[数学]河南省五育联盟——巅峰计划2025届高三上学期第一次综合检测月考试题(解析版)

这是一份[数学]河南省五育联盟——巅峰计划2025届高三上学期第一次综合检测月考试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，且在复平面内对应的点关于原点的对称点位于第二象限，则的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，即.
在复平面内对应的点关于原点的对称点为，
所以，即.
由选项可知，B正确，ACD错误；
故选：B.
2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线垂直，则，
即，解得或，
因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.
3.已知向量，则的最大值为（ ）
A. 6B. 4C. D.
【答案】C
【解析】由，得，，
由，
得
，
因为，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
故选：C.
4.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】由题意得，，所以，
则
，
当且仅当时，即等号成立，
故当时，取到最小值.
故的最小值为.
故选：C.
5.过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点Ax1,y1,Bx2,y2，
则由导数几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.
故选：D.
6.根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ）
A. 存在和，使得不变
B. 存在和，使得变为原来的2倍
C. 若，则最多可变为原来的2倍
D. 若，则最多可变为原来的2倍
【答案】D
【解析】因为，
所以当不变，与均变为原来的2倍时，，
对于A，若不变，则，所以，
因为，所以上式无解，
所以不存在和，使得不变，所以A错误，
对于B，若变为原来的2倍，则，所以，
当，时，，所以，
所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误，
对于C，若，则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误，
对于D，由，得，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确.
故选：D.
7.已知定义域为的函数满足：①对任意，有恒成立；②若，则．下列说法不正确的是（ ）
A. 在上是严格增函数
B. 若，则
C. 函数经过原点
D. 函数的图象与轴重合
【答案】A
【解析】对于A：不妨设，满足题设条件，但此时在上是严格减函数，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：令，，故C正确；
对于D：，即，
函数的图象与轴重合，故D正确；
故选：A.
8.已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不妨设中斜边为，，则，
则，，
对折叠后的四面体，有，
，，
则
，

对折叠后的四面体，作于点，
由为中点，则，
则，
故，
，

对折叠后的四面体，作于点，
有，由，
则，
整理得，又，
则
，

则有，
，
由，则，，
故，，即.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）
A. 定义域为
B.
C. 与正切函数有相同的对称中心
D. 将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象
【答案】BCD
【解析】对于A：由正切函数的定义域可知，即，
所以余切函数定义域为，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为的对称中心为，
令，解得，
由，可知，即的对称中心为，
故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；
的图象向右平移个单位可得，
故D正确.
故选：BCD.
10.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由题设，不超过40的素数有共12个，
从中任意取两个不同的素数、：有11个，有10个，有9个，
有8个，有7个，有6个，有5个，
有4个，有3个，有2个，有1个，
所以共有个样本点；
共5个样本点；
共4个样本点；
共11个样本点；
所以，
显然，.
故选：ABC.
11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，
即方程成立，
可得成立，
即点关于原点的对称点也适合曲线方程，
所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；
B项，方程可化为，
令，则方程，
由判别式，可得，
若是整数，则.
令，，解得或3或，有三个整点，，；
令，，解得或5，此时无整点；
所以曲线共经过3个整点，故B错误；
C项，设曲线C上任一点，
当为原点时，到原点的距离为，满足题意；
当不为原点时，，
则由可得，，
所以点到原点的距离，且；
综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确；
D项，直线恒过原点，且曲线C经过，
则直线与曲线至少一个公共点，
又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立，
消得，
当时，方程仅一解，满足题意；
当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，
当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；
综上，，解得或，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有________种．
【答案】
【解析】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；
③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种；
综上所述：共种.
13.已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为______．
【答案】
【解析】由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上，
设的中垂线，中点为，
设直线与椭圆交点，
联立消得，，
由韦达定理得，，
故，又点在直线上，则，解得，
联立，解得，所以所求圆的圆心为.
14.已知且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，
则，，
令，
则，
由，，
知，即恒成立，
又由，即当且仅当时等号成立，
由，故当时等号取到，
所以，
当，即时，取最小值，且最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包．
已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为元.
（1）求的分布列；
（2）若，求值．
解：（1）甲通过方案一抽取红包，由题意得的所有可能取值为.
所以，，
，，，
所以的分布列为：
乙通过方案二抽取红包，由题意得的所有可能取值为，
所以，，
，，，
所以的分布列为：
（2）由（1）分布列可得．
乙通过方案二抽取红包，抽取次，记抽中元红包的次数为，则，
由题意知，则，
所以，又，所以，解得．
16.如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．
解：（1）由题意知；
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
三棱锥为直三棱柱，平面，
又平面，；
，平面，平面，
平面，则，且.
以为坐标原点，以正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知，点到平面的距离为，则，
，，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，解得，令，得，；
设平面的法向量n=a,b,c，
则，解得，令，得，；
，
设平面与平面夹角为，则
则平面与平面夹角的正弦值为.
17.已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．
（1）求曲线M的方程；
（2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．
解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为.
（2）设，，
显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为，
联立，整理得，
其中，
由韦达定理得：，，
所以的面积
，
当时，，
所以的面积的最小值为.
18.已知函数，圆．
（1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；
（2）若曲线与圆C恰有三条公切线．
(i)求b的取值范围；
(ii)证明：曲线上存在点，对任意，．
解：（1）设f(x)的切线的切点为，
∵，∴切线斜率为，
∴切线方程为，即，
当b＝1时，圆的圆心为，半径为，
当f(x)的切线也是圆的切线时，，
即，
易知是该方程的一个根，此时切线方程为．
（2）(i)设曲线与圆公切线的方程为(显然，l斜率存在)，
∵与曲线相切，故，
∴切点为，，即，即，
∵与圆相切，∴，即，
∴，
令，
则，
设，则，
易证明：lnx≤x-1．
①当时，∵在上单调递增，在上单调递减；
∴，
∵，，
；
∴存在，，使得．
∴，，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
∵，且，
又∵，
且，
∴存在，使得，
∴当时，曲线与圆恰有三条公切线；
②当时，∵；
∴存在，使得，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
∴，且，
∴不可能存在三个零点；
③当时，；∴在上单调递减，最多一个零点；
∴最多一个极值点，不可能有三个零点；
综上，若曲线与圆恰有三条公切线，则的取值范围为．
(ii)函数的零点，
即方程的解，
即曲线和曲线交点的横坐标，
结合图象，
显然存在，使得成立，
∴对任意恒成立．
19.约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.
设正整数有个正约数，即为.
（1）当时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
解：（1）存在. 若为质数，则正整数的所有正约数为，
它们构成等比数列，满足题意.
比如：为16的所有约数，它们构成等比数列；
为27的所有约数，它们构成等比数列；
为25的所有约数，它们构成等比数列.
故为满足题意的正整数.
（2）由题意，的所有正约数为，且，
则有是的最小约数，本身是的最大约数，
即，.
，至少个约数，即除外，至少还有个约数，
则可写成两个约数之积的形式，所以，
由构成等比数列，
可知，
，化简可得，
则，又是正整数，
因此可知是完全平方数，且是正整数a的最小非1的正约数，
设，其中，
由是的正约数，则是的一个正约数，故，
所以，
故若构成等比数列，
则该等比数列的首项为，公比为，且,
则
，
因此.
（3）当时，若是的所有正约数的一个排列，
则，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.
下面用反证法证明.
证明：假设，，，⋯，是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
由是任意正整数的最小正约数，
由，知，其中，
由，则（），
所以不是的正约数，所以b是奇数，且任意偶数都不是的正约数，
所以为奇数，，故是偶数，又是的正约数，故是偶数，
所以的所有正约数中最大的两个为，即，
则有，
可知的最大正约数为，由任意正整数的最大正约数是其本身，
故，
因为a有k（）个正约数，且，即至少有个正约数，
则的次大正约数，且，
则至少存在一个除本身外大于的正约数，
而由是奇数，有除外的最小正约数，
可得，
则有，即奇数的所有正约数中，不存在除本身外大于的正约数，
这与“至少存在一个除本身外大于的正约数”矛盾.
因此假设不成立，即，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.方案一
4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；
方案二
员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5，每个红包的金额均为a元．
600
800
1000
1200
1400
0