2024年湖南省长沙市初中学业水平考试冲刺数学试题（一）（解析版）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试冲刺数学试题（一）（解析版），共25页。试卷主要包含了 劳动课上，八等内容，欢迎下载使用。

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3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A. 86B. 83C. 87D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
根据同类项的定义及合并同类项的法则逐项判断，即可解答．
【详解】解：．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．和不能合并，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 一种纳米材料的直径约为米，数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式进行表示即可，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，为整数”是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
4. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标形中点的对称，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得关于m，n的方程，再代入求值即可，掌握点的对称性质是解题的关键．
【详解】解：和关于轴对称，
，解得：，
，
故选：．
5. 如图，固定木条，，使，旋转木条，要使得，则应调整为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C
6. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A. 16，15B. 16，15.5C. 16，16D. 17，16
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16；
把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16
则这组数据的中位数是16；
故选C．
7. 劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包个，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，根据等量关系即可列出方程.
【详解】解：设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，由题意可得：
故选：A．
8. 如图，在中，点分别为的中点，则与的面积之比为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的应用，正确判定相似，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可．
【详解】∵点分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，，，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
，，
，，，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
10. 把2，4，7，K四张牌分发给四人，每人按牌面数字分（K记13分）记分，然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16，17，21和24分．已知得16分者最后一次得2分，则他第一次所得分数是（ ）分．
A. 2B. 4C. 7D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】由题设知每次四人得分总和等于．
又若干次后，四人得分累计总和等于，可见发牌次数为次．
又得16分者最后一次得2分，则前两次共得分，而2，4，7，13中只有两次均取7分才可能其和得14分，故得16分者第一次得7分所以选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图为一个五角星图案，将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重合，则旋转的最小角度为_______．
【答案】##72度
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．五角星是旋转对称图形，利用360度除以角数5，即可求解．
【详解】解：把中间五个角连接起来就是一个正五边形，．
故答案为：
13. 从同一副扑克牌中抽出张红桃，张黑桃，10张方块，然后洗匀，再从洗匀的这叠扑克牌中抽取一张牌，如果抽出的牌是方块的概率与不是方块的概率相同，那么之间的关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据题意得到抽出的牌是方块的概率是，根据有10张方块，由，即可求出结果．
【详解】解：抽出的牌是方块的概率与不是方块的概率相同，
抽出的牌是方块的概率是，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的值为，则的面积为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
根据已知条件得到的面积，即可求解．
【详解】解：设，
∵轴，
∴轴，
∴
，
故答案为：4．
15. 课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是_____. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知，，，则△ABC的面积是_____.
【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】（1）由图①可知， ，，，根据勾股定理可知，继而可得出三者间的关系；
（2）由图②可得出，，化简代入数值即可．
【详解】解：（1）根据勾股定理可知，
由图①可知， ，，，
∴，，满足数量关系是：．
（2）由图②可得出，
整理可得：
代入数据得出：．
故答案为：；7．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．
16. 已知抛物线（，a，b，c常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：
①；
②若，则；
③对于任意实数t，总有；
④关于x的一元二次方程必有两个不相等的数根．
其中正确的是______（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点．利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，由，即可求得，即可判断①；由，得到抛物线，即可求得过，，得到，，求得，即可判断②；根据二次函数的最值即可判断③；抛物线与直线由两个交点，即可判断④．
【详解】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线开口向上，
，
，即，①正确；
，，
抛物线，
过，，
，，
，②错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
对于任意实数，总有，即，③正确；
抛物线开口向上，且与轴有两个交点，
抛物线与直线由两个交点，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．先计算零次幂、乘、，再化简绝对值、开方，最后算加减．
【详解】解：原式
．
18. 先化简，再求值．，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值．注意计算的准确性即可．
【详解】解：
．
当，时，
原式
19. 某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为68°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：tan68°≈2.48，≈1.73）
【答案】楼房AB的高度为13.7米
【解析】
【分析】过E作EF⊥AB于F，得到四边形BDEF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝DB，BF＝DE，解直角三角形即可得到结论．
【详解】过E作EF⊥AB于F，
则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝DB，BF＝DE，
在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°CE＝6，∠DCE＝30°，
∴DE＝3，CD＝，
设BC＝x，
∵∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝BD＝+x，
∴AB＝AF+BF＝3++x，
在Rt△ABC中，tan68°＝＝＝2.48，
解得：x≈5.5，
经检验x=5.5是所列方程的解，
∴AB＝3++x≈13.7米，
答：楼房AB的高度为13.7米．
【点睛】本题是一道关于解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目将实际问题转化为解直角三角形的问题是解此题的关键.
20. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
【答案】（1）50，补图见解析
（2）15，15 （3）220人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，
（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数．
【小问1详解】
解： （人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
【小问2详解】
学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
【小问3详解】
捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
21. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为5
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可；
（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．
【小问1详解】
证明：，，且，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
的长为5．
22. 学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经》共需140元，购买8本《论语》和1本《诗经》共需176元．
（1）求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？
（2）学校决定购买《论语》和《诗经》共200本，总费用不超过3500元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？
【答案】（1）购买每本《论语》需要20元，购买每本《诗经》需要16元
（2）75本
【解析】
【分析】（1）设购买每本《论语》需要元，购买每本《诗经》需要元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设该学校购买本《论语》，则购买本《诗经》，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设购买每本《论语》需要元，购买每本《诗经》需要元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买每本《论语》需要元，购买每本《诗经》需要元．
【小问2详解】
解：设该学校购买本《论语》，则购买本《诗经》，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可以购买本《论语》．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．
23. 在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接．
（1）问题探究：如图1，作，交于点，求证：；
（2）问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．
（1）过点作于，利用证明，得；
（2）连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，解方程可得的值，利用勾股定理求出，再根据（1）知，，从而解决问题．
【小问1详解】
解：证明：过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
（2）连接，，
由折叠的性质得到：，，
设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
，
解得：，
，
，
由勾股定理得， ，
是的垂直平分线，
由（1）知，，
．
24. 如图1，是的内接三角形，点在上，A是弧的中点，点在上，连接、，与于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，延长交于点，连接，交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作直径交于点，连接交于点，当是的直径时，，，求弦的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据和三角形外角性质得到，，根据圆周角定理得到，，推出，即得；
（2）根据，得到，推出，得到，根据A是弧的中点，得到，即得；
（3）连，，设，，则，根据直径性质得到，， 根据和余角性质得到，推出，根据，结合三角形中位线性质得到，根据勾股定理得到，推出，，根据直径对直角和垂径定理推出， ，得到，， 推出，，根据三角形中位线性质得到，，设，得到，，得到，得到，解得，，得到，即得．
小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∵A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，∴
∴，
即，
∴，
∵A是的中点，
∴，
∵交于点，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，连，，设，，
则，
∵为直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
∴，
解得，，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，三角形外角性质，弧弦之间的关系，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理解直角三角形，正弦定义和正切定义，平行线的判定和性质，是解决问题的关键．
25. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．

【答案】（1）①；（2）或；（3）或或
【解析】
【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；
（2）求出函数与坐标轴的交点，再由求出点坐标，代入二次函数解析式计算即可；
（3）先求出，的坐标，再根据的顶点在矩形的边上分类讨论即可．
【详解】（1）函数交轴于1,0，交轴于，
∵点1,0、都在函数图象上
∴①为函数的轴点函数；
∵点不在函数图象上
∴②不是函数的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数交轴于，交轴于，
∵函数的轴点函数
∴和都在上，
∵
∴
∵，
∴
∴或
当时，把代入得
，解得，
当时，把代入得
，解得，
综上，或；
（3）函数交轴于，交轴于，
∵，以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形
∴，，,
∵函数（为常数，）的轴点函数
∴和在上
∴，整理得
∴
∴的顶点坐标为，
∵函数的顶点在矩形的边上
∴可以分三种情况讨论：当与重合时；当在上时；当在上时；
当与重合时，即，解得；
当在上时，，整理得，解得
此时二次函数开口向下，则
∴整理得：，
由整理得，
∴
解得，
∴，
当在上时，，整理得，解得
∴
此时对称轴左边y随x的增大而增大，
∴
∴整理得：
∴代入、后成立
∴，
综上所述，或或
【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义．