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初中北师大版(2024)1 图形的平移当堂检测题
展开这是一份初中北师大版(2024)1 图形的平移当堂检测题,共36页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32092" 【题型1 生活中的平移现象】 PAGEREF _Tc32092 \h 1
\l "_Tc10033" 【题型2 图形的平移】 PAGEREF _Tc10033 \h 2
\l "_Tc16008" 【题型3 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc16008 \h 3
\l "_Tc22699" 【题型4 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc22699 \h 4
\l "_Tc19898" 【题型5 平移作图】 PAGEREF _Tc19898 \h 6
\l "_Tc14425" 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 PAGEREF _Tc14425 \h 8
\l "_Tc7821" 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 PAGEREF _Tc7821 \h 9
\l "_Tc12139" 【题型8 根据平移前后的坐标确定平移方式】 PAGEREF _Tc12139 \h 10
\l "_Tc20816" 【题型9 根据图形的平移求点的坐标】 PAGEREF _Tc20816 \h 11
\l "_Tc20821" 【题型10 根据平移后的坐标求原坐标】 PAGEREF _Tc20821 \h 12
【知识点 平移】
(1)定义:把一个图形沿着某一直线方向移动,这种图形的平行移动,简称为平移。
(2)平移的性质:平移后的图形与原图形全等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移: 点(x,y)向右平移a个单位长度后的坐标变为(x+a,y);
点(x,y)向左平移a个单位长度后的坐标变为(x-a,y);
点(x,y)向上平移a个单位长度后的坐标变为(x,y+a);
点(x,y)向下平移a个单位长度后的坐标变为(x,y-a)。
【题型1 生活中的平移现象】
【例1】(2022春·浙江湖州·七年级统考期末)下列现象中属于平移的是( )
①方向盘的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④汽车雨刷的运动
A.①②B.②③C.①②④D.②
【变式1-1】(2022春·重庆璧山·七年级校联考期中)今年4月,被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行.云巴在轨道上运行可以看作是( )
A.对称B.旋转C.平移D.跳跃
【变式1-2】(2022春·湖北宜昌·七年级统考期末)如图,两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径,同时从点A出发爬到点B,只考虑路径、时间、路程等因素,下列结论正确的为( )
A.乙比甲先到B.甲比乙先到
C.甲和乙同时到D.无法确定哪只蚂蚁先到
【变式1-3】(2022春·广东广州·七年级统考期末)如图,人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路,现要将这条小路改造成弯曲小路,小路的上边线向下平移1m就是它的下边线,那么改造后小路的面积( )
A.变大了B.变小了C.没变D.无法确定
【题型2 图形的平移】
【例2】(2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末)2022年,中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会,如图,通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是( )
A.B.
C.D.
【变式2-1】(2022春·全国·七年级期末)下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是( )
A.B.C.D.
【变式2-2】(2022春·八年级单元测试)观察下列五幅图案,在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是( )
A.②B.③C.④D.⑤
【变式2-3】(2022春·广东深圳·八年级校考期中)下列图案可以看作某一部分平移后得到的是( )
A.B.C.D.
【题型3 利用平移的性质求解】
【例3】(2022春·广东江门·七年级统考期末)如图,长方形ABCD的长AB为8,宽AD为6,将这个长方形向上平移3个单位,再向左平移2个单位,得到长方形EFGH,则阴影部分的面积为( )
A.30B.32C.36D.40
【变式3-1】(2022春·全国·七年级专题练习)如图,直角三角形ABC的周长为2021,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,则这5个小直角三角形周长的和为_________.
【变式3-2】(2022秋·山东临沂·八年级校考期中)如图,将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置,若∠CAB=55°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为______.
【变式3-3】(2022春·广东韶关·七年级统考期中)如图,把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换,拼成图⑤,则图⑤的面积是( )
A.18B.16C.12D.8
【题型4 利用平移解决实际问题】
【例4】(2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中)如图,公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路,则草地面积是________平方米.
【变式4-1】(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)如图,某酒店重新装修后,准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯,其侧面如图所示,则需地毯 __米.
【变式4-2】(2022春·全国·七年级专题练习)如图(单位,m),一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路(每条石子路间距均匀),请你求出草坪(阴影部分)的面积.
【变式4-3】(2022春·全国·七年级专题练习)图形操作:(本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度,宽均为5个单位长度)
在图1中,将线段AB向上平移1个单位长度到A'B',得到封闭图形AA'B'B(阴影部分);
在图2中,将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1个单位长度到折线A'B'C',得到封闭图形AA'B'C'CB(阴影部分).
问题解决:
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个“折点”的折线,同样向上平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影部分:
(2)设图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2,则S1= 平方单位;并比较大小:S1 S2(填“>”“=”或“<”);
(3)联想与探索:如图4.在一块长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路的宽度是1个单位长度),长方形的长为a,宽为b,请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位.(用含a,b的式子表示)
【题型5 平移作图】
【例5】(2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末)在如图的直角坐标系中,将△ABC平移后得到△A'B'C',它们的三个顶点坐标如表所示:
(1)观察表中各对应点坐标的变化,填空:a= ______,b= ______;
(2)在图中画出△A'B'C';
(3)求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积.
【变式5-1】(2022春·四川泸州·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A−3,2,B−1,−1,C0,3.将三角形ABC平移,使点A与点O重合,得到三角形OB1C1,其中点B,C的对应点分别为点B1,C1.
(1)画出三角形OB1C1;
(2)写出点B1,C1的坐标;
(3)三角形OB1C1的面积为____________.
【变式5-2】(2022春·江西赣州·七年级校考期末)如图,在正方形网络中,每个小方格的边长为1个单位长度,△ABC的顶点A,B的坐标分别为(0,5),(-2,2).
(1)请在图中建立平面直角坐标系,并写出点C的坐标;
(2)平移△ABC,使点C移动到点F(7,-4),画出平移后的△DEF,其中点D与点A对应,点E与点B对应.
(3)求△ABC的面积.
【变式5-3】(2022春·北京怀柔·七年级校考期末)如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点分别是A(0,4),B(-4,1),C(-1,2).
请你解答下列问题:
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC;
(2)将三角形ABC先向下平移5个单位,再向右平移3个单位.画出平移后的三角形A1B1C1.
(3)把(2)三角形A1B1C1各个顶点的横坐标保持不变,纵坐标增加2,得到三角形A2B2C2.直接写出三角形A2B2C2的面积.
【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】
【例6】(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,A−2,0,将点A向下平移1个单位,再向右平移2个单位得到点B,若点C在y轴上,且S△ABC=3,则点C的坐标为______.
【变式6-1】(2022秋·山西晋中·八年级统考期末)将直角坐标系中的点(−2,−5)向上平移6个单位,再向右平移3个单位后的点的坐标为( )
A.(4,−2)B.(1,1)C.(−5,6)D.(4,−8)
【变式6-2】(2022春·广东珠海·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,AP∥DF∥x轴,AB∥CD∥GF∥PH∥y轴,点C、B、H、G在x轴上,A(−1,2),C(−3,0),D(−3,−2),F(3,−2),P(1,2),把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A⋯的规律紧绕在图形“凸”的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是_______.
【变式6-3】(2022春·全国·八年级期末)点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为(5,3),将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度,y轴向左平移3个单位长度,得到平面直角坐标系x'O'y',在新坐标系x'O'y'中,点A的坐标为( )
A.(2,5)B.(8,0)C.(8,5)D.(8,1)
【题型7 由平移方式确定点的坐标】
【例7】(2022春·山东滨州·七年级校联考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中A−1,1,B−1,−2,C3,−2,D3,1,一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行,问第2021秒瓢虫在( )处.
A.3,1B.−1,−2C.1,−2D.3,−2
【变式7-1】(2022秋·八年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(0,−1),C(1,−2),D(−1,0),点D经过平移后得到点D',且将A,B,C,D'四点两两连接后,组成的图形是轴对称图形.对于小明,小亮,小红的说法,下列判断正确的是( )
小明:将点D向下平移2个单位长度;
小亮:将点D先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度;
小红:将点D先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度.
A.小明对,小亮对B.小亮对,小红错
C.小明对,小红对D.三个人都对
【变式7-2】(2022秋·浙江·八年级专题练习)已知:如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点,若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为S1______S2(填“<”、“>”、“=”).
【变式7-3】(2022秋·山东济南·八年级统考期中)规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位,一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称,由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:点O(0,1)按序列“01”作2次变换,表示点O先向右平移一个单位得到O11,1,再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1.若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022,则点A2022的坐标为__________.
【题型8 根据平移前后的坐标确定平移方式】
【例8】(2022春·江西吉安·八年级统考期末)点P−2,−3向左平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度所得对应点Q−3,0,则m+n的值为______.
【变式8-1】(2022春·甘肃兰州·八年级校考期中)在平面直角坐标系中,将三角形各顶点的纵坐标都加上3,横坐标减去2,所得图形的位置与原图形相比( )
A.向左平移3个单位,向上平移2个单位
B.向上平移3个单位,向左平移2个单位
C.向下平移3个单位,向右平移2个单位
D.向上平移3个单位,向右平移2个单位
【变式8-2】(2022秋·河北保定·八年级校考期末)点Em,n在平面直角坐标系中的位置如图所示,则坐标m+1,n−1对应的点可能是( )
A.A点B.B点C.C点D.D点
【变式8-3】(2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习)已知A−1,−2和B1,3,将点A向_______平移_______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
【题型9 根据图形的平移求点的坐标】
【例9】(2022春·重庆璧山·七年级校联考期中)在平面直角坐标系中,线段CF是由线段AB平移得到的;坐标分别为点A-1,4,点B(a,b),点C4,1,则点F的坐标为( )
A.a+3,b+5B.a+5,b+3或a-3,b-5
C.a-5,b+3D.a+5,b-3或3-a,5-b
【变式9-1】(2022秋·浙江·八年级专题练习)在平面直角坐标系中,将线段AB平移得到的线段记为线段A'B'.
(1)如果点A,B,A'的坐标分别为A−2,1,B1,−3,A'2,3,直接写出点B'的坐标___________;
(2)已知点A,B,A',B'的坐标分别为Am,n,B2n,m,A'3m,n,B'6n,m,m和n之间满足怎样的数量关系?说明理由;
(3)已知点A,B,A',B'的坐标分别为Am,n+1,Bn−1,n−2,A'2n−5,2m+3,B'2m+3,n+3,求点A,B的坐标.
【变式9-2】(2022春·江苏南通·七年级统考期中)三角形ABC在经过某次平移后,顶点A(﹣1,m+2)的对应点为A(2,m﹣3),若此三角形内任意一点P(a,b)经过此次平移后对应点P1(c,d).则a+b﹣c﹣d的值为( )
A.8+mB.﹣8+mC.2D.﹣2
【变式9-3】(2022春·广东东莞·七年级统考期中)如图,△ABC内部,任意一点P(a,b)经平移后对应点P1为(a−2,b+3),将△ABC做同样的平移得到△A1B1C1.
△ABC
Aa,0
B1,0
C2,2
△A'B'C'
A'1,3
B'5,b
C'c,d
专题3.1 图形的平移【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32092" 【题型1 生活中的平移现象】 PAGEREF _Tc32092 \h 1
\l "_Tc10033" 【题型2 图形的平移】 PAGEREF _Tc10033 \h 3
\l "_Tc16008" 【题型3 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc16008 \h 5
\l "_Tc22699" 【题型4 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc22699 \h 8
\l "_Tc19898" 【题型5 平移作图】 PAGEREF _Tc19898 \h 11
\l "_Tc14425" 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 PAGEREF _Tc14425 \h 17
\l "_Tc7821" 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 PAGEREF _Tc7821 \h 19
\l "_Tc12139" 【题型8 根据平移前后的坐标确定平移方式】 PAGEREF _Tc12139 \h 22
\l "_Tc20816" 【题型9 根据图形的平移求点的坐标】 PAGEREF _Tc20816 \h 24
\l "_Tc20821" 【题型10 根据平移后的坐标求原坐标】 PAGEREF _Tc20821 \h 27
【知识点 平移】
(1)定义:把一个图形沿着某一直线方向移动,这种图形的平行移动,简称为平移。
(2)平移的性质:平移后的图形与原图形全等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移: 点(x,y)向右平移a个单位长度后的坐标变为(x+a,y);
点(x,y)向左平移a个单位长度后的坐标变为(x-a,y);
点(x,y)向上平移a个单位长度后的坐标变为(x,y+a);
点(x,y)向下平移a个单位长度后的坐标变为(x,y-a)。
【题型1 生活中的平移现象】
【例1】(2022春·浙江湖州·七年级统考期末)下列现象中属于平移的是( )
①方向盘的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④汽车雨刷的运动
A.①②B.②③C.①②④D.②
【答案】D
【分析】直接根据平移的定义分别判断.
【详解】解:①方向盘的转动是旋转,故不符合题意;
②打气筒打气时,活塞的运动是平移,故符合题意;
③钟摆的摆动是旋转,故不符合题意;
④汽车雨刷的运动是旋转,故不符合题意;
综上分析可知,属于平移的是②,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题考查了生活中的平移现象,熟练掌握平移的定义是解答本题的关键. 平移是指在平面内,将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动.平移不改变图形的形状和大小,只是改变位置.
【变式1-1】(2022春·重庆璧山·七年级校联考期中)今年4月,被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行.云巴在轨道上运行可以看作是( )
A.对称B.旋转C.平移D.跳跃
【答案】A
【分析】根据平移与旋转定义判断即可.
【详解】解:云巴在轨道上运行可以看作是数学上的平移.
【点睛】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用.平移是物体运动时,物体上任意两点间,从一点到另一点的方向与距离都不变的运动;旋转是物体运动时,每一个点离同一个点(可以在物体外)的距离不变的运动,称为绕这个点的转动,这个点称为物体的转动中心.所以,它并不一定是绕某个轴的.正确理解平移与旋转的定义是解题的关键.
【变式1-2】(2022春·湖北宜昌·七年级统考期末)如图,两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径,同时从点A出发爬到点B,只考虑路径、时间、路程等因素,下列结论正确的为( )
A.乙比甲先到B.甲比乙先到
C.甲和乙同时到D.无法确定哪只蚂蚁先到
【答案】A
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同,结合二者速度相同即可得出结论.
【详解】根据平移可得出两蚂蚁行程相同,
∵甲乙两只蚂蚁的行程相同,且两只蚂蚁的爬行速度也相同,
∴两只蚂蚁同时到达点B.
故选C.
【点睛】本题考查了生活中的平移现象,结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键.
【变式1-3】(2022春·广东广州·七年级统考期末)如图,人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路,现要将这条小路改造成弯曲小路,小路的上边线向下平移1m就是它的下边线,那么改造后小路的面积( )
A.变大了B.变小了C.没变D.无法确定
【答案】A
【分析】根据平移的性质即可判断出小路的面积变化.
【详解】由平移的性质可得笔直小路和弯曲小路的面积相等,
故选:C
【点睛】本题考查了生活中的平移现象,正确理解题意,灵活运用平移的性质是解决问题的关键.
【题型2 图形的平移】
【例2】(2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末)2022年,中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会,如图,通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】根据平移的性质,即可解答.
【详解】解:如图,通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是,
故选:D.
【点睛】本题考查平移的性质,掌握平移不改变图形的大小形状,只改变位置是解决问题的关键.
【变式2-1】(2022春·全国·七年级期末)下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小,结合图案,对选项一一分析,排除错误答案.
【详解】解:A、是一个旋转对称图形,不能由平移得到,故此选项不合题意;
B、是一个对称图形,不能由平移得到,故此选项不合题意;
C、是一个旋转对称图形,不能由平移得到,故此选项不合题意;
D、图案自身的一部分沿着直线运动而得到,是平移,故此选项符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小,注意分清图形的平移与旋转或翻转.
【变式2-2】(2022春·八年级单元测试)观察下列五幅图案,在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是( )
A.②B.③C.④D.⑤
【答案】B
【分析】根据平移的性质,观察图案可得结论.
【详解】解:观察下列五幅图案,在②③④⑤中可以通过①平移得到的是③.
【点睛】本题考查了平移的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.
【变式2-3】(2022春·广东深圳·八年级校考期中)下列图案可以看作某一部分平移后得到的是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据平移只改变位置和不改大小和形状以及位置进行求解即可.
【详解】A、不可以利用平移得出已知图案,故此选项不符合题意;
B、不可以利用平移得出已知图案,故此选项不符合题意;
C、不可以利用平移得出已知图案,故此选项不符合题意;
D、可以利用平移得出已知图案,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了图形的平移,熟知平移只改变位置不改变大小和形状以及方向是解题的关键.
【题型3 利用平移的性质求解】
【例3】(2022春·广东江门·七年级统考期末)如图,长方形ABCD的长AB为8,宽AD为6,将这个长方形向上平移3个单位,再向左平移2个单位,得到长方形EFGH,则阴影部分的面积为( )
A.30B.32C.36D.40
【答案】D
【分析】利用平移的性质求得HM=BN=2,DM=FN=3,根据阴影部分的面积=长方形ABCD的面积-长方形AMGN的面积,求解即可.
【详解】解:如图,
∵将这个长方形向上平移3个单位,再向左平移2个单位,
∴HM=BN=2,DM=FN=3
∵长方形ABCD的长AB为8,宽AD为6,
∴AM=AD−DM=6−3=3,AN=AB−BN=8−2=6,
∴长方形AMGN=AM×AN= 3×6=18,
∴阴影部分的面积为8×6−18=30,
【点睛】本题考查了平移的性质,掌握平移的性质是解题的关键.平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
【变式3-1】(2022春·全国·七年级专题练习)如图,直角三角形ABC的周长为2021,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,则这5个小直角三角形周长的和为_________.
【答案】2021
【分析】根据题意得这5个小直角三角形都有一条边与AC平行,则有小直角三角形中与AC平行的边的和等于AC,与BC平行的边的和等于BC,则小直角三角形的周长和等于直角△ABC的周长,据此即可求解.
【详解】解:因为这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,AC⊥AB,
所以这5个小直角三角形都有一条边与AC平行,
这5个小直角三角形周长的和等于直角△ABC的周长2021,
故答案为:2021
【点睛】本题主要考查了平移的应用,正确理解小直角三角形的周长和等于直角△ABC的周长是解题的关键.
【变式3-2】(2022秋·山东临沂·八年级校考期中)如图,将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置,若∠CAB=55°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为______.
【答案】25°
【分析】根据平移的性质得出∠EBD=55°,进而利用平角的性质得出∠CBE的度数.
【详解】解:∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置, ∠CAB=55°,
∴ ∠EBD=55°,
∵ ∠ABC=100°,
∴ ∠CBE的度数为:180°−∠ABC−∠EBD=180°−100°−55°=25°.
故答案为:25°.
【点睛】此题主要考查了平移的性质,根据平移的性质得出∠EBD的度数是解题关键.
【变式3-3】(2022春·广东韶关·七年级统考期中)如图,把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换,拼成图⑤,则图⑤的面积是( )
A.18B.16C.12D.8
【答案】B
【分析】根据平移的基本性质,平移不改变图形的形状和大小,即图形平移后面积不变,则⑤的面积为4个正方形的面积和,即可得到结论.
【详解】解:一个正方形面积为2×2=4,而把一个正方形从①﹣④变换,面积并没有改变,所以图⑤由4个图④构成,故图⑤面积为4×4=16,故B正确.
【点睛】本题主要考查了图形拼接与平移的变换,解答本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小,即面积没有改变.
【题型4 利用平移解决实际问题】
【例4】(2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中)如图,公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路,则草地面积是________平方米.
【答案】162
【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形,利用公式计算即可.
【详解】解:草地部分的面积为20−2×10−1=162152(平方米),
故答案为:162.
【点睛】此题考查了利用平移的性质解决实际问题,正确理解平移的性质是解题的关键.
【变式4-1】(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)如图,某酒店重新装修后,准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯,其侧面如图所示,则需地毯 __米.
【答案】8
【分析】根据平移的性质,即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长.
【详解】解:由平移的性质可知,
所需要的地毯的长度为2.7+5.3=8(m),
故答案为:8.
【点睛】本题考查了生活中的平移现象,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
【变式4-2】(2022春·全国·七年级专题练习)如图(单位,m),一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路(每条石子路间距均匀),请你求出草坪(阴影部分)的面积.
【答案】48平方米
【分析】根据长方形草坪的面积-石子路的面积=草坪(阴影部分)的面积得出.
【详解】解:6×12-2×6×2=48平方米,
答:草坪(阴影部分)的面积48平方米.
【点睛】本题考查了平移的应用,应熟记长方形的面积公式.另外,整体面积=各部分面积之和;阴影部分面积=原面积-空白的面积.
【变式4-3】(2022春·全国·七年级专题练习)图形操作:(本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度,宽均为5个单位长度)
在图1中,将线段AB向上平移1个单位长度到A'B',得到封闭图形AA'B'B(阴影部分);
在图2中,将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1个单位长度到折线A'B'C',得到封闭图形AA'B'C'CB(阴影部分).
问题解决:
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个“折点”的折线,同样向上平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影部分:
(2)设图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2,则S1= 平方单位;并比较大小:S1 S2(填“>”“=”或“<”);
(3)联想与探索:如图4.在一块长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路的宽度是1个单位长度),长方形的长为a,宽为b,请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位.(用含a,b的式子表示)
【答案】(1)见解析过程;
(2)40,=;
(3)(ab-a)
【分析】(1)画一条有两个“折点”的折线,同样向上平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB;
(2)依据平移变换可知,图1,图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位,宽为4个单位的长方形,进而得出其面积;
(3)依据平移变换可知,图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位,宽为(b-1)个单位的长方形,进而得出其面积.
【详解】(1)如图3所示,封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求;
(2)图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2,
则S1=10×(5-1)=10×4=40平方单位;
S2=10×(5-1)=10×4=40平方单位;
∴S1=S2,
故答案为:40,=;
(3)如图4,长方形的长为a,宽为b,小路的宽度是1个单位长度,
∴空白部分表示的草地的面积是a(b-1)=(ab-a)平方单位.
故答案为:(ab-a).
【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用,解决问题的关键是利用平移的性质,把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积.
【题型5 平移作图】
【例5】(2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末)在如图的直角坐标系中,将△ABC平移后得到△A'B'C',它们的三个顶点坐标如表所示:
(1)观察表中各对应点坐标的变化,填空:a= ______,b= ______;
(2)在图中画出△A'B'C';
(3)求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积.
【答案】(1)−3;3
(2)见解析
(3)12
【分析】(1)利用表格信息,判定平移的规律,可得结论;
(2)根据点的坐标画出图形即可;
(3)利用平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】(1)解:∵B1,0对应点为B'5,b,Aa,0对应点A'1,3,
∴将△ABC向右平移4个单位,向上平移3个单位后得到△A'B'C',
∴a=1−4=−3,b=0+3=3,
故答案为:−3;3.
(2)解:在平面直角坐标系中找出点A'1,3,B'5,3,C'6,5,顺次连接,则△A'B'C'即为所求,如图所示:
(3)解:S=1−−3×3−0=12,
答:线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积为12.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移,解题的关键是根据平移前后对应点的坐标得出平移的方式.
【变式5-1】(2022春·四川泸州·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A−3,2,B−1,−1,C0,3.将三角形ABC平移,使点A与点O重合,得到三角形OB1C1,其中点B,C的对应点分别为点B1,C1.
(1)画出三角形OB1C1;
(2)写出点B1,C1的坐标;
(3)三角形OB1C1的面积为____________.
【答案】(1)画图见解析
(2)B12,−3,C13,1
(3)5.5
【分析】(1)先根据平移的性质画出点B1,C1,再顺次连接点B1,C1,O即可得;
(2)根据点B1,C1在平面直角坐标系中的位置即可得;
(3)利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得.
【详解】(1)解:如图,三角形OB1C1即为所求.
(2)解:由图可知,B12,−3,C13,1.
(3)解:三角形OB1C1的面积为:3×4−12×1×4−12×3×1−12×3×2=5.5,
故答案为:5.5.
【点睛】本题考查了平移作图、点的坐标、坐标与图形,熟练掌握平移作图的方法是解题关键.
【变式5-2】(2022春·江西赣州·七年级校考期末)如图,在正方形网络中,每个小方格的边长为1个单位长度,△ABC的顶点A,B的坐标分别为(0,5),(-2,2).
(1)请在图中建立平面直角坐标系,并写出点C的坐标;
(2)平移△ABC,使点C移动到点F(7,-4),画出平移后的△DEF,其中点D与点A对应,点E与点B对应.
(3)求△ABC的面积.
【答案】(1)平面直角坐标系见解析,点C坐标为(2,3)
(2)答案见解析
(3)5
【分析】(1)根据△ABC的顶点A、B的坐标分别为(0,5)(﹣2,2),即可在图中建立平面直角坐标系,进而写出点C的坐标;
(2)根据平移的性质即可平移△ABC.使点C移动到点F(7,﹣4),进而可以画出平移后的△DEF;
(3)根据网格利用割补法即可求△ABC的面积.
(1)
解:如图的平面直角坐标系即为所求,点C的坐标为(2,3);
(2)
解:如(1)图中,△DEF即为所求;
(3)
解:△ABC的面积=3×4-12×2×3-12×1×4-12×2×2=5.
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换、平面直角坐标系、网格中求三角形的面积,解决本题的关键是掌握平移的性质.
【变式5-3】(2022春·北京怀柔·七年级校考期末)如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点分别是A(0,4),B(-4,1),C(-1,2).
请你解答下列问题:
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC;
(2)将三角形ABC先向下平移5个单位,再向右平移3个单位.画出平移后的三角形A1B1C1.
(3)把(2)三角形A1B1C1各个顶点的横坐标保持不变,纵坐标增加2,得到三角形A2B2C2.直接写出三角形A2B2C2的面积.
【答案】(1)作图见解析;
(2)作图见解析;
(3)作图见解析;2.5
【分析】(1)利用点A、B、C的坐标描点连线即可;
(2)利用点的坐标变换规律得到的坐标A1、B1、C1,然后描点连线即可;
(3)把点A1、B1、C1的横坐标保持不变,纵坐标增加2得到A2、B2、C2的坐标,再描点连线得到△A2B2C2,然后用一个大直角三角形的面积分别减去2个小直角三角形的面积和一个正方形的面积去计算△A2B2C2的面积.
(1)
如图,△ABC为所作;
(2)
如图,△A1B1C1为所作;
(3)
如图,△A2B2C2为所作,
△A2B2C2的面积=12×3×4−12×3×1−12×2×1-1×1=2.5.
【点睛】本题考查了作图−平移变换:作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】
【例6】(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,A−2,0,将点A向下平移1个单位,再向右平移2个单位得到点B,若点C在y轴上,且S△ABC=3,则点C的坐标为______.
【答案】(0,2)或(0,−4)
【分析】根据题意确定点B的坐标,然后设C(0,m),结合图形,利用面积得出方程求解即可.
【详解】解:将点A向下平移1个单位,再向右平移2个单位得到点B,
∴B(0,−1),
设C(0,m),
如图所示,
根据题意得:12×m+1×2=3,
解得:m=2或−4,
∴C(0,2)或(0,−4),
故答案为:(0,2)或(0,−4).
【点睛】题目主要考查坐标与图形,坐标的平移,一元一次方程的应用等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
【变式6-1】(2022秋·山西晋中·八年级统考期末)将直角坐标系中的点(−2,−5)向上平移6个单位,再向右平移3个单位后的点的坐标为( )
A.(4,−2)B.(1,1)C.(−5,6)D.(4,−8)
【答案】B
【分析】根据点的坐标平移方法“左减右加,上加下减”可直接进行求解.
【详解】解:由点(−2,−5)向上平移6个单位,再向右平移3个单位后点的坐标为(−2+3,−5+6),即(1,1);
【点睛】本题主要考查点的坐标平移,熟练掌握点的坐标平移是解题的关键.
【变式6-2】(2022春·广东珠海·七年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,AP∥DF∥x轴,AB∥CD∥GF∥PH∥y轴,点C、B、H、G在x轴上,A(−1,2),C(−3,0),D(−3,−2),F(3,−2),P(1,2),把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A⋯的规律紧绕在图形“凸”的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是_______.
【答案】(−1,0)
【分析】根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20,然后可判断细线另一端所在位置的点在B处,再直接求解即可.
【详解】解:∵AP∥DF∥x轴,AB∥CD∥GF∥PH∥y轴,
点C、B、H、G在x轴上,A(−1,2),C(−3,0),D(−3,−2),F(3,−2),P(1,2),
∴B点坐标为(-1,0),点H坐标为(1,0),G(3,0),
∴AP=BH=2,AB=PH=2,CD=GF=2,BC=HG=2,DF=CG=6,
∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A缠绕一周的总长度为2+2+2+6+2+2+2+2=20,
∵2022÷20=101···2,
∴细线另一端所在位置的点在B点处,
∴细线另一端所在位置的点的坐标为(-1,0).
故答案为:(−1,0).
【点睛】本题主要考查点的坐标、坐标的平移,解决本题的关键是确定缠绕一周的总长度为20.
【变式6-3】(2022春·全国·八年级期末)点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为(5,3),将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度,y轴向左平移3个单位长度,得到平面直角坐标系x'O'y',在新坐标系x'O'y'中,点A的坐标为( )
A.(2,5)B.(8,0)C.(8,5)D.(8,1)
【答案】D
【分析】将问题看作求在原来的坐标系xOy中,将点A5,3先沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向下平移2个单位长度后的点的坐标,再根据点坐标的平移变换规律即可得.
【详解】解:由题意,将所求问题转为求在原来的坐标系xOy中,将点A5,3先沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向下平移2个单位长度后的点的坐标,
则平移后的点的坐标为5+3,3−2,即为8,1,
所以在新坐标系x'O'y'中,点A的坐标为8,1,
故选:D.
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换,熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键.
【题型7 由平移方式确定点的坐标】
【例7】(2022春·山东滨州·七年级校联考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中A−1,1,B−1,−2,C3,−2,D3,1,一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行,问第2021秒瓢虫在( )处.
A.3,1B.−1,−2C.1,−2D.3,−2
【答案】D
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD及四边形ABCD的周长,由2021÷7=288……5,且5×2=10s,可得出当t=2021秒时,瓢虫在AD上,且距离D点3个单位,即可得出结论.
【详解】解:∵A(−1,1)B(−1,−2),C(3,−2),D(3,1),
∴AB=CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD的周长为2AB+AD=14,
∵瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行,
∴瓢虫爬行一个循环所用的时间为142=7s,
∵2021÷7=288……5,且5×2=10s,
∴此时瓢虫在AD上,且距离D点3个单位,
∴此时点瓢虫的坐标为3,1.
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标,根据瓢虫的运动规律找出当t=2021秒时,瓢虫所在的位置是解题的关键.
【变式7-1】(2022秋·八年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(0,−1),C(1,−2),D(−1,0),点D经过平移后得到点D',且将A,B,C,D'四点两两连接后,组成的图形是轴对称图形.对于小明,小亮,小红的说法,下列判断正确的是( )
小明:将点D向下平移2个单位长度;
小亮:将点D先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度;
小红:将点D先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度.
A.小明对,小亮对B.小亮对,小红错
C.小明对,小红对D.三个人都对
【答案】A
【分析】根据三种平移得出图形,进而判断即可.
【详解】解:由题意可得:
∴小明、小红说法组成的图形是轴对称图形,
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义,图形与坐标--平移,能熟记轴对称图形的定义是解此题的关键.
【变式7-2】(2022秋·浙江·八年级专题练习)已知:如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点,若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为S1______S2(填“<”、“>”、“=”).
【答案】=
【分析】原来点的横坐标是0,纵坐标是-3,向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的横坐标是0+2=2,纵坐标为-3+4=1.那么原三角形的面积是:12×4×4=8.新三角形的面积为:12×4×4=8.则两个三角形面积相等.
【详解】解:S1=12×4×4=8,将B点平移后得到的B1点的坐标为(2,1).
所以此时S2=12×4×4=8.
∴两三角形的面积相等,即S1=S2.
故答案为:=.
【点睛】本题考查了平移的性质,解题的关键在于由平移知识得到对应点之间的线段即平移距离.
【变式7-3】(2022秋·山东济南·八年级统考期中)规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位,一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称,由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:点O(0,1)按序列“01”作2次变换,表示点O先向右平移一个单位得到O11,1,再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1.若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022,则点A2022的坐标为__________.
【答案】(1011,1)
【分析】根据平移以及轴对称的性质解决问题即可.
【详解】解:点A0,−1按序列“01”作变换,表示点A先向右平移一个单位得到A1(1,−1),再将A1(1,−1)关于x轴对称得到A2(1,1),再将A2(1,1)作2次变换,可得A3(2,1),A4(2,−1),A5(3,−1),A6(3,1),
综上可得,点A2n的横坐标为n,纵坐标以−1,1,1,−1四次一个循环,
∴A2022的横坐标为20222=1011,纵坐标为2022÷4=,为1,
∴点A2022的坐标为(1011,1),
故答案为:(1011,1).
【点睛】本题考查了坐标的变化规律,平移以及轴对称变化,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
【题型8 根据平移前后的坐标确定平移方式】
【例8】(2022春·江西吉安·八年级统考期末)点P−2,−3向左平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度所得对应点Q−3,0,则m+n的值为______.
【答案】4
【分析】根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加列方程求出m、n的值,再相加计算即可得解.
【详解】解:∵点P−2,−3向左平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度所得对应点Q−3,0,
∴−2−m=−3,−3+n=0,
解得m=1,n=3,
所以,m+n=1+3=4.
故答案为:4.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
【变式8-1】(2022春·甘肃兰州·八年级校考期中)在平面直角坐标系中,将三角形各顶点的纵坐标都加上3,横坐标减去2,所得图形的位置与原图形相比( )
A.向左平移3个单位,向上平移2个单位
B.向上平移3个单位,向左平移2个单位
C.向下平移3个单位,向右平移2个单位
D.向上平移3个单位,向右平移2个单位
【答案】B
【分析】根据平移的法则即可得出所得图形的位置.
【详解】解:在平面直角坐标系中,将三角形各顶点的纵坐标都加上3,横坐标减去2,所得图形的位置与原图形相比,向上平移3个单位,向左平移2个单位,
【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的平移,根据平移的法则解答是解题的关键.
【变式8-2】(2022秋·河北保定·八年级校考期末)点Em,n在平面直角坐标系中的位置如图所示,则坐标m+1,n−1对应的点可能是( )
A.A点B.B点C.C点D.D点
【答案】A
【分析】由Em,n移动到m+1,n−1,点向右移动1个单位,同时向下移动1个单位,依此观察图形即可求解.
【详解】解:∵由Em,n移动到m+1,n−1,
∴点向右移动1个单位,同时向下移动1个单位,
观察图形可得坐标m+1,n−1对应的点可能是C
【点睛】本题考查了点的坐标,解题的关键是得到点的坐标移动的规律.
【变式8-3】(2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习)已知A−1,−2和B1,3,将点A向_______平移_______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
【答案】 上 5
【分析】根据关于y轴对称的点的特征:纵坐标相同,横坐标互为相反数,得出点B关于y轴对称的点,再根据点平移的特征:把一个点左右平移,则横坐标是左减右加,把一个点上下平移,则纵坐标是上加下减,即可得出结果.
【详解】解:根据关于坐标轴对称的点特征,可知:点B关于y轴对称的点为−1,3,
又∵点A−1,−2,
∵−2+5=3,
∴将点A向上平移5个单位长度后得到的点−1,3.
故答案为:上;5
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征,解本题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点特征:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.点平移的特征:把一个点左右平移,则横坐标是左减右加,把一个点上下平移,则纵坐标是上加下减.
【题型9 根据图形的平移求点的坐标】
【例9】(2022春·重庆璧山·七年级校联考期中)在平面直角坐标系中,线段CF是由线段AB平移得到的;坐标分别为点A-1,4,点B(a,b),点C4,1,则点F的坐标为( )
A.a+3,b+5B.a+5,b+3或a-3,b-5
C.a-5,b+3D.a+5,b-3或3-a,5-b
【答案】D
【分析】分两种情况,利用平移的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案.
【详解】解∶当点A-1,4的对应点为点C4,1时,点B(a,b)的对应点为点Fa+5,b-3;
当点B(a,b)的对应点为点C4,1时,点A-1,4的对应点为F3-a,5-b;
综上所述,点F的坐标为a+5,b-3或3-a,5-b.
故选:D
【点睛】此题主要考查了平移变换,熟练掌握坐标变化规律是解题关键.
【变式9-1】(2022秋·浙江·八年级专题练习)在平面直角坐标系中,将线段AB平移得到的线段记为线段A'B'.
(1)如果点A,B,A'的坐标分别为A−2,1,B1,−3,A'2,3,直接写出点B'的坐标___________;
(2)已知点A,B,A',B'的坐标分别为Am,n,B2n,m,A'3m,n,B'6n,m,m和n之间满足怎样的数量关系?说明理由;
(3)已知点A,B,A',B'的坐标分别为Am,n+1,Bn−1,n−2,A'2n−5,2m+3,B'2m+3,n+3,求点A,B的坐标.
【答案】(1)5,−1
(2)m=2n,见解析
(3)A6,10,B8,7
【分析】(1)根据点A到A'确定出平移规律,再根据平移规律列式计算即可得到点B'的坐标;
(2)根据题意列方程,解方程即可得到结论;
(3)根据题意列方程组,解方程组,即可得到结论.
【详解】(1)解:∵A−2,1平移后得到点A'的坐标为2,3,
∴向上平移了2个单位,向右平移了4个单位,
∴B1,−3的对应点B'的坐标为1+4,−3+2,
即5,−1.
故答案为:5,−1;
(2)解:m=2n,
理由:∵将线段AB平移得到的线段记为线段A'B',Am,n,B2n,m,A'3m,n,B'6n,m,
∴3m−m=6n−2n,
∴m=2n;
(3)解:∵将线段AB平移得到的线段记为线段A'B',点A,B,A',B'的坐标分别为Am,n+1,Bn−1,n−2,A'2n−5,2m+3,B'2m+3,n+3,
∴2n−5−m=2m+3−n−1,2m+3−n+1=n+3−n−2,
解得m=6,n=9,
∴点A的坐标为6,10,点B的坐标为8,7.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,解二元一次方程组,熟练掌握点的平移规律是解题的关键.
【变式9-2】(2022春·江苏南通·七年级统考期中)三角形ABC在经过某次平移后,顶点A(﹣1,m+2)的对应点为A(2,m﹣3),若此三角形内任意一点P(a,b)经过此次平移后对应点P1(c,d).则a+b﹣c﹣d的值为( )
A.8+mB.﹣8+mC.2D.﹣2
【答案】A
【分析】由A(-1,m+2)在经过此次平移后对应点A1(2,m-3),可得△ABC的平移规律为:向右平移3个单位,向下平移5个单位,由此得到结论.
【详解】解:∵A(-1,m+2)在经过此次平移后对应点A1(2,m-3),
∴△ABC的平移规律为:向右平移3个单位,向下平移5个单位,
∵点P(a,b)经过平移后对应点P1(c,d),
∴a+3=c,b-5=d,
∴a-c=-3,b-d=5,
∴a+b-c-d=-3+5=2,
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移,牢记平面直角坐标系内点的平移规律:上加下减、右加左减是解题的关键.
【变式9-3】(2022春·广东东莞·七年级统考期中)如图,△ABC内部,任意一点P(a,b)经平移后对应点P1为(a−2,b+3),将△ABC做同样的平移得到△A1B1C1.
(1)在图中画出△A1B1C1,并写出点A1、B1、C1的坐标.
(2)求△ABC的面积.
【答案】(1)见解析,A1(−1,4),B1(−3,2),C1(2,1)
(2)6
【分析】(1)由题意可知,△ABC是向上平移3个单位长度,向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1,由此作图即可,由图可得点A1、B1、C1的坐标.
(2)利用割补法求三角形的面积即可.
【详解】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
点A1(−1,4),B1(−3,2),C1(2,1).
(2)△ABC的面积为5×3−12×5×1−12×3×3−12×2×2=6.
【点睛】本题考查作图-平移变换、三角形的面积,熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.
【题型10 根据平移后的坐标求原坐标】
【例10】(2022春·河南漯河·七年级漯河市实验中学校考期末)在平面直角坐标系中,将第四象限的点M(a,a−3)向上平移2个单位落在第一象限,则a的值可以是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】先根据第四象限内的坐标特点列出不等式组求解,再根据坐标平移的规律得出M’的坐标,根据第一象限内的坐标特点建立不等式求解,最后综合求出a的范围,即可作答.
【详解】解:∵点M是第四象限内的点,
∴a>0a−3<0 ,
解得0∵M点向上平移2个单位,得到M'(a,a−1),
∴a>0a−1>0 ,
解得a>1,
∴1∴a的值可以是2.
【点睛】本题考查了坐标的平移规律,坐标和象限的关系,解一元一次不等式组等知识点,解题的关键是要坐标掌握平移的规律,即横坐标左减右加;纵坐标上加下减.
【变式10-1】(2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末)在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度后与点B(﹣1,2)重合,则点A的坐标是( )
A.(4,5)B.(﹣6,﹣1)C.(﹣4,5)D.(﹣4,﹣1)
【答案】D
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得.
【详解】解:由题意得:x−5=−1,y−3=2,
解得x=4,y=5,
即A(4,5),
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换,熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键.
【变式10-2】(2022春·吉林·七年级统考期末)把点 P(m+1,2m)向右平移1个单位长度后,正好落在y轴上,则P点坐标____________.
【答案】(-1,-4)
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0和平移性质,构建方程求解即可.
【详解】解:点P(m+1,2m)向右平移1个单位长度后,得到(m+2,2m),
由题意得,m+2=0,
∴m=−2.
∴P(-1,4),
故答案为:(-1,-4).
【点睛】本题主要考查图形变化−平移,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题.
【变式10-3】(2022秋·安徽宣城·八年级统考期末)佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍,又向右平移2个单位长度,若想变回原来的图案,需要变化后的图案上各点坐标( )
A.纵坐标不变,横坐标减2
B.纵坐标不变,横坐标先除以2,再均减2
C.纵坐标不变,横坐标除以2
D.纵坐标不变,横坐标先减2,再均除以2
【答案】D
△ABC
Aa,0
B1,0
C2,2
△A'B'C'
A'1,3
B'5,b
C'c,d
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