浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）
A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42
C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ）
①二面角的大小为常数
②二面角的大小为常数
③二面角的大小为常数
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ）
A. 极差变大B. 中位数不变
C 平均数变小D. 方差变大
10. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形
D. 若，则的最大值是
11. 四面体中，，记四面体外接球的表面积为，当变化时，则（ ）
A. 当时，B. 当四面体体积最大时，
C. 可以是D. 可以是
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
13. 已知，且，则的最小值为______．
14. 在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______．
四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15. 已知，，．
（1）当时求集合；
（2）若，求的取值范围．
16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；
（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（3）估计这100名志愿者服务时间第75百分位数（结果保留两位小数）．
17 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
18. 如图，已知四棱锥中，，，，且，
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积．
19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设．
（1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
（2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值；
（3）当时，设，已知上有两个零点，证明：．