北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.2有理数和数轴【九大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.2 有理数和数轴【九大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9063" 【题型1 有理数的相关概念】  PAGEREF _Toc9063 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3140" 【题型2 有理数的分类】  PAGEREF _Toc3140 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc24307" 【题型3 数轴的三要素及其画法】  PAGEREF _Toc24307 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2243" 【题型4 用数轴上的点表示有理数】  PAGEREF _Toc2243 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2221" 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】  PAGEREF _Toc2221 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10251" 【题型6 数轴上两点之间的距离】  PAGEREF _Toc10251 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26382" 【题型7 数轴上的整点问题】  PAGEREF _Toc26382 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc9056" 【题型8 数轴中点的简单移动】  PAGEREF _Toc9056 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20553" 【题型9 应用数轴解决实际问题】  PAGEREF _Toc20553 \h 7知识点1：有理数的相关概念1）整数：正整数、、负整数统称为整数。2）分数：正分数、负分数统称为分数。正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；整数和分数统称为有理数。有理数的两种分类：【题型1 有理数的相关概念】【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（    ）A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（    ）A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　）A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合C．0既不属于整数也不属于分数D．整数和分数统称为有理数【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；⑥带“−”号的数一定是负数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；其中错误的说法的个数为（    ）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【题型2 有理数的分类】【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，92，−0.2，10%，8，其中说法错误的是（    ）A．−5，0，8都是整数 B．分数有92，−0.2，10%C．正数有92，10%，8 D．−0.2是负有理数，但不是分数【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.987及下列判断：①这个数不是分数，但是有理数；②这个数是负数，也是分数；③这个数不是有理数；④这个数是负小数，也是负分数.其中正确判断的序号是 ．【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在−π3，3.1415，0，−0.333…，−227，2.010010001…中，非负数的个数（   ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，π，0，1317，0.03，−312，10，25%．正有理数集合{               …}；非负整数集合{                  …}；整数集合{                 …}；正分数集合{                 …}．知识点2：数轴数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。2）数轴的画法①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。3）有理数与数轴的关系①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。【题型3 数轴的三要素及其画法】【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ）A． B．C． D．【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）    A．数轴是以小明所在的位置为原点B．数轴采用向北为正方向C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53D．小颖和小红间的距离为7【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ）A．原点位置可以是数轴上任意一点B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．【题型4 用数轴上的点表示有理数】【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（    ）A．2024 B．−2024 C．12024 D．−12024【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．【题型5 利用数轴比较有理数的大小】【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ）A．a<0 B．b>0 C．a>0 D．a0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。【题型3 数轴的三要素及其画法】【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；B、正确；C、不正确，错误原因：缺少正方向；D、不正确，错误原因：缺少了原点．故选：A．【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）    A．数轴是以小明所在的位置为原点B．数轴采用向北为正方向C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53D．小颖和小红间的距离为7【答案】C【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断．【详解】解：A.小明所在的位置表示数0，故此项结论正确；B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确；C.小刚所在的之位置对应的数在−3与−2之间，而−53在−2与−1之间，故此项结论错误；D.小颖和小红间的距离为2−−5=7，故此项结论正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键．【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ）A．原点位置可以是数轴上任意一点B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm【答案】D【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，对给出的选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向，故选项D不正确． 故选：D．【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键．【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．【答案】−2【分析】由AC长度是6.4厘米求出数轴的单位长度是0.8厘米，再由AB的长度是2.4cm，即可求解．【详解】解：∵6.4÷3−(−5)=0.8cm，∴数轴的单位长度是0.8厘米，∵2.4÷0.8=3，∴在数轴上A,B的距离是3个单位长度，∴点B所对应的数b为−5+3=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．【题型4 用数轴上的点表示有理数】【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．【答案】−3【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为−3，满足“到原点的距离大于2，还是负数”故答案为：−3【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（    ）A．2024 B．−2024 C．12024 D．−12024【答案】B【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，∴OB=2024，∴点B表示的数是−2024，故选：A．【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是−1，再根据有理数加法计算法则求解即可．【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是−1，∴比数轴上的点A表示的数大1的数是−1+1=0，故选：A．【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．【答案】±4【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案．【详解】解：在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ±4，故答案为：±4．【题型5 利用数轴比较有理数的大小】【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ）A．a<0 B．b>0 C．a>0 D．a