四川省泸州市合江县第五片区2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份四川省泸州市合江县第五片区2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、是一元一次方程，故不合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
2. 下列四个图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A.不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B不.是中心对称图形，本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，本选项符合题意.
故选D．
3. 一元二次方程的解为（ ）
A. B. C. 或D. 且
答案：C
解析：解：
移项得：，
分解因式得：，
解得：或，
故选：C．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：，
故选：B．
5. 把二次函数通过配方，化成的形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：
，
故选：C．
6. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
答案：C
解析：解：由题意知：，，
∴且．
故选：C．
7. 关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标为
D. 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
答案：D
解析：解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
答案：A
解析：解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
9. 若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A. x＝1B. x＝1或﹣4
C. x1＝1，x2＝﹣3D. x1＝﹣1，x2＝﹣2
答案：C
解析：解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-3，x2=1．
故选：C．
10. 我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )
A. B.
C D.
答案：C
解析：根据题意得：2021年我国GDP约为万亿元，
2022年我国GDP约为万亿元，
∴可列方程为．
故选C．
11. 如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：解：∵
∴
解得，
∴的两个直角边的边长为1，3，
当两边都是直角边，，
当是斜边时，另一直角边，
，
综上所述：的面积为或．
故选D．
12. 抛物线交x轴于点．下列结论：①；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：解：如图，
①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．故①正确；
②．
∴，
二次函数与轴交于点、．
，，
，
．故②错误；
③，
抛物线开口向下．
时，二次函数有最大值．
．
即．故③正确；
④由图象可得，．
当时，则，解得，
当时，则，解得
故是等腰三角形时，或，故④正确；
⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，
∴开口向下，
∵，，
∴点E在点F左侧，中点横坐标为，
则中点在对称轴右侧，
∴点比更接近对称轴，
，故⑤正确；
故正确的为①③④⑤．
故选：C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为___________．
答案：
解析：解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故答案为：．
14. 已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是___．
答案：且
解析：解：由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
15. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是_____．（填序号）
①；②；③；④．
答案：③
解析：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
∵，
∴．
将代入，得，
即，
∴，
∴．
故填③．
16. 已知a，b是关于x一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____．
答案：7
解析：解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为7．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
答案：
解析：解：原式
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：∵，
∴，
则或，
解得，．
小问2解析：
∵，
，
∴，
则或，
解得，．
19. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：解：
，
当时，原式．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）画出绕点O按逆时针方向旋转所得到的；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出的面积．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）2
小问1解析：
解：如图，即为所求；
小问2解析：
如图，即为所求；
小问3解析：
的面积．
21. 已知，，是一元二次方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1）
（2）
（3）
小问1解析：
∵，，是一元二次方程的两根，
∴，．
；
小问2解析：
；
小问3解析：
．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22. 已知关于x的方程
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）存在，
小问1解析：
，，方程有两个实数根，
△，即△，
．
小问2解析：
存在使方程的两个实数根的平方和等于224．
，
，
即：，
解得：，，
又，
∴
当=-2时，方程的两个实数根的平方和等于224．
23. 如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）若D为抛物线的顶点，连接、，求的面积．
答案：（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为
（2）的面积为15
（1）把和，分别代入，求解即可得抛物线解析式；再由抛物线解析式求出点C坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可．
（2）先根据抛物线解析式，求得顶点D坐标，再过点D作于E，然后根据求解即可．
小问1解析：
解：把和，分别代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
∴，
设直线的解析式的解析式为，
把、分别代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为．
小问2解析：
解：∵
∴抛物线的顶点，
过点D作于E，如图，
∴，
∵，，，
∴
．
答：的面积为15．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
答案：（1）；（2）70元；（3）80元．
解析：解：（1）∵依题意得，
∴与的函数关系式为；
（2）∵依题意得，
即，
解得：，，
∵
∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
（3）设每月总利润为，依题意得
∵，此图象开口向下
∴当时， 有最大值为：（元），
∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．
25. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE＝PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
答案：（1）y=x2+2x﹣3；（2）（﹣2，﹣2）；（3）（，0），（，0），（ ，0），（，0）．
解析：解：（1）∵抛物线的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC=PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，
∴P（﹣2，﹣2）；
（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，
必有FM=MG，
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，
∴d=或d=，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．