重庆市第十八中学2024-2025学年九年级上学期入学数学定时作业试题（解析版）

这是一份重庆市第十八中学2024-2025学年九年级上学期入学数学定时作业试题（解析版），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的；
B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的；
C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的；
D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的；
故选：B．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C. 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 打开电视，正在播放《大国工匠》
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可．
【详解】解：A、是随机事件，不符合题意；
B、是必然事件，符合题意；
C、是随机事件，不符合题意；
D、随机事件，不符合题意；
故选B．
3. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故选：C．
4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. ，，
C. 3，4，5D. 0.3，0.4，0.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．
根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意；
B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意；
C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意；
D、0.3，0.4，0.5都是小数，不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
5. 估计的运算结果应在（ ）
A. 1到2之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算等知识．熟练掌握二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算是解题的关键．
由题意知，，由，可得，即，然后判断作答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
故选：C．
6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角．根据旋转得到，进而得到，再利用三角形外角的性质，求解即可．掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵旋转，
∴，
∴，
∴；
故选D．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 有一个角为直角的平行四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，难度不大．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故错误，是假命题；
C、不是正方形两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，故错误，是假命题；
D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题，
故选：D．
8. 甲、乙两人相约从张庄到李庄，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到李庄后立即停车等甲．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A. 甲骑自行车的速度为
B. 乙开车速度为
C. 当甲行驶的时间为时，乙追上了甲
D. 乙从张庄到李庄所用的时间为
【答案】D
【解析】
【分析】根据速度路程时间，可求甲骑自行车的速度为千米/小时，根据乙出发小时追上甲，设乙速度为千米/小时，列方程求出乙速度，设追上后到达地的时间是小时，根据追击路程列方程求解，再把两个时间相加即可求解．
【详解】解：由图象可得：甲骑自行车的速度为千米/小时，当甲行驶小时，乙追上了甲，
故A、C正确，不符合题意；
设乙速度为千米/小时，
出发小时追上甲，
，解得：，
乙速度为千米/小时，
故B正确，不符合题意；
设追上后到达B地的时间是，
，解得：，
乙从张庄到李庄所用的时间为（小时），
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象—从函数图象获取信息，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用追击问题的关系式得到乙开汽车的速度．
9. 如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，可得，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：连接，延长交于点，
四边形是正方形，为对角线，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用这些知识．
10. 已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推．
下列说法：①当时，；②；
③（为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根式混合运算法则．
①根据题意得出，，，，然后相加即可；
②根据题意得出一般规律：，，，，求出即可；
③根据二次根式混合运算法则，求出即可．
【详解】解：①当时，，，
，，
，，
，，
…
按照此规律：，，，，
∴，故①正确；
②，，
，，
，，
，，
…
按照此规律可得：，，，，
∴，故②正确；
③根据以上规律可知，，，
∴
，故③正确．
综上分析可知，正确的有3个，故D正确．
故选：D．
二、填空题
11. 已知点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，则a-b的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x,y），关于原点的对称点是（-x,-y），根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算．
【详解】解：∵点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，
∴，
∴a-b=3-(-1)=4；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
12. 若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则这组数据的方差是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差，熟练掌握公式是解题的关键．
先根据平均数的计算方法列出方程，求出a的值，进而根据方差公式算出这组数据的方差即可．
【详解】解：∵一组数据1，3，a，2，5的平均数是3 ，
∴，
解得：，
∴这组数据方差为：．
故答案为：2．
13. 如图，一次函数的图象与y=kx+bk≠0的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：关于的方程组的解，
即为一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
，
故关于的方程组的解是．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
设点A对应点为点E，点B的对应点为F，
如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得；
综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或，
故答案为：或．
15. 如图，在菱形中，，点E、F分别是线段上的动点，连接，若，，则图中阴影部分的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，证明是等边三角形，证明，则，，如图，作于，则，，由勾股定理得，，，进而可求阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
如图，作于，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键．
16. 在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由三角形面积公式可求的长，再由矩形性质得到，利用三角形面积公代值求解即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
点为的中点，，
，
将沿翻折，
，，
在中，，
，
，解得，
在矩形中，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求的长是本题的关键．
17. 若关于x的一次函数的图象不经过第三象限，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数k的值之积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，一元一次不等式的解法，根据一次函数的图象不经过第三象限可得，根据不等式组的解集为，得，计算得，则且k为整数，整数k的值为：3，4，掌握一次函数的性质，一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
，
∴且k为整数，
∴整数k的值为：3，4，
∴符合条件的所有整数k的值之积是：，
故答案为：．
18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意求得，，结合题意可得，，推导出所有可能情况，即可求解，理解题意求得，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵能被整除，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或，
∵，，
当，时，；
当，时，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当，时，
当，时，；
∵，，
∴的值为：或，
∴的最大值为：，
故答案为：，．
三、解答题
19. 计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，
（1）先利用平方差公式和单项式乘多项式的乘法法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）利用分式的运算法则和完全平方公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 如图，已知四边形是平行四边形，，完成下列作图和填空．
（1）利用尺规作图作线段的垂直平分线分别交线段于点E、O、F，连接（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形平行四边形，
∴，
∴①__________．
∵是的垂直平分线，
∴②__________．
在和中，
，
∴．
∴④__________．
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵，
∴平行四边形是菱形（⑤__________）．
【答案】（1）见详解 （2）①，②，③，④，⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴①．
∵是的垂直平分线，
∴②．
在和中，
，
∴．
∴④．
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵，
∴平行四边形是菱形（⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：①，②，③，④，⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
21. 为了全面了解中学生防溺水知识掌握情况，对某校七、八年级学生进行了一次防溺水知识测评问卷调查，并从该校七八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分均为整数并用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．
下面给出部分信息：
七年级20名学生测评成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100
八年级20名学生的测评成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是：
84，86，84，82，88，84，86，88，84
七、八年级抽取的学生测评成绩统计表
八年级抽取的学生测评成绩扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生防溺水知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有700人，八年级有600人参与测试，请你结合数据，估计七、八年级中防溺水知识掌握情况成绩在90分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1），，
（2）七年级的学生环境适应能力更好，理由见详解
（3）425人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
（1）先求七年级成绩众数，再分别求出八年级各个等级的人数，即可求出结论；
（2）根据方差可判断七年级的学生防溺水知识掌握情况更好；
（3）利用样本估计总体即可求出结论．
【小问1详解】
解：七年级学生测评成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100，其中82出现次数最多，
∴；
∵八年级A组有人，B组有9人，D组有人，C组有人，
∴八年级中位数落在B组，
又八年级等级B的学生测评成绩为：82，84，84，84，84，86，86，88，88，
∴中位数，
，
故：，，；
【小问2详解】
解：七年级的学生环境适应能力更好，
理由：∵七八年级学生测试成绩的平均数相同，从方差来看，七年级的方差94小于八年级的方差102，
∴七年级的学生环境适应能力更好；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计七年级、八年级中防溺水知识成绩在90分及以上的人数约为425人．
22. 某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：）
（1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
（2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【答案】（1）A、C两地之间距离为1930米
（2）小华先到达C地
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地．
【小问1详解】
解：如图，连接，过D作于E；
由题意得：；
在中，则，
，
由勾股定理得：，
米；
则米；
在中，，
则米，由勾股定理得：米，
(米)；
【小问2详解】
解：由（1）的计算知，米，
米；
由题意得分别在东南方向、西南方向，则，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
米，
米；
，
，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C地．
23. 如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C运动，当点P运动到点C时停止运动．设运动时间为x秒，的长度为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见详解； （3）
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，一次函数的图象和性质，根据题意列出函数解析式是解题的关键；
（1）分两种情况，当点P在上时，即时，，当点P在上时，即时，由的长列出函数解析式即可；
（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象与直线的交点坐标可得出答案．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴当点P在上时，即时，，
当点P在上时，即时，，
∴
【小问2详解】
函数图象如图所示
该函数的一条性质：当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大．
【小问3详解】
如图：直线与的图象交于，
∴当时，
24. 又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年1月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知1千克赣南脐橙的进价比1千克奉节脐橙的进价多4元，购买20千克赣南脐橙的价格与购买30千克奉节脐橙的价格相同．
（1）今年1月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？
（2）今年1月第一周，水果超市老板以14元每千克售出奉节脐橙140千克，24元每千克售出赣南脐橙120千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，求的值．
【答案】（1）奉节脐橙每千克的进价为8元，赣南脐橙每千克的进价是12元；
（2）的值为10
【解析】
【分析】（1）设奉节脐橙每千克的进价为元，则赣南脐橙每千克的进价是元，可列方程，求解即可得奉节脐橙每千克的进价，将方程的解代入即可得赣南脐橙每千克的进价；
（2）列方程，求符合要求的解即可．
【小问1详解】
解：设奉节脐橙每千克的进价为元，则赣南脐橙每千克的进价是
由题意得：
∴赣南脐橙每千克的进价是：元
答：奉节脐橙每千克的进价为8元，赣南脐橙每千克的进价是12元．
【小问2详解】
解：由题意可得：
（舍）；
答：的值为10．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的列方程．
25. 如图1，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点．

（1）求该一次函数解析式；
（2）点是正比例函数图象与该一次函数图象的交点，轴上有一动点，求的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿轴翻折，点对应点为，是轴上一点，点是正比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标；
（3）设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：以，为对角线，以，为对角线，以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可．
【小问1详解】
解：设该一次函数解析式为，
将，两点代入得，
解得，
该一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：解方程组，
解得，
，
如图，作点关于轴对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
故，
即线段为的最小值，
在中，令，则，
，
则，
，
即的最小值为；
此时由，得到直线解析式为，
当时，，
；
【小问3详解】
解：，
点对应点为，
设点，，
；
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
得，
解得，
点坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
26. 在中，点E是对角线上一点．
（1）如图1，，将沿翻折，使得A点的对应点F落在上，若，，求的长；
（2）如图2，，，点G是的中点，交于F点，I是上一点，连接，延长交的延长线于点J，若，求证：；
（3）如图3，，，延长至M点使，的角平分线交于点N，交延长线于点G，取中点F，连接，，当E在直线上运动时，直接写出的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，设，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据直角三角形斜边中线性质得到，进而得到，设，利用三角形的外角性质结合已知得到
，，证明，得到，在截取，连接，证明得到，，再证明得到，进而可得结论；
（3）连接，，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，则，，设，再根据等腰三角形的等边对等角进行角度运算得，进而推导出，设，则，利用直角三角形斜边中线性质得到，利用三角形的三边关系得到，当点F、A、M共线时取等号，进而求得的最大值即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
由折叠性质得，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，解得，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，则，
∵点G是的中点，
∴，
∴，设，
∴，又
∴，，又，
∴，，
∴，则，
∵， ，
∴，
∴，
在截取，连接，

在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图，连接，，

∵，的角平分线交于点N，交延长线于点G，
∴，，
∴垂直平分，则，
∵，，
∴，则，
设，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，则，
设，则，
∵F为的中点，，，
∴，
∵E在直线上运动时，
∴，当点F、A、M共线时取等号，
即点M在点处时，有最大值为，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题等知识，综合性极强的压轴题，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，利用数形结合思想进行灵活运用所学相关知识进行解决问题．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.8
83.5
b
94
八年级
85.8
a
84
102