浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟：
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
4. 已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到的图象
A B. C. D.
6. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（ ）
A. B. 3C. D.
8. 正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中
B. 数据1，9，4，5，16，7，11，3第75百分位数为9
C. 线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱
D 已知随机变量，则
10. 设函数与其导函数f′x的定义域均为，且为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正项数列满足记，． 则（ ）
A. 是递减数列B.
C. 存在使得D.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 的展开式中，常数项为______．
13. 已知正实数满足，则的取值范围是______．
14. 将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在中，角所对的边分别为，且满足，；
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 已知三棱锥满足， 且．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值，
17. 已知函数．
（1）判断函数的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线y=fx与y=gx的所有公切线方程.
18. 如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两 点，点在轴下方，且在线段上．
（1）试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，
19. 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．