2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．（5分）已知在等差数列中，，，则
A．4B．6C．8D．10
3．（5分）双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
4．（5分）在递增等比数列中，，，则公比为
A．4B．3C．2D．
5．（5分）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为
A．4B．C．8D．
6．（5分）如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为
A．B．C．D．
7．（5分）已知是抛物线上的一动点，点的坐标为，垂直于轴，垂足为，则的最小值为
A．B．2C．D．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为
A．2B．1C．D．
二、多选题
9．（5分）已知直线和圆，则
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．存在使得直线与直线平行
D．直线被圆截得的最短弦长为
10．（5分）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点．下列结论中，正确的有
A．椭圆的长轴长为
B．满足△为直角三角形的点恰有6个
C．的最大值为8
D．直线与直线的斜率乘积为定值
11．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A．为中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的周长为
B．不存在点，使得平面平面
C．存在点使得的值为
D．三棱锥外接球体积最大值为
12．（5分）设数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
A．是等比数列B．是单调递减数列
C．D．
三、填空题
13．（5分）已知直线与直线，若，则与之间距离是 ．
14．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ．
15．（5分）已知数列的前项和为，若，，则的通项公式为 ．
16．（5分）已知，分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆半径为，△的内切圆半径为．若，则 ．
四、解答题
17．（10分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为．
18．（12分）在平面直角坐标系中，存在四点，，，．
（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
21．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
22．（12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标．
参考答案
一、单选题
1．（5分）直线的倾斜角为
A．B．C．D．
解：由题设，令其倾斜角为，，，则，
所以．
故选：．
2．（5分）已知在等差数列中，，，则
A．4B．6C．8D．10
解：在等差数列中，
则，解得．
故选：．
3．（5分）双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
解：双曲线的离心率为，
即，所以，
则，故的渐近线方程为．
故选：．
4．（5分）在递增等比数列中，，，则公比为
A．4B．3C．2D．
解：根据题意，等比数列中，设其公比为，
若，则，即，
又由，则有，
解可得：或，
又由数列为递增等比数列，则；
故选：．
5．（5分）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为
A．4B．C．8D．
解：直线恒过的定点为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义知的周长为．
故选：．
6．（5分）如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为
A．B．C．D．
解：因为是的中点，是的中点，所以，
所以异面直线与所成的角即为（或其补角）．
易知．因为，，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
又，，，平面，所以平面，
而平面，所以．
因为，，所以为等边三角形，
所以，所以．
故选：．
7．（5分）已知是抛物线上的一动点，点的坐标为，垂直于轴，垂足为，则的最小值为
A．B．2C．D．
解：由题意得的焦点为，准线为．所以等于到的距离减2．
所以．当是与抛物线的交点时．最小，
最小值为．所以的最小值为．
故选：．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为
A．2B．1C．D．
解：由已知直线的方程为，即，点，
则，
因为，所以为线段的中点，
则，
设双曲线的左焦点为，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
又，
所以，
故的斜率为1，
故选：．
二、多选题
9．（5分）已知直线和圆，则
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．存在使得直线与直线平行
D．直线被圆截得的最短弦长为
解：对于，由，可得，
所以直线恒过定点，故错误；
对于，因为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故正确；
对于，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，
此时直线的方程为，直线与直线重合，故错误；
对于；设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆截得的弦长最短为，故正确．
故选：．
10．（5分）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点．下列结论中，正确的有
A．椭圆的长轴长为
B．满足△为直角三角形的点恰有6个
C．的最大值为8
D．直线与直线的斜率乘积为定值
解：对于，对于椭圆，，，它的长轴长为，错误；
对于，△为直角三角形，若为直角顶点，则过点作轴的垂线，
则与椭圆有两个交点，这两个交点满足题意；
若为直角顶点，则过点作轴的垂线，则与椭圆有两个交点，这两个交点也满足题意；
若为直角顶点，则，此时点为椭圆短轴的2个端点，
故满足△为直角三角形的点恰有6个，正确；
对于，由于，故，
当且仅当时取等号，即的最大值为8，正确；
对于，由题意知，设，，则，，
故，正确．
故选：．
11．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A．为中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的周长为
B．不存在点，使得平面平面
C．存在点使得的值为
D．三棱锥外接球体积最大值为
解：选项，为中点时，连接，，，
由于，分别是，，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
则过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形，
其周长为，所以选项错误．
选项，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，则，故可设，
，0，，，，
所以直线与平面不平行，
所以不存在点，使得平面平面，选项正确．
选项，将正方形、正方形展开成平面图形如下图所示，
连接，交于，此时取得最小值为，
所以不存在点使得的值为，选项错误．
选项，对于三棱锥，其中，，两两相互垂直，
其中，为定值，，
而三棱锥外接球的直径，是将其补形为长方体时，长方体的体对角线，
也即，
所以外接球半径的最大值为，其体积的最大值为，选项正确．
故选：．
12．（5分）设数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
A．是等比数列B．是单调递减数列
C．D．
解：由题设，
，
则，
当，则，则，
是首项、公比均为的等比数列，
则，
故，则，
故 不递减，
，
在 上递增，
，
综上，、、对，错．
故选：．
三、填空题
13．（5分）已知直线与直线，若，则与之间距离是 ．
解：两条直线与平行，
则，解得．
所以直线转换为，
所以两直线间的距离．
故答案为：．
14．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 8 ．
解：由已知数列为等差数列，
则，
又，
所以，
则，
所以数列为递减数列，
则当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：8．
15．（5分）已知数列的前项和为，若，，则的通项公式为 ．
解：由题意，，，
时，①，②，
①②得：，
整理得：，
时，，不满足上式，
故，
故答案为：．
16．（5分）已知，分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆半径为，△的内切圆半径为．若，则 ．
解：如图，记△的内切圆圆心为，
内切圆在边、、上的切点分别为、、，
易知、两点横坐标相等，，，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，，
则，得．
记△的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
故答案为：．
四、解答题
17．（10分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为．
解：（1）设公差为，，
故，解得，
故；
（2），
故
．
18．（12分）在平面直角坐标系中，存在四点，，，．
（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
解：（1）设圆方程为，，，，
把，，三点坐标代入可得：
解得，，，
所以圆方程是，
把点坐标代入可得：，故在圆内；
（2）由（1），可知圆，则圆心，半径，
由题意可知圆心到直线的距离是3，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
所以，解得，故直线的方程为；
当直线斜率不存在时，则直线方程为：，
此时圆心到直线的距离是3，符合题意．
综上所述，直线的方程为或．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：（Ⅰ）证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接，
因为是的中位线，
所以，
因为平面，
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）选①：平面平面．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
所以，，
又底面是正方形，
所以，
所以，，两两相互垂直，
如图建立空间直角坐标系
则，0，，，2，，，0，．
所以，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，
所以，，，
又因为平面，
所以，0，为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则
，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选②：．
因为，，又底面是正方形，
所以，，两两相互垂直，
如图建立空间直角坐标系
则，0，，，2，，，0，，
所以，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，于是，，，
又因为平面，
所以，0，为平面的一个法向量．
设平面与平面夹角为，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
解：（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，
解得，
则抛物线方程为．
（2）因为直线与抛物线相交于不同的、两点，
所以直线不与轴平行，
可设，
联立，
消得，
设，，，，
所以，．
由
，
解得，
则直线的方程为，
所以直线过定点．
21．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
解：（1）由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
（2）由（1）知①，
②，
①②得，，
．
22．（12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标．
解：（1）由题意，得△中，，，且，
所以，又椭圆过，
所以，解得，，
故椭圆方程为．
（2）设直线的方程为，
联立与，得，
则△，解得，
设，，，，则，
则
，
则，
故，故，
因为线段的垂直平分线交轴于点，
故，解得，
且，
因为，所以，
平方后，将代入，化简得，
即，解得，
当时，，此时满足，直线方程为，
当时，，此时满足，直线方程为．