[数学]江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试试卷(解析版)

这是一份[数学]江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得或，
所以，
又，所以.
故选：C.
2. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），
∵，
∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0，
∴所对应的点在第四象限，
故选：D.
3. 空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作平面个数为（ ）
A. 42B. 56C. 64D. 81
【答案】B
【解析】根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面个数是个.
故选：B.
4. 若直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾角的范围是（ ）
A. [0，]B. [，]
C. [，]D. [，）∪（，）
【答案】C
【解析】当时，方程为，倾斜角为，
当时，直线的斜率，所以，
即，
综上，
故选：C．
5. 在中，，BC边上的高等于,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设
,故选C.
6. 考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】与独立，则，
即，
.
即，故“与独立.反之亦然.
故选：A.
7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2B. 平均数为2，方差为2.4
C. 中位数为3，众数为2D. 中位数为3，方差为2.8
【答案】B
【解析】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差，
则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确；
对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为，
方差为，
可以出现点数6，故D错误；
故选：B．
8. 已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的中点，
所以，
易知，
由点差法可得
，
若，此时，
与双曲线联立，
即lAB与双曲线只有一个交点，故A错误；
若，则此时，
与双曲线联立
，
即lAB与双曲线有两个交点，故B正确；
若，则此时，
与双曲线联立，
即lAB与双曲线有一个交点，故C错误；
若，则此时，
与双曲线联立，显然无解，
即lAB与双曲线没有交点，故D错误；
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【解析】A.由条件可知，，
根据对称性可知，故A错误；
B., ，
所以，故B正确；
C. =，所以，故C正确；
D. ，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10. 半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 平面EAB
B. 该二十四等边体的体积为
C. 该二十四等边体外接球的表面积为
D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】对于A，假设A对，即平面，于是，
，但六边形为正六边形，，矛盾，所以A错误；
对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为，所以B对；
对于C，取正方形对角线交点，
即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为，其表面积为，所以C错误；
对于D，因为在平面内射影为，所以与平面所成角即为，
其正弦值为，所以D对．
故选：BD．
11. 声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 是的最小值
C. 是的零点
D. 在存在极值
【答案】ACD
【解析】对于A选项，函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，且，
因此，函数的最小正周期是，A对；
对于B选项，因为，
又因为，
故不是的最小值，B错；
对于C选项，对任意的，，
故是的零点，C对；
对于D选项，，
则
，
当时，，
则，
令可得，所以，，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因此，在存在极值，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.
【答案】2或5
【解析】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，
可得两两夹角为或两两夹角为，
当两两夹角为时，可得，
则；
当两两夹角为时，可得，
则．
13. 已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为________．
【答案】
【解析】设，，
由得，，所以，，
所以，
因为点到直线的距离，
所以.
14. 如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依次方法一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于________．
【答案】50
【解析】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为，
则第个正方形的对角线长为，
所以第全正方形的边长为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数50.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹E；
（2）在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
解：（1）设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点M的轨迹E就是集合．
由此得．将此式两边平方，并化简，得，
所以M的轨迹E为．
（2）由直线方程方程可知与坐标轴交点为，
易知此直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成．
由方程组，消去y，得．
令其根的判别式，解得或，
当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离．
16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
解：（1）以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，，
所以．
（2），当时，最小，
此时，M，N为中点，则，），
取MN的中点G，连接AG，BG，
则，因为，，所以，，
所以是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证．
（1）解：当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，
即．
（2）证明：当，时，，
则有，
故只需证明当时，．
当时，函数在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；
当x∈x0,+∞时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，．
18. 根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05.
（1）从该地区抽取的年水文资料中发现，恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等，求的值；
（2）今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水.
方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水.
方案3：不采取措施.
试比较哪一种方案好，请说明理由.
解：（1）∵该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05
∴
即该地区每年夏季无洪水的概率为，
∵该地区抽取的年水文资料中发现，恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等，且符合独立性重复试验二项分布，
∴，
解得，
∴；
（2）设方案1、方案2和方案3的损失为随机变量为、和，分布列分别为：
方案1
，，
∴，
方案2
∴，
方案3
，，
∴，
∴方案1的期望值最小，选择方案1好.
19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．
解：（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，．
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对数列组合为或．
综上，符合条件的数列组合有：，，，，．
（2）（ⅰ）因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
（ⅱ）当为奇数时，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为
，
当为偶数时，逆序数为
．
（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，…，中，逆序数为
．3000
60000
0.95
0.05
7000
1
0
20000
60000
0.7
0.25
0.05