[数学]江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试试卷(解析版)

这是一份[数学]江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则的真子集个数为（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】C
【解析】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，

观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集.
故选：C.
2. 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，
则，显然，
所以点第一象限，A正确.
故选：A.
3. 某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A. 79B. 80C. 81D. 82
【答案】B
【解析】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即，
解之得，
所以该名考生面试的平均得分为.
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为
,
所以，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，依题意，，，
以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，
令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为，
设，即，
则
，
所以的最小值为.
故选：D.
6. 设数列an的前项和为，，，若，则正整数的值为（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
【答案】C
【解析】由，两边取倒数可得：，
即，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，
令
由且，则，
由，则，
则，
所以，
故，则正整数的值为2022．
故选：C.
7. 已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D，
根据题意点P在双曲线第一象限，由，得，
所以，
则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为，
令，得，所以点，
设点Ax1,y1，Bx2,y2，渐近线方程为，联立，
解得，所以点，
同理可得，
又，，所以点P是线段AB的中点，
所以，即得，
即，解得.
又，所以，即，所以双曲线的离心率.
故选：A.
8. 在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】在中，由，得，即，
则，由为整数，得，，
，整理得，
而，且均为整数，则，
由，解得，
由，解得，
由正弦定理得，则，
由D为AC中点，得，则
，
所以.
故选：D.
三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 存在点P，使得平面
C. 若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D. 若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
【答案】AC
【解析】对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，
且，又，则，且，
因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；

以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，设点，其中，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
对于B, ，若存在点，使得平面，则，
于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；
对于C，平面平面，则，
若点到直线与到直线的距离相等，则，
平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，
而，则，令，得；令，得，
线段的中点，于是P点轨迹为线段，
所以点的轨迹长度为，D错误.
故选：AC.
10. 芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，）
A.
B.
C.
D. 取得最大值时，M的估计值为54
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意可知：，故A正确；
对于B，由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
设，
，
解得，，
由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为53，故D错误.
故选：ABC.
11. 麦克斯韦妖(Maxwell’sdemn)，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量x所有取值为1，2，…，n，且，，定义X信息熵，则下列说法正确的是（）
A. 当时，
B. 当时，若，则与正相关
C. 若，则
D. 若，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A,若,则,因此正确；
对于,当时,
令,
则
即函数在上单调递增,所以与正相关，B正确;
对于,
则,
则,
而,
于是
令
则,
两式相减得，
因此
，C错误；
对于
由于Pi>0(i=1,2,⋯,2m),即有,
则lg21Pi>lg21Pi+P2m+1-i,
因此Pilg21Pi>Pilg21Pi+P2m+1-i,
所以,所以成立,D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．
【答案】
【解析】正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，
在等腰梯形中，，
因为，则该梯形的高，
所以该棱台的体积为.
13. 已知抛物线与抛物线在第一象限的交点为点A，抛物线与直线(e为自然常数)在第四象限的交点为点B，点O为坐标原点，则的面积为________．
【答案】
【解析】由，解得或，即点，
由，当时，解得，
即，
点到直线的距离，而，
所以的面积.

14. 已知函数满足，且，则______．
【答案】或2021
【解析】令，则，
令，则，解得或.
而，故.因此.
则，
即，
因此或
当时，时，此时；
当时，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若函数在处有极值，求的值；
（2）若函数在内单调递减，求b的取值范围．
解：（1）函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，恒成立，
在R上单调递减，无极值；
当时，，当时，，
当时，，
函数在处取极大值，满足题意，
所以.
（2）依题意，在上单调递减，
则在上恒成立，因此在上恒成立，
而当时，，则，
所以b的取值范围是.
16. 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
解：（1）依题意可得的可能取值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，
所以，
设数列的前项和为，则.
（ⅱ）依题意可得，，，
当时，
所以，
所以为常数数列，又，
所以，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
经检验当、上式也成立，所以.
17. 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.
（1）若，求证：直线平面；
（2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；
（3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值.
解：（1）取的中点，连接，
因为，所以M是线段上的中点，
因此有，
因为是矩形，N是线段上的中点，
所以，
因此有，
所以四边形是平行四边形，所以有，
而平面，平面，所以直线平面；
（2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，
因为四边形是矩形，所以，
即，而平面，
所以平面，
因为是矩形，所以，
因为平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立，
因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线；
（3）当时，由（2）可知：，
所以是直线与直线所成角，设，
由（2）可知，所以，
在中，由余弦定理可知：
，
令，所以，
于是有，
当时，有最小值，最小值为，此时有最大值.
则直线与直线所成最大角的余弦值为.
18. 已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）
（1）当时，判断四边形的形状；
（2）设为坐标原点，证明：为定值；
（3）求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．
（1）解：当时，四边形为正方形，理由如下：
此时，
又，
，
由，
故四个交点坐标分别为，
且⊥，
为正方形；
（2）证明：，
将代入，，
化简得，
设，
由“公式”知，
，
故
．
（3）解：记，，，．
当在内部时，设，
．
当且仅当四边形为正方形取等．
当在外部时，设，
.
综上，四边形面积最大值为8．
19. 称是的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，称包含的最小向往集合称为的生成向往集合，记为.
（1）求满足的正整数的值；
（2）对两个向往集合，定义集合.
（i）证明：仍然是向往集合，并求正整数，满足；
（ii）证明：如果，则.
（1）解：设.注意到，所以，又，所以
注意到集合，并且是向往集合，
根据生成向往集合的最小性，有；因为，所以，
另一方面，容易证明，因为中全都是2的倍数，所以，综上所述,即x=2.
（2）证明：（i）用和（1）类似的方法可以得到，且.
所以
,
所以，又因为生成向往集合的最小性，有，故得：x=6.
下面证明是向往集合.任取，写出表示成有限和的形式，
则也可以写成有限和的形式，容易证明
其次，任意取，只需要把中的替换为即可，综上所述是向往集合.
（ii）因为，因为，所以存在，有
任取，有和，所以
进而根据向往集合的性质（1），有
任意取，有，
因为，有，所以.