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初中数学北师大版（2024）八年级下册第三章 图形的平移与旋转2 图形的旋转课时作业
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册第三章 图形的平移与旋转2 图形的旋转课时作业，共49页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16613" 【题型1 生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc16613 \h 2
\l "_Tc3537" 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 PAGEREF _Tc3537 \h 2
\l "_Tc9637" 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc9637 \h 4
\l "_Tc1615" 【题型4 利用旋转的性质求角度】 PAGEREF _Tc1615 \h 5
\l "_Tc16395" 【题型5 利用旋转的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc16395 \h 6
\l "_Tc17177" 【题型6 旋转中的坐标与图形变换】 PAGEREF _Tc17177 \h 7
\l "_Tc7898" 【题型7 作图-旋转变换】 PAGEREF _Tc7898 \h 8
\l "_Tc15302" 【题型8 旋转对称图形】 PAGEREF _Tc15302 \h 10
\l "_Tc30631" 【题型9 旋转中的周期性问题】 PAGEREF _Tc30631 \h 12
\l "_Tc25227" 【题型10 旋转中的多结论问题】 PAGEREF _Tc25227 \h 13
\l "_Tc761" 【题型11 旋转中的最值问题】 PAGEREF _Tc761 \h 14
【知识点1 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型1 生活中的旋转现象】
【例1】（2022秋·天津红桥·八年级校考期末）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．相似
【变式1-2】（2022春·广东广州·七年级统考期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A．46°B．44°C．36°D．54°
【变式1-3】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟B．20分钟C．15分钟D．452分钟
【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】
【例2】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·海南省直辖县级单位·统考一模）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022秋·河北·七年级统考期末）下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】
【例3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）如图所示图案，绕它的中心至少旋转__________后可以和自身重合．
【变式3-1】（2022春·四川乐山·七年级统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【变式3-2】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP'重合．
(1)旋转中心是______，旋转角是______度．
(2)连接PP'，△BPP'是什么三角形？并说明你的理由．
【变式3-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，则下列说法：①点B的对应点是点D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋转中心是点O；⑥旋转角为40°.其中正确的是（ ）
A．①③④⑤B．①②③⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥
【题型4 利用旋转的性质求角度】
【例4】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
【变式4-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【变式4-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【变式4-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
【题型5 利用旋转的性质求线段长度】
【例5】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
【变式5-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（ ）
A．23B．5C．25D．6
【变式5-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
【变式5-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
【题型6 旋转中的坐标与图形变换】
【例6】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【变式6-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
【变式6-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
【变式6-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，−3）C．（2，0）D．（3，0）
【题型7 作图-旋转变换】
【例7】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
【变式7-1】（2022•南京模拟）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（即三角形ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图（提醒：别忘了标注字母！）
（1）将三角形ABC向下平移4个单位得到三角形A1B1C1；
（2）作出三角形ABC关于直线l对称的三角形A2B2C2；
（3）将三角形A2B2C2绕点A2逆时针旋转90°得到三角形A2B3C3．
【变式7-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【变式7-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【题型8 旋转对称图形】
【例8】（2022春•沈丘县期末）如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作14圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
【变式8-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．
【变式8-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 °能与原雪花图案重合．
【变式8-3】（2022•南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（ ）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形： ；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形： ．
【题型9 旋转中的周期性问题】
【例9】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（ ）
A．（﹣21010，3•21010）B．（0，21011）
C．（21010，3•21010）D．（3•21010，21010）
【变式9-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．(−1，3)B．(−3，1)C．(−33，1)D．(−1，33)
【变式9-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（ ）
A．(0，−2)B．(−2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【变式9-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
【题型10 旋转中的多结论问题】
【例10】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式10-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【变式10-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式10-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
【题型11 旋转中的最值问题】
【例11】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
专题3.2 图形的旋转【十一大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30870" 【题型1 生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc30870 \h 2
\l "_Tc10685" 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 PAGEREF _Tc10685 \h 3
\l "_Tc12975" 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc12975 \h 6
\l "_Tc32596" 【题型4 利用旋转的性质求角度】 PAGEREF _Tc32596 \h 9
\l "_Tc27881" 【题型5 利用旋转的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc27881 \h 12
\l "_Tc19409" 【题型6 旋转中的坐标与图形变换】 PAGEREF _Tc19409 \h 16
\l "_Tc4498" 【题型7 作图-旋转变换】 PAGEREF _Tc4498 \h 19
\l "_Tc19604" 【题型8 旋转对称图形】 PAGEREF _Tc19604 \h 23
\l "_Tc7089" 【题型9 旋转中的周期性问题】 PAGEREF _Tc7089 \h 26
\l "_Tc32545" 【题型10 旋转中的多结论问题】 PAGEREF _Tc32545 \h 30
\l "_Tc12008" 【题型11 旋转中的最值问题】 PAGEREF _Tc12008 \h 35
【知识点1 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型1 生活中的旋转现象】
【例1】（2022秋·天津红桥·八年级校考期末）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动．
【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个．
【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．相似
【答案】B
【分析】根据旋转的定义解答即可．
【详解】钟摆的摆动，这种图形的改变是旋转．
【点睛】本题考查旋转的定义．掌握将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转是解题关键．
【变式1-2】（2022春·广东广州·七年级统考期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A．46°B．44°C．36°D．54°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．
【详解】解：由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．
【变式1-3】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟B．20分钟C．15分钟D．452分钟
【答案】A
【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
【详解】解：36−21+336×30=15（分钟）．
所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点．
故选C．
【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．
【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】
【例2】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
【变式2-1】（2022·海南省直辖县级单位·统考一模）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可.
【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键．
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形，
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋·河北·七年级统考期末）下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根据图形的旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，逐一判定即可.
【详解】图①在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图②在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图③在同一平面内经过旋转不可以得到例图，不符合题意；
图④在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
故选：C.
【点睛】此题主要考查对图形旋转的理解，熟练掌握，即可解题.
【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】
【例3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）如图所示图案，绕它的中心至少旋转__________后可以和自身重合．
【答案】120°##120度
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了旋转角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-1】（2022春·四川乐山·七年级统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【答案】(1)点A
(2)90°
(3)等腰直角三角形
【分析】（1）可以根据图形判断点A为旋转中心；
（2）根据对应边AB、AD的夹角∠BAD等于旋转角可以求解；
（3）根据旋转的性质可得：AE=AF，∠EAF=90°，根据等腰直角三角形的定义判定即可判断．
（1）
解：由题意可判断旋转中心为点A；
（2）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴旋转角为∠BAD=90°；
（3）
解：由旋转的性质得：AE=AF，∠EAF=90°，
故ΔAEF是等腰直角三角形 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟记性质并准确识图．
【变式3-2】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP'重合．
(1)旋转中心是______，旋转角是______度．
(2)连接PP'，△BPP'是什么三角形？并说明你的理由．
【答案】(1)B，60°
(2)△BPP'是等边三角形
【分析】（1）因为△ABC为等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．
△ABP旋转后能与△CBP'重合，显然是AB与BC重合，可判断是绕点B顺时针旋转60°得到的；
（2）根据旋转角和对应边可判断△BPP'是等边三角形．
【详解】（1）根据题意，AB与BC重合，所以旋转中心是点B，旋转角等于∠ABC=60°．
故答案为：B，60°；
（2）△BPP'等边三角形．
∵旋转角为60°，即∠PBP'=60°，BP=BP'，
∴△BPP'等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，旋转的相关概念及旋转的性质，结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，则下列说法：①点B的对应点是点D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋转中心是点O；⑥旋转角为40°.其中正确的是（ ）
A．①③④⑤B．①②③⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥
【答案】D
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，
∴点B的对应点是点D，故①正确，
OD=OB=3，故②错误，
OC=OA=4，故③正确，
∠C=∠A=40°，故④正确，
旋转中心是点O，故⑤正确，
旋转角不一定为40°，故⑥错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【题型4 利用旋转的性质求角度】
【例4】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 140° ．
【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α．
【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
【变式4-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
【变式4-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度数．
【解答】解：∵将△ADC绕点A逆时针旋转40°得到△AD′B，
∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'
∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC+∠BAD'＝80°，
∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；
【变式4-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，则AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等边三角形，PD＝AP，所以△DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，这样可分别求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．
【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，
显然有△ADC≌△APB，连PD，
∵AD＝AP，∠DAP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD＝AP，
∵DC＝PB，
∴△DCP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，
∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，
∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，
∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，
∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，
∴以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4．
【题型5 利用旋转的性质求线段长度】
【例5】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
【分析】连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC=2AB=2，
∴CF=2，
【变式5-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（ ）
A．23B．5C．25D．6
【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5，
由旋转的性质可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，
∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，
∴BB'=B'C2+BC'2=42+22=25，
【变式5-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB=AO2+BO2=42+82=45，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，
∵点E为BO的中点，
∴OE=12BO=12×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，如图，
S△A′OB′=12×45•OF=12×4×8，
解得：OF=855，
在Rt△EOF中，EF=OE2−OF2=42−(855)2=455，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×455=855，
∴B′E＝A′B′﹣A′E=45−855=1255．
【变式5-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
【分析】分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，从而BE＝2BM＝23；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，BE=BN2+NE2=27．
【解答】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，
∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，
∴AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=12AB＝1，BM=3AM=3，
∴BE＝2BM＝23；
②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：
在Rt△BCN中，
CN=12BC＝1，BN=3CN=3，
∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，
在Rt△BNE中，
BE=BN2+NE2=(3)2+52=27；
综上所述，线段BE的长为23或27，
故选：D．
【题型6 旋转中的坐标与图形变换】
【例6】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【分析】运用中点坐标公式求答案．
【解答】解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴a+m2=5−32，b+n2=1−12，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
【变式6-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
【分析】如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH=42−22=23，
∴A（2，23），
∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣23，2），
【变式6-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
【分析】如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．
∵M（1，﹣2），
∴MH＝1，OH＝2，
∵∠MOM1＝∠POT，
∴∠MOH＝∠M1OT，
∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，
∴△MHO≌△M1TO（AAS），
∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，
∴M1（2，1），
【变式6-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，−3）C．（2，0）D．（3，0）
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，
∴AB=33OB=33×3=1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OA′B'，
∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∴点A′的坐标为（3，﹣1）．
【题型7 作图-旋转变换】
【例7】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【变式7-1】（2022•南京模拟）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（即三角形ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图（提醒：别忘了标注字母！）
（1）将三角形ABC向下平移4个单位得到三角形A1B1C1；
（2）作出三角形ABC关于直线l对称的三角形A2B2C2；
（3）将三角形A2B2C2绕点A2逆时针旋转90°得到三角形A2B3C3．
【分析】（1）按平移作图的方法进行画图，即可作出图；
（2）按轴对称图形的画法画图，即可作出图；
（3）按旋转作图的画法画图，即可作出图．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A2B3C3即为所求．
【变式7-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【变式7-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【分析】（1）根据题意所述的旋转中心、旋转方向、旋转角度找到各点的对应点，顺次连接即可得出△A1B1C1，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
（2）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A2B2C2，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
【解答】解：（1）所画图形如下：
结合图形可得A1坐标为（3，﹣1）；B1坐标为（1，0）；C1坐标为（2，﹣2）；
（2）所画图形如下所示：
结合图形可得A2坐标为（﹣2，﹣2）；B2坐标为（﹣1，0）；C2坐标为（﹣3，﹣1）．
【题型8 旋转对称图形】
【例8】（2022春•沈丘县期末）如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作14圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 是 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 O ，最小旋转角是 90 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
【分析】（1）旋转对称图形的定义，结合图形即可作出判断；
（2）图形OBC的周长为BC+12圆的周长，面积=14S正方形ABCD．
【解答】解：（1）这个图形是旋转对称图形，旋转中心是点O，最小旋转角为90°．
（2）图形OBC的周长＝BC+12圆的周长＝2+π；
面积=14S正方形ABCD=14×4＝1cm2．
【变式8-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 4 个旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为4；
【变式8-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 60 °能与原雪花图案重合．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【解答】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【变式8-3】（2022•南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（ 假 ）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ 真 ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ①，③ （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形： 如正五边形、正十五边形 ；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形： 如正十边形、正二十边形 ．
【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【解答】解：（1）等腰梯形必须旋转360°才能与自身重合；矩形旋转180°可以与自身重合．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真）
（2）①只要旋转120°的倍数即可；
②只要旋转90°的倍数即可；
③只要旋转60°的倍数即可；
④只要旋转45°的倍数即可．
故是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①、③．
（3）360°÷72°＝5．
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正五边形，正十五边形；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：如正十边形，正二十边形．
【题型9 旋转中的周期性问题】
【例9】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（ ）
A．（﹣21010，3•21010）B．（0，21011）
C．（21010，3•21010）D．（3•21010，21010）
【分析】根据每次旋转后线段的长度是原来的2倍求出OP2023，根据旋转角为30°求出每12次旋转，24个点为一个循环组依次循环，然后用2023除以24，再根据商和余数的情况确定出点P2023在第二象限与y轴正半轴夹角为30°，然后解答即可．
【解答】解：∵点P0的坐标为（1，0），
∴OP0＝1，
∴OP2＝2OP1＝2，OP3＝OP2＝2，OP4＝2OP3＝2×2＝22，
…，
OP2022＝21011，
∵2022÷24＝84余6，
∴点P2023是第85循环组的第7个点，在第二象限，与y轴正半轴夹角为30°，
∴点P2023的坐标为（−210112，210112⋅3），即（﹣21010，3⋅21010）．
【变式9-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．(−1，3)B．(−3，1)C．(−33，1)D．(−1，33)
【分析】6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB=3，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，3），
第二次旋转后的坐标为（﹣2，0），
第三次旋转后的坐标为（﹣1，−3），
第四次旋转后的坐标为（1，−3），
第五次旋转后的坐标为（2，0），
第六次旋转后的坐标为（1，3），
•••，
6次一个循环，
∵2023÷6＝337•••1，
∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（﹣1，3），
【变式9-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（ ）
A．(0，−2)B．(−2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O顺时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【解答】解：∵点C的坐标为（0，1），
∴OC＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB=12+12=2，
由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3=⋯=2，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O顺时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（2，0），B2（1，﹣1），B3（0，−2），B4（﹣1，﹣1），B5（−2，0），B6（﹣1，1），…，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标为（﹣1，1），
【变式9-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点C的坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝42，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C（﹣4，6），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505•••2，
则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）．
【题型10 旋转中的多结论问题】
【例10】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
【变式10-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【分析】①根据旋转的性质得△DEF为等腰直角三角形，进而得到EF与DE的数量关系，便可判定①的正误；
②证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，进而得EF2＝AE2+CE2，便可判断②的正误；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以当PF⊥CF时，PF取最小值，求出此时的PF便可判断③的正误；
④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根据（（AE﹣CE）2≥0求得AE•CE≤32，求得AE•CE的最大值为32，进而求得△CFE的面积最大值，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF=2DE，
故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正确；
③∵CP＝3PD．
∴PC=34CD＝6，
当PF⊥CF时，PF取最小值，如图，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF=22CP＝32，
故③错误；
④∵∠ECF＝90°，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12CE⋅AE，
∵AE+CE＝AC=2AD=82，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE•CE＝128﹣4AE•CE≥0，
∴AE•CE≤32，
∴AE•CE的最大值为32，
∴△CFE的面积最大是12×32＝16，
故④正确；
【变式10-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【解答】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM＝90°．
∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，
∴∠AFM＝∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，
∴∠A＝∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∠AFM=∠CFNAF=CF∠A=∠FCN，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF＝NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为22，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△AMF
∴S四边形CDFE＝S△AFC．
故④正确；
【变式10-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
【分析】①由四边形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可得Rt△OEF为等腰直角三角形；
②由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC=14S正方形ABCD，则可得出结论；
③BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，而EF的最小值为12AC＝OA，故可得结论③正确；
④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴∠OEF＝45°，EF=2OE；故①正确；
②由①得△BOE≌△COF
∴S四边形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC=14S正方形ABCD，
故②错误；
③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，EF=2OE，
△BEF周长＝BE+BF+EF=2OA+2OE，
∵OA为定值，则OE最小时△BEF周长的周长最小，
∴当OE⊥AB时OE最小，△BEF周长的周长最小，
此时OE=22OA，
∴△BEF周长的周长最小值=2OA+2OE=2OA+2×22OA＝（1+2）OA．
故③正确，
④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．
∴AE2+CF2≠2OB2，故④错误．
【题型11 旋转中的最值问题】
【例11】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ 30° ，FB+FD的最小值为 53 ．
【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE=12∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
BA=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG=BC2−CG2=102−52=53，
∴BF+DF的最小值为53，
故答案为：30°，53．
【变式11-1】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S△ACE＝（ ）
A．6B．62C．9D．92
【分析】作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延长线于H，可知点D在以A为圆心，AD为半径的圆上运动，当AD⊥BD时，∠ABD最大，利用AAS证明△ADG≌△AHC，得CH＝DG，可说明△ACE的面积＝△ABD的面积，从而得出答案．
【解答】解：作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延长线于H，
∵AD＝3，
∴点D在以A为圆心，AD为半径的圆上运动，
∴当AD⊥BD时，∠ABD最大，
由勾股定理得BD＝4，
∵∠DAH＝∠CAB＝90°，
∴∠CAH＝∠DAB，
∵∠AGD＝∠H，AC＝CD，
∴△ADG≌△AHC（AAS），
∴CH＝DG，
∴△ACE的面积=12×AE×CH=12×AB×DG＝△ABD的面积=12×AD×BD=12×3×4=6，
【变式11-2】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为3+1，则AB的值为（ ）
A．2B．43C．23D．4
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
BE=EN∠BED=∠NEFDE=EF，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点N在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'=12AN，
∴3+1=12（AE+3AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：D．
【变式11-3】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．22C．3D．10
【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16613" 【题型1 生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc16613 \h 2
\l "_Tc3537" 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 PAGEREF _Tc3537 \h 2
\l "_Tc9637" 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc9637 \h 4
\l "_Tc1615" 【题型4 利用旋转的性质求角度】 PAGEREF _Tc1615 \h 5
\l "_Tc16395" 【题型5 利用旋转的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc16395 \h 6
\l "_Tc17177" 【题型6 旋转中的坐标与图形变换】 PAGEREF _Tc17177 \h 7
\l "_Tc7898" 【题型7 作图-旋转变换】 PAGEREF _Tc7898 \h 8
\l "_Tc15302" 【题型8 旋转对称图形】 PAGEREF _Tc15302 \h 10
\l "_Tc30631" 【题型9 旋转中的周期性问题】 PAGEREF _Tc30631 \h 12
\l "_Tc25227" 【题型10 旋转中的多结论问题】 PAGEREF _Tc25227 \h 13
\l "_Tc761" 【题型11 旋转中的最值问题】 PAGEREF _Tc761 \h 14
【知识点1 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型1 生活中的旋转现象】
【例1】（2022秋·天津红桥·八年级校考期末）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．相似
【变式1-2】（2022春·广东广州·七年级统考期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A．46°B．44°C．36°D．54°
【变式1-3】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟B．20分钟C．15分钟D．452分钟
【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】
【例2】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·海南省直辖县级单位·统考一模）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022秋·河北·七年级统考期末）下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】
【例3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）如图所示图案，绕它的中心至少旋转__________后可以和自身重合．
【变式3-1】（2022春·四川乐山·七年级统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【变式3-2】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP'重合．
(1)旋转中心是______，旋转角是______度．
(2)连接PP'，△BPP'是什么三角形？并说明你的理由．
【变式3-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，则下列说法：①点B的对应点是点D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋转中心是点O；⑥旋转角为40°.其中正确的是（ ）
A．①③④⑤B．①②③⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥
【题型4 利用旋转的性质求角度】
【例4】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
【变式4-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【变式4-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【变式4-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
【题型5 利用旋转的性质求线段长度】
【例5】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
【变式5-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（ ）
A．23B．5C．25D．6
【变式5-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
【变式5-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
【题型6 旋转中的坐标与图形变换】
【例6】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【变式6-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
【变式6-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
【变式6-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，−3）C．（2，0）D．（3，0）
【题型7 作图-旋转变换】
【例7】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
【变式7-1】（2022•南京模拟）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（即三角形ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图（提醒：别忘了标注字母！）
（1）将三角形ABC向下平移4个单位得到三角形A1B1C1；
（2）作出三角形ABC关于直线l对称的三角形A2B2C2；
（3）将三角形A2B2C2绕点A2逆时针旋转90°得到三角形A2B3C3．
【变式7-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【变式7-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【题型8 旋转对称图形】
【例8】（2022春•沈丘县期末）如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作14圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
【变式8-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．
【变式8-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 °能与原雪花图案重合．
【变式8-3】（2022•南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（ ）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形： ；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形： ．
【题型9 旋转中的周期性问题】
【例9】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（ ）
A．（﹣21010，3•21010）B．（0，21011）
C．（21010，3•21010）D．（3•21010，21010）
【变式9-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．(−1，3)B．(−3，1)C．(−33，1)D．(−1，33)
【变式9-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（ ）
A．(0，−2)B．(−2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【变式9-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
【题型10 旋转中的多结论问题】
【例10】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式10-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【变式10-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式10-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
【题型11 旋转中的最值问题】
【例11】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
专题3.2 图形的旋转【十一大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30870" 【题型1 生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc30870 \h 2
\l "_Tc10685" 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 PAGEREF _Tc10685 \h 3
\l "_Tc12975" 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc12975 \h 6
\l "_Tc32596" 【题型4 利用旋转的性质求角度】 PAGEREF _Tc32596 \h 9
\l "_Tc27881" 【题型5 利用旋转的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc27881 \h 12
\l "_Tc19409" 【题型6 旋转中的坐标与图形变换】 PAGEREF _Tc19409 \h 16
\l "_Tc4498" 【题型7 作图-旋转变换】 PAGEREF _Tc4498 \h 19
\l "_Tc19604" 【题型8 旋转对称图形】 PAGEREF _Tc19604 \h 23
\l "_Tc7089" 【题型9 旋转中的周期性问题】 PAGEREF _Tc7089 \h 26
\l "_Tc32545" 【题型10 旋转中的多结论问题】 PAGEREF _Tc32545 \h 30
\l "_Tc12008" 【题型11 旋转中的最值问题】 PAGEREF _Tc12008 \h 35
【知识点1 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型1 生活中的旋转现象】
【例1】（2022秋·天津红桥·八年级校考期末）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动．
【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个．
【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．相似
【答案】B
【分析】根据旋转的定义解答即可．
【详解】钟摆的摆动，这种图形的改变是旋转．
【点睛】本题考查旋转的定义．掌握将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转是解题关键．
【变式1-2】（2022春·广东广州·七年级统考期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A．46°B．44°C．36°D．54°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．
【详解】解：由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．
【变式1-3】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟B．20分钟C．15分钟D．452分钟
【答案】A
【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
【详解】解：36−21+336×30=15（分钟）．
所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点．
故选C．
【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．
【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】
【例2】（2022秋·天津红桥·七年级校考期末）如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
【变式2-1】（2022·海南省直辖县级单位·统考一模）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可.
【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键．
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形，
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋·河北·七年级统考期末）下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根据图形的旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，逐一判定即可.
【详解】图①在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图②在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图③在同一平面内经过旋转不可以得到例图，不符合题意；
图④在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
故选：C.
【点睛】此题主要考查对图形旋转的理解，熟练掌握，即可解题.
【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】
【例3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）如图所示图案，绕它的中心至少旋转__________后可以和自身重合．
【答案】120°##120度
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了旋转角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-1】（2022春·四川乐山·七年级统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【答案】(1)点A
(2)90°
(3)等腰直角三角形
【分析】（1）可以根据图形判断点A为旋转中心；
（2）根据对应边AB、AD的夹角∠BAD等于旋转角可以求解；
（3）根据旋转的性质可得：AE=AF，∠EAF=90°，根据等腰直角三角形的定义判定即可判断．
（1）
解：由题意可判断旋转中心为点A；
（2）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴旋转角为∠BAD=90°；
（3）
解：由旋转的性质得：AE=AF，∠EAF=90°，
故ΔAEF是等腰直角三角形 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟记性质并准确识图．
【变式3-2】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP'重合．
(1)旋转中心是______，旋转角是______度．
(2)连接PP'，△BPP'是什么三角形？并说明你的理由．
【答案】(1)B，60°
(2)△BPP'是等边三角形
【分析】（1）因为△ABC为等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．
△ABP旋转后能与△CBP'重合，显然是AB与BC重合，可判断是绕点B顺时针旋转60°得到的；
（2）根据旋转角和对应边可判断△BPP'是等边三角形．
【详解】（1）根据题意，AB与BC重合，所以旋转中心是点B，旋转角等于∠ABC=60°．
故答案为：B，60°；
（2）△BPP'等边三角形．
∵旋转角为60°，即∠PBP'=60°，BP=BP'，
∴△BPP'等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，旋转的相关概念及旋转的性质，结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，则下列说法：①点B的对应点是点D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋转中心是点O；⑥旋转角为40°.其中正确的是（ ）
A．①③④⑤B．①②③⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥
【答案】D
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将ΔABO绕点O旋转得到ΔCDO，AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，
∴点B的对应点是点D，故①正确，
OD=OB=3，故②错误，
OC=OA=4，故③正确，
∠C=∠A=40°，故④正确，
旋转中心是点O，故⑤正确，
旋转角不一定为40°，故⑥错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【题型4 利用旋转的性质求角度】
【例4】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 140° ．
【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α．
【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
【变式4-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
【变式4-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度数．
【解答】解：∵将△ADC绕点A逆时针旋转40°得到△AD′B，
∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'
∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC+∠BAD'＝80°，
∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；
【变式4-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，则AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等边三角形，PD＝AP，所以△DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，这样可分别求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．
【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，
显然有△ADC≌△APB，连PD，
∵AD＝AP，∠DAP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD＝AP，
∵DC＝PB，
∴△DCP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，
∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，
∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，
∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，
∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，
∴以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4．
【题型5 利用旋转的性质求线段长度】
【例5】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
【分析】连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC=2AB=2，
∴CF=2，
【变式5-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（ ）
A．23B．5C．25D．6
【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5，
由旋转的性质可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，
∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，
∴BB'=B'C2+BC'2=42+22=25，
【变式5-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB=AO2+BO2=42+82=45，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，
∵点E为BO的中点，
∴OE=12BO=12×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，如图，
S△A′OB′=12×45•OF=12×4×8，
解得：OF=855，
在Rt△EOF中，EF=OE2−OF2=42−(855)2=455，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×455=855，
∴B′E＝A′B′﹣A′E=45−855=1255．
【变式5-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
【分析】分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，从而BE＝2BM＝23；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，BE=BN2+NE2=27．
【解答】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，
∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，
∴AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=12AB＝1，BM=3AM=3，
∴BE＝2BM＝23；
②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：
在Rt△BCN中，
CN=12BC＝1，BN=3CN=3，
∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，
在Rt△BNE中，
BE=BN2+NE2=(3)2+52=27；
综上所述，线段BE的长为23或27，
故选：D．
【题型6 旋转中的坐标与图形变换】
【例6】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【分析】运用中点坐标公式求答案．
【解答】解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴a+m2=5−32，b+n2=1−12，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
【变式6-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
【分析】如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH=42−22=23，
∴A（2，23），
∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣23，2），
【变式6-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
【分析】如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．
∵M（1，﹣2），
∴MH＝1，OH＝2，
∵∠MOM1＝∠POT，
∴∠MOH＝∠M1OT，
∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，
∴△MHO≌△M1TO（AAS），
∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，
∴M1（2，1），
【变式6-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，−3）C．（2，0）D．（3，0）
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，
∴AB=33OB=33×3=1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OA′B'，
∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∴点A′的坐标为（3，﹣1）．
【题型7 作图-旋转变换】
【例7】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【变式7-1】（2022•南京模拟）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（即三角形ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图（提醒：别忘了标注字母！）
（1）将三角形ABC向下平移4个单位得到三角形A1B1C1；
（2）作出三角形ABC关于直线l对称的三角形A2B2C2；
（3）将三角形A2B2C2绕点A2逆时针旋转90°得到三角形A2B3C3．
【分析】（1）按平移作图的方法进行画图，即可作出图；
（2）按轴对称图形的画法画图，即可作出图；
（3）按旋转作图的画法画图，即可作出图．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A2B3C3即为所求．
【变式7-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【变式7-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【分析】（1）根据题意所述的旋转中心、旋转方向、旋转角度找到各点的对应点，顺次连接即可得出△A1B1C1，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
（2）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A2B2C2，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
【解答】解：（1）所画图形如下：
结合图形可得A1坐标为（3，﹣1）；B1坐标为（1，0）；C1坐标为（2，﹣2）；
（2）所画图形如下所示：
结合图形可得A2坐标为（﹣2，﹣2）；B2坐标为（﹣1，0）；C2坐标为（﹣3，﹣1）．
【题型8 旋转对称图形】
【例8】（2022春•沈丘县期末）如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作14圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 是 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 O ，最小旋转角是 90 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
【分析】（1）旋转对称图形的定义，结合图形即可作出判断；
（2）图形OBC的周长为BC+12圆的周长，面积=14S正方形ABCD．
【解答】解：（1）这个图形是旋转对称图形，旋转中心是点O，最小旋转角为90°．
（2）图形OBC的周长＝BC+12圆的周长＝2+π；
面积=14S正方形ABCD=14×4＝1cm2．
【变式8-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 4 个旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为4；
【变式8-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 60 °能与原雪花图案重合．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【解答】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【变式8-3】（2022•南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（ 假 ）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ 真 ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ①，③ （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形： 如正五边形、正十五边形 ；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形： 如正十边形、正二十边形 ．
【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【解答】解：（1）等腰梯形必须旋转360°才能与自身重合；矩形旋转180°可以与自身重合．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真）
（2）①只要旋转120°的倍数即可；
②只要旋转90°的倍数即可；
③只要旋转60°的倍数即可；
④只要旋转45°的倍数即可．
故是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①、③．
（3）360°÷72°＝5．
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正五边形，正十五边形；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：如正十边形，正二十边形．
【题型9 旋转中的周期性问题】
【例9】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（ ）
A．（﹣21010，3•21010）B．（0，21011）
C．（21010，3•21010）D．（3•21010，21010）
【分析】根据每次旋转后线段的长度是原来的2倍求出OP2023，根据旋转角为30°求出每12次旋转，24个点为一个循环组依次循环，然后用2023除以24，再根据商和余数的情况确定出点P2023在第二象限与y轴正半轴夹角为30°，然后解答即可．
【解答】解：∵点P0的坐标为（1，0），
∴OP0＝1，
∴OP2＝2OP1＝2，OP3＝OP2＝2，OP4＝2OP3＝2×2＝22，
…，
OP2022＝21011，
∵2022÷24＝84余6，
∴点P2023是第85循环组的第7个点，在第二象限，与y轴正半轴夹角为30°，
∴点P2023的坐标为（−210112，210112⋅3），即（﹣21010，3⋅21010）．
【变式9-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．(−1，3)B．(−3，1)C．(−33，1)D．(−1，33)
【分析】6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB=3，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，3），
第二次旋转后的坐标为（﹣2，0），
第三次旋转后的坐标为（﹣1，−3），
第四次旋转后的坐标为（1，−3），
第五次旋转后的坐标为（2，0），
第六次旋转后的坐标为（1，3），
•••，
6次一个循环，
∵2023÷6＝337•••1，
∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（﹣1，3），
【变式9-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（ ）
A．(0，−2)B．(−2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O顺时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【解答】解：∵点C的坐标为（0，1），
∴OC＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB=12+12=2，
由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3=⋯=2，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O顺时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（2，0），B2（1，﹣1），B3（0，−2），B4（﹣1，﹣1），B5（−2，0），B6（﹣1，1），…，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标为（﹣1，1），
【变式9-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点C的坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝42，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C（﹣4，6），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505•••2，
则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）．
【题型10 旋转中的多结论问题】
【例10】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
【变式10-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【分析】①根据旋转的性质得△DEF为等腰直角三角形，进而得到EF与DE的数量关系，便可判定①的正误；
②证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，进而得EF2＝AE2+CE2，便可判断②的正误；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以当PF⊥CF时，PF取最小值，求出此时的PF便可判断③的正误；
④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根据（（AE﹣CE）2≥0求得AE•CE≤32，求得AE•CE的最大值为32，进而求得△CFE的面积最大值，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF=2DE，
故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正确；
③∵CP＝3PD．
∴PC=34CD＝6，
当PF⊥CF时，PF取最小值，如图，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF=22CP＝32，
故③错误；
④∵∠ECF＝90°，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12CE⋅AE，
∵AE+CE＝AC=2AD=82，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE•CE＝128﹣4AE•CE≥0，
∴AE•CE≤32，
∴AE•CE的最大值为32，
∴△CFE的面积最大是12×32＝16，
故④正确；
【变式10-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【解答】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM＝90°．
∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，
∴∠AFM＝∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，
∴∠A＝∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∠AFM=∠CFNAF=CF∠A=∠FCN，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF＝NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为22，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△AMF
∴S四边形CDFE＝S△AFC．
故④正确；
【变式10-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
【分析】①由四边形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可得Rt△OEF为等腰直角三角形；
②由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC=14S正方形ABCD，则可得出结论；
③BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，而EF的最小值为12AC＝OA，故可得结论③正确；
④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴∠OEF＝45°，EF=2OE；故①正确；
②由①得△BOE≌△COF
∴S四边形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC=14S正方形ABCD，
故②错误；
③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，EF=2OE，
△BEF周长＝BE+BF+EF=2OA+2OE，
∵OA为定值，则OE最小时△BEF周长的周长最小，
∴当OE⊥AB时OE最小，△BEF周长的周长最小，
此时OE=22OA，
∴△BEF周长的周长最小值=2OA+2OE=2OA+2×22OA＝（1+2）OA．
故③正确，
④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．
∴AE2+CF2≠2OB2，故④错误．
【题型11 旋转中的最值问题】
【例11】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ 30° ，FB+FD的最小值为 53 ．
【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE=12∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
BA=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG=BC2−CG2=102−52=53，
∴BF+DF的最小值为53，
故答案为：30°，53．
【变式11-1】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S△ACE＝（ ）
A．6B．62C．9D．92
【分析】作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延长线于H，可知点D在以A为圆心，AD为半径的圆上运动，当AD⊥BD时，∠ABD最大，利用AAS证明△ADG≌△AHC，得CH＝DG，可说明△ACE的面积＝△ABD的面积，从而得出答案．
【解答】解：作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延长线于H，
∵AD＝3，
∴点D在以A为圆心，AD为半径的圆上运动，
∴当AD⊥BD时，∠ABD最大，
由勾股定理得BD＝4，
∵∠DAH＝∠CAB＝90°，
∴∠CAH＝∠DAB，
∵∠AGD＝∠H，AC＝CD，
∴△ADG≌△AHC（AAS），
∴CH＝DG，
∴△ACE的面积=12×AE×CH=12×AB×DG＝△ABD的面积=12×AD×BD=12×3×4=6，
【变式11-2】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为3+1，则AB的值为（ ）
A．2B．43C．23D．4
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
BE=EN∠BED=∠NEFDE=EF，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点N在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'=12AN，
∴3+1=12（AE+3AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：D．
【变式11-3】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．22C．3D．10
【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
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