[数学]江苏省如皋市2025届高三上学期开学能力测评试卷(解析版)

这是一份[数学]江苏省如皋市2025届高三上学期开学能力测评试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了 复数的实部与虚部分别为， 若和都为基底，则不可以为， 若，集合，则满足， 若方程的两实数解满足，则等内容，欢迎下载使用。

1. 复数的实部与虚部分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以复数的实部与虚部分别为.
故选：A.
2. 若和都为基底，则不可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若不是一组基底，
则可设，
对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；
对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；
对于C，若，则，解得：，
不是一组基底，C正确；
对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.
故选：C.
3. 若，集合，则满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；
B．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；
C．若，即，如果，不满足元素的互异性，不成立，如果，不满足条件，故选项正确，符合题意；
D．至少有元素3，故，故选项错误，不符合题意；
故选：C.
4. 已知实数，则使和最小的实数分别为的（ ）
A. 平均数；平均数B. 平均数；中位数
C. 中位数；平均数D. 标准差；平均数
【答案】C
【解析】，表示2025个绝对值之和，
根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，
因为2025为奇数，所以取的中位数时，有最小值；
为关于的一元二次函数，
故当时，有最小值，
即为的平均数时，有最小值.
故选：C.
5. 在等差数列中，若，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 满足的的最大值为
【答案】D
【解析】设等差数列an的公差为，则，解得：；
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，
当或时，，C正确；
对于D，由得：，
又，满足的的最大值为，D错误.
故选：D.
6. 若虚数满足，不等常实数满足为定值，则下列说法一定错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，
则
，
因为，故，
所以
，
对于A，假设成立，不妨令，
则代入，
整理得为定值，故可成立；
对于B，假设，则，
代入，
整理得常数，故不成立；
对于C，假设成立，不妨令，
则代入，
整理得为定值，故可成立；
对于D，假设成立，不妨令，
则代入，
整理得为定值，故可成立；
故选：B.
7. 若方程的两实数解满足，则（ ）
A. 存在最小值，存在最大值3
B. 存在最小值，不存在最大值
C. 不存在最小值，存在最大值3
D. 不存在最小值，不存在最大值
【答案】B
【解析】方程，可化为或，
所以或，
若，则没有解或有无数解，
方程至多只有一个根，不满足要求，
若，则没有解或有无数解，
方程至多只有一个根，不满足要求，
若，则或，且且，
所以，，
由已知，所以，
所以，
所以，
所以当，时，取最小值，最小值为，
没有最大值，
故选：B.
8. 若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（ ）
A. B. C. D. 65
【答案】A
【解析】因为数列为公差为6，首项为1的等差数列，
所以
若数列为正项等比数列，，设公比为，
则，
所以数列前5项和为，
设，求导可得，
令，可得，
在上为增函数，
又，
当时，，所以在上为增函数，
又，
所以当,，，，
所以，
当,,
所以则数列前5项和的最小值为.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分.
9. 随机事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A 事件互不独立B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以，而，
所以，所以事件互不独立，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，
，所以，故D正确.故选：ACD.
10. 由不重合的两正四面体和组成六面体分别为上的动点，且.下列说法正确的是（ ）
A. 六面体的体积为
B. 二面角的正切值为
C. 的最小值为
D. 到的距离平方和的最小值为
【答案】BD
【解析】作出示意图如图所示：
由题意可得在平面的射影是的中心，
由正弦定理可得，
在中，可得，
可得，
六面体的体积为，故A错误；
设交于，连接，可证，
从而为二面角的平面角，
由（1）可得，所以，
所以，故B正确；
由题意可得是的动点，可知，故C错误；
由，由，所以平面,
又平面，所以为到的距离，
由（1）可得，设，
由余弦定理可得，
易得到的距离距离为，
所以到的距离平方和为，
所以可得当，到的距离最小值为，故D正确.
故选：BD.
11. 已知圆，圆，圆与圆都相切，记点的轨迹为曲线，点在曲线上.下列说法错误的是（ ）
A. 直线与曲线的交点个数可以为
B. 存在使得直线与曲线只有2个交点
C. 若存在3或6条直线满足，则的取值范围为
D. 若存在4条直线满足，则的取值范围为
【答案】BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为__________.
【答案】
【解析】因为抛物线，所以，
设，由得，所以，
由，，所以，
所以中点的横坐标为.
13. 关于自然数的方程的解的个数为__________.
【答案】75
【解析】由得，
即，
即，
是自然数，则，且，
又，
，即，
方程组的解为，，， ，共有21个解；
，即，
方程组的解为，，， ，共有15个解；
，即，
方程组的解为，，， ，共有13个解；
，即，
方程组的解为，，， ，共有9个解；
，即，
方程组的解为，，， ，共有6个解；
，即，
方程组的解为，，， ，共有5个解；
，即，
方程组的解为，，共有3个解；
，即，
方程组的解为，共有2个解；
，即，
方程组的解为，共有1个解；
所以关于自然数的方程的解的个数为
个.
故答案为：.
14. 已知半径为1的球面上有不重合的四点，则和的取值范围分别为__________和__________.
【答案】
【解析】
设三角形三个内角分别为，
此时三边平方和为，
当且时等号成立，即时取等号，
所以
又不重合，所以最大取不到零，
所以的取值范围为：.
，
所以
所以当同向且模长最大为球的直径时，即，取得最小值为，
但是四点是球面上不重合的四点，所以不能取等号，
当反向时，取得最大值为，
故的取值范围为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程.
15. 在四棱锥中，，，，平面为中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）取中点，连接，
由于为中点，平面，
则平面，
则，而，
则平面，而
则，
所以四棱锥的体积；
（2）由平面，可得两两垂直，
所以以为坐标原点，方向为正半轴方向建立如图空间直角坐标系，
设平面与平面的一个法向量分别为，
由于，
且，令，则，
，令，则
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角余弦值为.
16. 在中，内角满足.
（1）求角A的大小；
（2）若上有一点满足，且，求的值.
解：（1）因为，
所以，
即，
故由正弦定理得，
所以根据余弦定理有，又，所以
（2）由题可设，
由于，故由（1）得，且，
所以由正弦定理得，
所以，，
所以，即，
化简得，
即，解得实数或（舍），
所以.
17. 已知圆交轴于两点，椭圆以为长轴，椭圆上有一动点，且的最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与分别平分直线与椭圆和圆的交线段，
①证明：存在实数使得恒成立，并求出实数的值；
②求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的最大值.
（1）解：由，令得，不妨令，
则可设椭圆的标准方程为，
设则，，
则，
而，则，得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①证明：显然直线与垂直，设直线，
直线与椭圆交于，
由于直线平分直线与圆的交线段，
则有，
于是，
由于，则
所以存在实数使得恒成立.
②解：令，得，
则直线与椭圆交线长为，
同理可得直线与椭圆的一个交点，
则到直线的距离，
所以四边形面积，
当时，四边形不存，
当时，，
所以四边形面积的最大值为，在时取到.

18. 已知函数.
（1）判断与的大小并证明；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知数列满足，证明：.
（1）解：，有，当且仅当时取等.
证明：要证，即证，
令函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，证毕.
（2）解：若，则，即，
，令函数，由于，
则必有，得，
下面验证的充分性：当时，，
令在上单调递减，
而，则当时，当时，
而，则当时，当时，
此时，
若，则当时，当时，
则此时不能使恒成立，
所以的范围为；
（3）证明：等价于，
故要证明的命题等价于，先证明，
由（2）可得，
即，令，
可得，于是，
所以证毕；
再证明，可以证明，当时，，
当时，，
由（1）可得，则证毕，
所以，证毕.
19. 若数列只由个1和个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0，此后每两个相邻的1之间有奇数个0，则称数列为型布尔数列.
（1）写出所有的型布尔数列和所有的型布尔数列；
（2）记型布尔数列的总个数为；
①证明：，其中且；
②令，其中且，证明：.
（1）解：型布尔数列：、、；
型布尔数列：、、；
（2）证明：①假设已知，考虑值，
由于每一个情况中每个1之前0的个数之和为偶数+奇数，
与的奇偶性相同，
所以的情况不能在每一个情况中改变每个1之前0的个数，
否则会与中的某种情况重复，
则的情况只在每一个情况下加入一项0，
显然只能插入于的最后一个1之后，此时情况总数只有种，
所以.
②考虑以下计算的方法：先在数列中放入个1，再在每两个相邻的1之间放一个0，
此时还剩个0，则以1为隔板放入组2个0构成的一组，
此时情况的总数，
，
则，
证毕.