北师大版八年级数学下册举一反三系列7.9期末复习之选填压轴题专项训练(北师大版)同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册举一反三系列7.9期末复习之选填压轴题专项训练(北师大版)同步练习(学生版+解析)，共61页。
考点1
三角形的证明选填期末真题压轴题
1．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )
A．15°B．40C．15°或20°D．15°或40°
2．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，ΔABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC=10，CB=4，则AE=（ ）
A．7B．6C．3D．2
3．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN垂直平分AD；②∠CDM=∠BND；③AD=CD；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
4．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
6．（2022秋·江西南昌·八年级校考期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
7．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．探究：当∠1=______时，△AOD是等腰三角形？
8．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，已知△ABC中，∠B=90°，BC=16cm，AC=20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为ts，当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t=______．
9．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．
10．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，∠ABC=∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC=90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC=180°．其中正确的结论有_____．（填序号）
考点2
一元一次不等式与一元一次不等式组选填期末真题压轴题
1．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）若不等式组2x−a＜1x−2b＞3的解集为−1＜x＜1，则（a−3）（b+3）的值为
A．1B．−1C．2D．−2
2．（2022春·山东济南·八年级统考期末）若关于x的不等式组x>3x07x−3b≤0的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（ ）
A．3个B．9个C．7个D．5个
4．（2022春·山东·八年级校考期末）对于实数a，b，我们定义符号maxa,b的意义为：当a≥b时，maxa,b=a．当a32x+8>4a的解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围内，则a的取值范围是____________．
6．（2022春·全国·八年级期末）已知一次函数y=kx+b(k0的解集为x4y−4≤3y+4有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．（2022秋·山东日照·八年级统考期末）已知关于x的分式方程x−ax−2=12的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥1且a≠2D．a≥1且a≠1
6．（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2:4:4，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的20%分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为3:5．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为1:4．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为5:6，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为__________．
7．（2022秋·山东淄博·八年级校考期末）若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=5x+2无解，则m的值为 __．
8．（2022春·江苏·八年级期末）已知正整数x，y满足y=x+82x−1，则符合条件的x，y的值有______组．
9．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值______．
10．（2022秋·北京门头沟·八年级大峪中学校考期末）当x分别取2017、2016、2015、⋯3、2、1时，计算分式1x2+x值，所得结果相加的和为___．
11．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）已知xx2−x+1=17，则x2x4−x2+1=______．
考点6
平行四边形选填期末真题压轴题
1．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10B．11C．12D．13
4．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE；⑤S△CEF=S△ABE．其中正确的是________
5．（2022春·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=4，则下列结论：①∠CAD=30°，②OE=14AD，③BD=46，④S△BEO=23．其中正确的有______．（只填序号）
6．（2022秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为△ABC形内一点，以AD为腰作等腰△DAE，使∠DAE=∠BAC，连接BE、CD，若M、N分别是DE、BC的中点，MN=1，则CD的长为_______．
7．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF//AB,交DE的延长线于F，连BF,CD，若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=22，则DF=_________．
8．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．
9．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD．点 P 为底边 BC 的延长线上任意一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，BM⊥DC 于 M．请你探究线段 PE、PF、BM 之间的数量关系：
______．
专题7.9 期末复习之选填压轴题专项训练
【北师大版】
考点1
三角形的证明选填期末真题压轴题
1．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )
A．15°B．40C．15°或20°D．15°或40°
【答案】A
【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．
【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，
所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；
故∠ABC=60°，∠C=80°；
如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，
∵△APB，△APC都是等腰三角形；
∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，
如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，
∵△APB，△APC都是等腰三角形，
∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
2．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，ΔABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC=10，CB=4，则AE=（ ）
A．7B．6C．3D．2
【答案】A
【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．
【详解】如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
∵AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
故选C.
【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．
3．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN垂直平分AD；②∠CDM=∠BND；③AD=CD；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】①根据将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），证明直线MN垂直平分AD，故①正确；
②先由①得，直线MN垂直平分AD，则AN=DN，AM=DM，再根据”等边对等角“证明∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，则∠AMD=180°−2∠MAD，再根据∠AMD是△CDM的一个外角，∠BND是△NAD的一个外角，证明∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD，进一步证明∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，根据AC=BC，得到∠CAB=∠B，则∠C=180°−2∠CAB，然后根据∠CAB=∠MAD+∠NAD，证明∠CDM=2∠NAD，从而得到∠CDM=∠BND，故②正确；
③证明∠C与∠CAD不一定相等，得到AD与CD不一定相等，故③错误；
④先根据M是AC的中点，证明AM=CM，再由①得，直线MN垂直平分AD，则AM=DM，再证明AM=DM=CM，最后证明∠ADC=90°，即AD⊥BC，故④正确．
【详解】①∵将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），
∴直线MN垂直平分AD，
故①正确；
②由①得，直线MN垂直平分AD，
∴AN=DN，AM=DM，
∴∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，
∴∠AMD=180°−∠MAD−∠MDA=180°−2∠MAD
∵∠AMD是△CDM的一个外角，∠BND是△NAD的一个外角，
∴∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD
∴∠C+∠CDM=180°−2∠MAD，
∴∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB
又∵∠CAB=∠MAD+∠NAD，
∴∠C=180°−2∠MAD+∠NAD=180°−2∠MAD−2∠NAD
∠CDM=180°−2∠MAD−180°−2∠MAD−2∠NAD
即∠CDM=2∠NAD，
又∵∠BND=2∠NAD(已证)，
∴∠CDM=∠BND，
故②正确；
③∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB
又∵∠CAD=∠CAB−∠BAD，
∴180°−2∠CAB与∠CAB−∠BAD不一定相等，
∴∠C与∠CAD不一定相等，
∴AD与CD不一定相等，
故③错误；
④∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∵AM=DM，
∴AM=DM=CM，
∴∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C，
又∠MAD+∠MDA+∠MDC+∠C=180°，
∴∠MDA+∠MDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①②④，
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证．
4．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】分三种情况分析：①以点O为顶角顶点，②以A为顶角顶点，③线段AO的垂直平分线，讨论点P的个数.
【详解】由点P（m，0）（m＜6）知点P在x轴上，
分三种情况：
①当A为顶角顶点时，以点O为圆心OA长为半径画弧，交x轴于一点，根据对称性得到此点的坐标为（6,0），不符合，舍去；
②当点O为顶角顶点时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有两个交点均满足小于6的条件，故此时有两个；
③作线段OA的垂直平分线，与x轴交于一点，满足小于6的条件，故此时有一个；
综上，共有3个点P，即m有3个值，
故选：B.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题时分三种情况进行讨论，注意以点A、O为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏.
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
【答案】17，144，145
【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，
所以有172+m2=(m+1)2，解得m=144，m+1=145，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
6．（2022秋·江西南昌·八年级校考期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
7．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．探究：当∠1=______时，△AOD是等腰三角形？
【答案】35°或40°或30°
【分析】先求出∠AOD=190°−α，∠ADO=α−60°，∠OAD=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC和△ADC中，
BC=AC∠BCO=∠ACDOC=CD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠COB=∠CDA=α，
∵∠AOB=110°，
∴∠AOD=360°−110°−α−60°=190°−α，∠ADO=α−60°，∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=50°，
当OA=AD时，
∵AO=AD，CO=CD，
∴AC垂直平分OD，
∵AO=AD，
∴∠OAC=12∠OAD=25°，
∴∠1=60°−25°=35°；
当AO=OD时，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴α−60°=50°，
∴α=110°，
∴∠AOD=80°，
∴∠AOC=140°，
∵AO=OD=OC，
∴∠OAC=20°=∠ACO，
∴∠1=60°=40°，
当OD=AD时，
∵OD=AD，
∴∠OAD=∠AOD，
∴190°−α=50°，
∴α=140°．
∴∠ADC=140°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=DCA=20°，
∴∠OAC=30°，
∴∠1=30°，
故答案为：35°或40°或30°．
【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
8．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，已知△ABC中，∠B=90°，BC=16cm，AC=20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为ts，当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t=______．
【答案】8.4或9或9.5
【分析】分三种情形：AB＝AP，AB＝BP，PA＝PB，画出图形分别求解即可．
【详解】过点B作BH⊥AC于H．
∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，
∴AB＝AC2−BC2=202−162＝12，
∵BH⊥AC，
∴S△ABC＝12•AC•BH＝12•AB•BC，
∴BH＝12×1620＝485，
∴AH＝AB2−BH2=122−4852=365，
当BA＝BP1时，AH＝HP1＝365，
∴AB＋BC＋AP1＝20＋16＋12−725＝1685，
此时t＝1685÷4=425=8.4，
当AB＝AP2时，AB＋BC＋CP2＝20＋16＋12−12＝36，
此时t＝36÷4=9，
当AP3＝BP3时，AB＋BC＋CP3＝20＋16＋12−10＝38，
此时t＝38÷4=9.5，
综上所述，满足条件的t的值为8.4或9或9.5．
故答案为：8.4或9或9.5．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．
【答案】8
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×4×4＝8．
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．如图：
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵E为AC的中点，即AE＝EC，
∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，
∴S△ABE＝S△CDH
∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝4，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×4×4＝8．
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质，三角形的面积的计算等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，∠ABC=∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC=90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC=180°．其中正确的结论有_____．（填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】根据角平分线的性质可得DH=DP，从而得到∠CAD=∠HAD=12∠CAH，再由三角形外角的性质可得∠CAD=∠ACB，从而得到AD∥BC，故①正确；再由BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，可得∠DBE=12∠ABC+12∠CBM=90°，因此②正确；由BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACF的平分线，结合三角形外角的性质可得到∠BDC=12∠BAC，再由等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC，从而得到∠BDC+∠ABC=90°，因此③正确；由∠ADB=12∠ABC=45°−14∠BAC，∠BDC=12∠BAC，可得∠ADB与∠BDC不一定相等，因此④不正确；根据BE⊥BD和
∠BDC=12∠BAC，可得∠E+12∠BAC=90°，因此⑤正确，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=DG，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴DG=DP，
∴DH=DP，
∴AD是∠CAH的平分线，
即∠CAD=∠HAD=12∠CAH，
∵∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC=180°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
因此①正确；
∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC=180°，
∴∠DBE=12∠ABC+12∠CBM=12×180°=90°，
即BD⊥BE，
因此②正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ACD=∠FCD，
∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC=12∠BAC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AQ⊥BC，
∴∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC，
∵∠BAQ+∠ABC=90°，
∴∠BDC+∠ABC=90°，
因此③正确；
∵∠ADB=12∠ABC=12×180°−∠BAC2=45°−14∠BAC，而∠BDC=12∠BAC，
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
因此④不正确；
∵BE⊥BD，
∴∠E+∠BDC=90°，
∵∠BDC=12∠BAC，
∴∠E+12∠BAC=90°，
∴2∠E+∠ABC=180°，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提．
考点2
一元一次不等式与一元一次不等式组选填期末真题压轴题
1．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）若不等式组2x−a＜1x−2b＞3的解集为−1＜x＜1，则（a−3）（b+3）的值为
A．1B．−1C．2D．−2
【答案】D
【详解】解不等式2x−a＜1，得：x＜1+a2，解不等式x−2b＞3，得：x＞2b+3，∵不等式组的解集为−1＜x＜1，∴1+a2=12b+3=−1，解得：a=1，b=−2，当a=1，b=−2时，（a−3）（b+3）=−2×1=−2，故选D．
2．（2022春·山东济南·八年级统考期末）若关于x的不等式组x>3x1时，原不等式组都有解，
∴B、D错误；
∵当a满足：a≤3或a0①7x−3b≤0②
∵解不等式①得：x＞2a5，
解不等式②得：x≤3b7，
∴不等式组的解集为2a507x−3b≤0的整数解仅有7，8，9，
∴6≤2a5＜7，9≤3b7＜10，
解得：15≤a＜17.5，21≤b＜2313，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值，难度适中．
4．（2022春·山东·八年级校考期末）对于实数a，b，我们定义符号maxa,b的意义为：当a≥b时，maxa,b=a．当a32x+8>4a的解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围内，则a的取值范围是____________．
【答案】a≥6或a≤2
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：2a−x>3 ①2x+8>4a ②
∵解不等式①得x2a−4，
∴不等式组的解集是2a−44a的解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围内，
∴2a−4≥8或2a−3≤1，
解得a≥6或a≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．注意理解：解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围内的意义.
6．（2022春·全国·八年级期末）已知一次函数y=kx+b(k0的解集为x