苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.8有理数的乘方【十大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.8 有理数的乘方【十大题型】 【苏科版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc4804" 【题型1 乘方运算的符号规律】  PAGEREF _Toc4804 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc32067" 【题型2 乘方的逆运算（简算）】  PAGEREF _Toc32067 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5893" 【题型3 乘方中的程序流程图问题】  PAGEREF _Toc5893 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc9841" 【题型4 乘方中的整除问题】  PAGEREF _Toc9841 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26822" 【题型5 乘方中的进制问题】  PAGEREF _Toc26822 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31721" 【题型6 乘方中的末尾数字问题】  PAGEREF _Toc31721 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28747" 【题型7 乘方中的规律探究】  PAGEREF _Toc28747 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5425" 【题型8 算“24”点】  PAGEREF _Toc5425 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15884" 【题型5 乘方的实际应用】  PAGEREF _Toc15884 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25541" 【题型10 乘方中的新定义问题】  PAGEREF _Toc25541 \h 8知识点：有理数的乘方1. 有理数的乘方一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。【题型1 乘方运算的符号规律】【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（    ）A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(−2)3=−8，−23=−8；(−3)3=−27，−33=−27；(−4)3=−64，−43=−64．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a表示的式子：①当a<0时，a3=(−a)3；②当a>0时，−a3=(−a)3．其中表示的规律正确的是（    ）A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数有（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①a2=(−a)2；②a3=(−a)3；③−a2=−a2；④a3=a3．一定成立的有(    )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2 乘方的逆运算（简算）】【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：①3×52与32×52；    ②−2×32与−22×32；（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果x5=−32，y3=8那么xy= ．【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=p，则126×36的值可以表示为（    ）A．16p B．p−5 C．p−6 D．15p【变式2-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）62=36,2×32=22×32=4×5=36，由此你能算出236×1233=（    ）A．6 B．8 C．18 D．十分麻烦【题型3 乘方中的程序流程图问题】【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．(1)当小可选择了4，小佳选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；(2)当小可选择了−2，小佳选择了D→C→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请通过计算判断小佳选择的顺序．【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求出当输入的x与y满足x+1+y-122=0时的值．【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．(1)当输入a=−5,b=−3吋，求输出M的值为多少？(2)若a=−3,M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值．【题型4 乘方中的整除问题】【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）−82024+−82023能被下列哪个数整除？（    ）A．3 B．5 C．7 D．5【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（    ）整除A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，5时，n2,n3,n4的个位数如表所示：在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除．【题型5 乘方中的进制问题】【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于55的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为 ．【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ）A．34 B．154 C．1234 D．6154【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20=5，同样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30=11．现有二进制数a=(11101)2、三进制数b=(1010)3，那么a、b的大小关系是（    ）．A．a0时，−a3=(−a)3．其中表示的规律正确的是（    ）A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确【答案】A【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．【详解】解：由三组数的运算得：(−2)3=−8=−23=−−(−2)3，(−3)3=−27=−33=−−(−3)3，(−4)3=−64=−43=−−(−4)3，归纳类推得：当a<0时，a3=−(−a)3，式子①错误；由三组数的运算得：−23=−8=(−2)3，−33=−27=(−3)3，−43=−64=(−4)3，归纳类推得：当a>0时，−a3=(−a)3，式子②正确；故选：B．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数有（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算即可得出答案．【详解】解：计算出结果：（-1）2018=1|-2|=2-（-1.5）=1.5-32=-5根据计算答案可知正数有3个，【点睛】本题主要考查有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义及求解方法．【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①a2=(−a)2；②a3=(−a)3；③−a2=−a2；④a3=a3．一定成立的有(    )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题.【详解】①a2=(−a)2，一定成立；②a3=(−a)3，当a为正数时，该等式不成立；③−a2=−a2，a为正数或负数时，该等式不成立；④a3=a3，当a为负数时，该等式不成立；一定成立的有①，共1个故选A【点睛】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是解题关键.【题型2 乘方的逆运算（简算）】【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：①3×52与32×52；    ②−2×32与−22×32；（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）ab3=a3b3；（3）abn=anbn；理由见解析；（4）0.25【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方abn的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为a⋅a·⋯·an个a相乘和b⋅b·⋯·bn个b相乘的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）①3×52=152=225，32×52=5×25=225；②−2×32=−62=36，−22×32=4×5=36；（2）ab3=a3b3；（3）abn=anbn，理由如下：abn=ab⋅ab·⋯·abn个ab相乘=a⋅a·⋯·an个a相乘⋅b⋅b·⋯·bn个b相乘=anbn；（4）−42022×0.252023=−42022×0.252022×0.25=−4×0.252022×0.25=−12022×0.25=0.25．【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果x5=−32，y3=8那么xy= ．【答案】4【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的−32相当于−2的5次方，由此可以求出x的值为−2．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出xy的值．【详解】解：∵−32=−25，∴x5=−25，∴x=−2．∵23=8，∴y=2，因此xy=(−2)2=4．故答案为：4．【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=p，则126×36的值可以表示为（    ）A．16p B．p−5 C．p−6 D．15p【答案】B【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．【详解】∵126×38=p,∴126×36×32=p,∴126×36×5=p,∴126×36=15p，故选：D．【变式2-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）62=36,2×32=22×32=4×5=36，由此你能算出236×1233=（    ）A．6 B．8 C．18 D．十分麻烦【答案】A【分析】先把原式变形为233×1233×23，从而得到2×1233×23，即可求解．【详解】解：236×1233=233×23×1233=233×1233×23=2×1233×23=133×23＝1×8＝8故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．【题型3 乘方中的程序流程图问题】【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．(1)当小可选择了4，小佳选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；(2)当小可选择了−2，小佳选择了D→C→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请通过计算判断小佳选择的顺序．【答案】(1)算式：[4+3−2×−3]2，结果是225；(2)小佳选择了D→C→B→A，计算见解析．【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算：（1）按照选择的顺序列式计算即可；（2）按照D→C→A→B，D→C→B→A两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是−3即可．【详解】（1）解：由题意，算式为：[4+3−2×−3]2，[4+3−2×−3]2=5×−32=(−15)2=225；（2）解：若选择D→C→A→B，可得：(−2)2−2+3×−3=4−2+3×−3=5×−3=−15；若选择D→C→B→A，可得：(−2)2−2×−3+3=4−2×−3+3=2×−3+3=−6+3=−3；∵列式计算的结果刚好为−3，∴小佳选择了D→C→B→A．【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求出当输入的x与y满足x+1+y-122=0时的值．【答案】x2+2y+1÷2，原式=32【分析】根据绝对值的非负性和偶次幂的非负性求出x、y，代入计算流程图计算即可得解．【详解】∵x+1+y-122=0，∵x+1≥0，y-122≥0，∴x+1=0，y-122=0，∴x+1=0，y-12=0，∴x=-1，y=12，根据计算流程图可以列式为：x2+2y+1÷2，将x=-1，y=12代入流程图式子中，有x2+2y+1÷2=-12+2×12+1÷2=3÷2=32，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值的非负性和偶次幂的非负性的知识，求出x、y的值是解答本题的关键．【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．【答案】320【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键．【详解】解：把20代入程序中得：20×−12÷−−122=20×12÷−14=−40，把−40代入程序中得：−40×−12÷−−122=−40×12÷−14=80，把80代入程序中得：80×−12÷−−122=80×12÷−14=−160，把−160代入程序中得：−160×−12÷−−122=−160×12÷−14=320>100，则最后输出的结果为320．【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．(1)当输入a=−5,b=−3吋，求输出M的值为多少？(2)若a=−3,M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值．【答案】(1)34(2)b=1（答案不唯一，符合要求即可）【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键．（1）由题意知，b2=5，−a=5，由b2>−a，可知M=a2−3b=−52−3×−3，计算求解即可；（2）由题意知，−a=3，当b=1时，b2<−a，可知M=a−b+3=−3−1+3=7>4，进而可知，b=1符合要求．【详解】（1）解：由题意知，b2=5，−a=5，∵b2>−a，∴M=a2−3b=−52−3×−3=34，∴输出M的值为34；（2）解：由题意知，−a=3，当b=1时，b2=1，且b2<−a，∴M=a−b+3=−3−1+3=7>4，∴b=1符合条件．【题型4 乘方中的整除问题】【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）−82024+−82023能被下列哪个数整除？（    ）A．3 B．5 C．7 D．5【答案】C【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出−82024+−82023=7×82023，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：−82024+−82023=−82023×−8+−82023=−82023×−8+1=7×82023，∴能被7整除，故选：C．【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．【答案】理由见解析．【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将257进行变形，再提取公因子513，由此即可得出答案．【详解】257+513=(52)7+513=514+513=513×(5+1)=6×513则(257+513)÷30=(6×513)÷30=512因为512是整数所以257+513能被30整除．【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（    ）整除A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【答案】A【分析】根据乘法分配律的逆运算得到2022×2023，即可得出结论．【详解】解：20232−2023=2023×2023−2023=2023−1×2023=2022×2023，∴20232−2023一定能被2022整除，故选：B．【点睛】本题主要考查的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆运算．【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，5时，n2,n3,n4的个位数如表所示：在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除．【答案】10、11、13【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除【详解】根据表格中的规律，可得下表：由表格知道，当n=10、11、13时，2001n+2002n+2003n+2004n的个位数字都是0，能够被5整除故答案为：10、11、13【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.【题型5 乘方中的进制问题】【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于55的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为 ．【答案】3723【分析】根据题意，可以用十进制表示出楔形文记数．【详解】解：楔形文记数表示十进制的数为：1×602+2×60+3＝3600+120+3=3723，故答案为：3723．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法．【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ）A．34 B．154 C．1234 D．6154【答案】A【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可．【详解】解：1×53+2×52+3×5+4=154．【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20=5，同样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30=11．现有二进制数a=(11101)2、三进制数b=(1010)3，那么a、b的大小关系是（    ）．A．a