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专题05 复数(四大题型)-【中职专用】中职高二数学题型精析通关练(高教版2023·拓展模块一上册)
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专题05 复数题型一 复数的概念【频次0.3,难度0.3】例1 “”是“复数是纯虚数”的( )条件.A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】A【分析】根据纯虚数定义,得到a,b条件,可解.【详解】复数是纯虚数,则.则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件.故答案为:A.变式1 已知复数,其中,是虚数单位,若为纯虚数,则的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.-1或1【答案】C【分析】利用复数的定义直接列式计算作答.【详解】依题意,,解得,所以的值为1.故选:C例2 若复数z的共轭复数记作,且复数满足其中i为虚数单位,所以的虚部为( )A. B. C. D.2【答案】D【解析】设,,利用复数相等可得到a,b,进一步可得共轭复数.【详解】设,则,,所以,,所以,故,所以的虚部为2.故选:D.变式2 “”是“复数与复数相等”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据复数相等的相关性质得出结果.【详解】若复数与复数相等,则,,故“”不能得出“复数与复数相等”,“复数与复数相等”可以得出“”,“”是“复数与复数相等”的必要不充分条件,故选:B.题型二 复数的几何意义【频次0.3,难度0.3】例3 设,则在复平面内的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先求,再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.【详解】因为,所以,故复数对应的点为,该点在第四象限,故选:D.变式3 复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上,则=( )A.1 B.C.1或 D.0【答案】A【分析】先求出复数在得平面内对应的点,再将点的坐标代入中可求出答案【详解】复数在复平面内对应的点为,因为复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上,所以,故选:A.例4 已知为复平面中直角坐标系的坐标原点,向量,则点对应的复数为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据给定条件,利用复数的几何意义直接求解作答.【详解】因为复平面中直角坐标系的坐标原点,向量,则点对应的复数为.故选:B变式4 已知,则( )A.1 B. C.2 D.【答案】D【分析】根据复数的模计算公式计算可得.【详解】因为,所以.故选:D题型三 复数的加减【频次0.8,难度0.4】例5 已知,,则( )A.4 B. C. D.【答案】D【分析】根据复数加法法则,实部和虚部分别相加即可得出结果.【详解】由,得,,故选:D.变式5 已知,,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据复数的减法法则运算即可求解.【详解】.故选:C例6 已知复数满足,则的最大值为( )A. B. C.4 D.【答案】B【分析】由复数减法的几何意义得即可得出答案.【详解】因为,所以,所以,所以的最大值为.故选:B变式6 ( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.【详解】.故选:A.例7 设z1=2+b,z2=a+,当z1+z2=0时,复数a+b为( )A.1+ B.2+C.3 D.【答案】D【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0,即可求,写出复数a+b即可.【详解】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0,所以于是故.故选:D.变式7 复数,,其中,为实数,若为实数,为纯虚数,则( )A. B. C.6 D.7【答案】A【分析】由复数运算和分类可解.【详解】由题意,,因为为实数,为纯虚数,所以,得,所以.故选:A.例8 ( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用复数的加法运算直接计算作答.【详解】.故选:A变式8 设,则( )A.0 B.1 C. D.2【答案】C【分析】首先求出,再根据复数模的计算公式计算可得;【详解】解:因为,所以,所以;故选:C题型四 复数的乘除【频次0.8,难度0.4】例9 已知,则复数的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用直接化简即可.【详解】,所以.故选:C.变式9 若,其中是实数,则的值为( )A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】B【分析】由所给等式可得,化简复数,由复数相等的充要条件可求得a、b,相加即可.【详解】由,得,所以,,则.故选:B例10 复数满足,则复数的共轭复数的虚部为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用复数的乘除运算求出复数的代数形式,再求出其共轭复数,确认其虚部即可.【详解】因为,所以,其虚部为.故选A.变式10 已知复数z满足,则z的实部为( )A.1 B. C.2 D.【答案】B【分析】先根据复数的四则运算法则化简z,再利用复数的概念进行求解.【详解】由,得,则复数z的实部是.故选:B.例11 ( )A.1 B.C.i D.【答案】C【分析】由复数的除法运算直接计算可得.【详解】.故选:C.变式11 若复数为纯虚数,其中,为虚数单位,则( )A. B. C.1 D.【答案】A【分析】由复数概念求出参数,结合复数四则运算即可求解.【详解】由是纯虚数可知,所以,故选:A例12 已知复数,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.【详解】.故选:B.变式12 设复数,则它的共轭复数的虚部为( )A. B. C. D.1【答案】D【分析】根据复数乘方、乘法、共轭复数、虚部等知识求得正确答案.【详解】由,可得,所以它的共轭复数的虚部为1.故选:D