湖北省武汉市华中师大第一附属中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：施一帆 审题人：钟涛
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为（ ）
A B.
C. D. 或
2. 已知点，是空间直角坐标系中的两点，点关于平面对称的点为，线段的中点与点的距离为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（ ）

A. －B.
C. －D.
5. 若，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（ ）

A. 1B. C. D.
7. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ）
A. 先增大再减小B. 减小C. 增大D. 先减小再增大
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的为（ ）
A. 若与共面，则存在实数，使
B. 若存在实数，使向量，则与共面
C. 若点四点共面，则存在实数，使
D. 若存在实数，使，则点四点共面
10. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平面内，那么下列说法中正确的有（ ）
A B.
C. D.
11. 点，，不在同一条直线上，点在平面外，则下列的表示中，对应的点在中的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点C与点G到平面的距离相等
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 空间点，，，若，则的最小值为______.
14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________．
15. 三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，则该三棱锥的外接球球心的坐标表示是______.
16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 在空间直角坐标系中，已知点和.
（1）要使为锐角三角形，求所有符合条件的实数组成的集合；
（2）取何值时，面积最小
18. 用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理的逆定理）
19. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是线段，的中点.

（1）求直线与直线间的距离；
（2）求三棱锥的体积.
20. 如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．
（1）证明：平面；
（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上点，.

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面夹角余弦值.
22. 如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．