EFG＝∠DFH=15°．又∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF，