云南省昆明市2025届高三上学期摸底测试数学试题

这是一份云南省昆明市2025届高三上学期摸底测试数学试题，共9页。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，，则的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（ ）
A．7B．5C．3D．1
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数是奇函数且在上单调递增，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
7．函数，，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．或
8．设椭圆的右焦点为，过坐标原点的直径与交于，两点，点满足，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列
B．不可能为常数列
C．若为递增数列，则
D．若为递增数列，则
10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、的方式赋分，其中，分别表示甲、乙两班原始考分，，分别表示甲、乙两班考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ）
A．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高
B．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高
C．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数
D．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高
11．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．4是的一个周期
C．D．的图象关于点对称
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数在处的切线方程为____________.
13．若复数在复平面内对应的点位于直线上，则的最大值为____________.
14．过抛物线的焦点作直线交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则____________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若边上的高为1，的面积为，求的周长.
16．（本小题满分15分）
如图，是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，为圆的直径，，.
（1）证明：；
（2）若圆台的高为3，体积为，求直线与平面夹角的正弦值.
17．（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若在恒成立，求的取值范围；
（2）若，，证明：存在唯一极小值点，且.
18．（本小题满分17分）
动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为.
（1）求的方程；
（2）过上的点作圆的切线，为切点，求的最小值；
（3）已知点，直线交于点，，上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则.抛掷次硬币后，记的概率为.
（1）写出的所有可能情况，并求，；
（2）证明：是等比数列，并求；
（3）设抛掷次硬币后的期望为，求.
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．，故，故选A.
2．的否定是“，”，故选B.
3．由题得，，即，解得或（舍去），故选C.
4．因为，所以，故，故选D.
5．由题得，即，且，解得，，故，故选C.
6．由为奇函数得，即，亦即恒成立，故.当时，在上为增函数，符合题意：当时，在上为减函数，不符合题意，故选C.
7．由对恒成立，可得，又因为在上有3条对称轴，所以，故，故选B.
8．设的左焦点为，由，可设，则，由，结合椭圆的性质知，由，可得，又，所以，解得，在中，由勾股定理得，即，所以，故选D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．由（为常数）可得，当时，，时，，该式对于也成立，所以，，选项A正确；当时，，所以选项B错误；若为递增数列，则，即，选项C正确；若为递增数列，则，可得，选项D错误，故选AC.
10．对于选项A，甲、乙两班原始分数的平均数分别为，，故A对；对于选项B，甲、乙两班原始分数的标准差分别为，，故B错；对于选项C，由得，故C对；对于选项D，由得，此时必有，否则，矛盾，故D对，故选ACD.
11．由为偶函数得，，两边求导得：，所以的图象关于对称，可得，又因为为偶函数，所以4是的一个周期，故选项A，B正确；由是偶函数可知，所以（为常数），又因为，所以，可得，故的图象关于对称，，又因为为偶函数，所以的图象关于对称，所以4是的一个周期，，同时可知的图象关于也对称，选项C错，D对，故选ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．由题，，，，所以切线方程为.
13．由题可得，，所以
，又，故，由基本不等式知，当且仅当时，取到最大值.
14．设，，，联立与得，所以，故，解得，不妨取，则直线的倾斜角.过作的垂线，垂足为，则，又，所以，于是.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理得，， （2分）
又，所以，
因为，所以.
又，故 （6分）
（2）由题，
即，， （9分）
由余弦定理得，即，
所以，即.
故的周长为. （13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：连接，，，则平面，故.
因为是圆的直径，所以，
由勾股定理得，
所以.
又是的中点，故. （3分）
又，所以平面.
因为平面，所以. （6分）
（2）解：圆台的体积，其中，解得或（舍去）. （9分）
由（1）知，，两两垂直，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，. （11分）
设平面的一个法向量为，
则解得
于是可取. （13分）
设直线与平面的夹角为，
则，
故所求正弦值为. （15分）
17．（本小题满分15分）
（1）解：由题可得，，
①当时，则，此时在上为增函数，
则时，，与题意不符，故不成立；
②当时，令，则，
此时在上成立，在上成立；
所以在上为增函数，在上为减函数； （5分）
所以，即，
综上，. （7分）
（2）证明：理由，，，，
所以在上单调递增， （10分）
又因为，，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
所以，即，
又，故.
18．（本小题满分17分）
答案略
19．（本小题满分17分）
答案略
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
C
C
B
D
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
ABD
题号
12
13
14
答案