广东省深圳外国语学校2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)

这是一份广东省深圳外国语学校2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了 一元二次方程的解是， 下列说法正确的是， 已知二次函数，下列结论等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：，
，
∴，
，
故选：C．
2. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过三点可以作一个圆
B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C. 同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等
D. 相等的圆心角所对的弧相等
答案：C
解析：
详解：解：A、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误；
B、三角形外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B错误；
C、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C正确；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误．
故选：C．
4. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， csB＝，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定
答案：B
解析：
详解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，csB=，
∴∠A=∠B=30°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选B
5. 已知的半径为，，则点和的位置关系是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 无法判断
答案：C
解析：
详解：解：∵的半径为，，
∴的半径，
∴点和的位置关系是点在圆外．
故选：C
6. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（ ）
A. 向上平移1个单位长度B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度
答案：C
解析：
详解：解：，它的图象是由的图象向左平移一个单位得到的；
故选C．
7. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
答案：B
解析：
详解：解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论：
①的大小始终不变；
②始终经过原点O；
③半径的长是时间t的一次函数；
④圆心的运动轨迹是一条抛物线；
⑤始终平行于直线．
其中正确的有（ ）
A. ①②③④B. ①②⑤C. ②③⑤D. ①②③⑤
答案：D
解析：
详解：解：依题意，
∴，
∴的大小始终不变，故①正确；
如图，连接，
∴，
∴始终经过原点O，故②正确
∵
∴半径的长是时间t的一次函数，故③正确；
∵
∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵，，
设直线的解析式为,
则，
解得：，
∴直线的解析式为
∴始终平行于直线，故⑤正确．
故选：D
10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 二次函数的顶点坐标是_____．
答案：
解析：
详解：解：∵二次函数的顶点式为，
∴其顶点坐标为．
故答案为：．
12. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．

答案：10
解析：
详解：解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）

答案：2.7．
解析：
详解：解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．

△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
14. 如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则________°．

答案：66
解析：
详解：解：连接，如图所示：

∵是的直径，且是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：66．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．CA=CB=3，点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'．则BC'的最小值为___．
答案：3-3
解析：
详解：∵∠C=90°,CA=CB=3,∴AB==3.
由折叠的性质可知AC=AC'=3,
∵BC'≥AB-AC',
∴当A,C',B三点在同一条直线上时,BC'取最小值,最小值即为BC'=AB-AC'=3-3.
三．解答题（共55分）
16. 计算：．
答案：
解析：
详解：解：原式
．
17. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π）
答案：
解析：
详解：解：∵，
∴，
在中，由勾股定理，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
∴公路的转弯处的长为．
18. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

答案：点离地面的高度升高了，升高了．
解析：
详解：解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形矩形，
∴，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
19. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
答案：（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
解析：
详解：解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为cm，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
20. 如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
答案：（1）相切，证明见详解
（2）6
解析：
小问1详解：
证明：连接OB，如图所示：
，
，，
，
，
，即，
，
，
为半径，经过点O，
直线与的位置关系是相切．
小问2详解：
分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
21. 问题提出：如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
初步尝试：如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
问题联想：如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
问题再解：如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
答案：见解析
解析：
详解：初步尝试：如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；
问题联想：如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
问题再解：如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．
22. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
（1）如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
答案：（1）①；②；
（2）见解析； （3）见解析
解析：
小问1详解：
解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，

，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
小问2详解：
证明：延长交圆于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
小问3详解：
证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．