[数学]重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊试题(解析版)

这是一份[数学]重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数中，，解得，
即，
解不等式，得或，
则或，，
对于A，或，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】设R)，则，
由，得，
即，所以，
解得，故，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
3. 设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（ ）
A. 20B. 512C. 1024D. 2048
【答案】C
【解析】设正项等比数列的公比为，则当时，由得：
，不满足，所以，则，
又因为，,所以可得：，
化简得：，解得，
所以，
故选：C.
4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），故选：B.
5. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
，则,在中，，
故，
即点的纵坐标为，代入中，解得，
则，
因，则直线的斜率为，
于是，代入，整理得：，
解得或，即.
故.
故选：C.
6. 有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，由于， ，
所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，
所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.
故选：D.
7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，
得，即，
所以，又，
所以，即，所以，
又，由正弦定理，
得，所以.
故选：A.
8. 已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称，
所以为奇函数.
令，则，所以为偶函数，
对于，有，所以在上单调递增，
所以在上单调递减.
由，得，，
当时，变形为，即，解得；
当时，变形为，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A：∵，幂函数在上单调递增，
且，∴，故选项A错误；
对于B：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，∴，
∴，即，故B正确；
对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减，
且，∴，∴，故选项C正确；
对于选项D：由选项B可知：，∴，
∵，
∴，∴，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递增
D. 若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】由函数的图象关于直线对称可得：
，解得：，
又因为，所以，即选项A是错误的；
此时，
则为偶函数，
所以选项B是正确的；
当，，
此时正弦函数在区间上不单调，所以选项C也是错误的；
因为，所以，而，
则的最小值就是半个周期，即，所以选项D是正确的.
故选：BD.
11. 已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（ ）
A. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2
B. 当时，面积为
C. 当时，点M的坐标为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为，
则到该渐近线的距离为，又，所以，
所以，得双曲线的离心率为，故A正确；
B：在中，，得，
由余弦定理得，即，
得，所以的面积为，
又，所以，故B错误；
C：因为，，所以，
由角平分线定理可得，得，又，
所以，又，所以，故C正确；
D：延长交于点，连接，如图，
易知，即，所以，
又分别是的中点，所以，
所以，
又点P在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，
设渐近线的倾斜角为，由，得，
则，即，整理得，
又，所以，解得，故D错误.
故选：AC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，是直线上任意一点，则______．
【答案】12
【解析】由，，可得，
设，可得，
因为是直线上任意一点，所以，即，
所以.
13. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答）
【答案】60
【解析】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为，
当4人全部被录取，则不同的录取情况数为，
综上不同的录取情况数共有种.
14. 若函数在定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设，若是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据定义，若是一个“点”，
则，即，得.
若“函数”，则存在“点”，
设为，则，即.
不妨设，则由可知，
这得到，
所以；
若，取，则.
所以，
故是的“点”，所以为“函数”.
综上，使得为“函数”的的取值范围是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．

（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
（1）证明；∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面，∴，
又， 平面，∴平面，
又平面，∴．
∵，点E是的中点，∴．
又， 平面，∴平面．
平面，∴．
又，,平面，∴平面，
平面，∴．
（2）解：如图，因两两垂直，
故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，．
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量．
设平面与平面的所成角为，
∴，∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为．
16. 已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）设函数的极大值为，求证：．
（1）解：当时，，且
即函数的导数：，
所以函数在点的斜率，
又，
所以函数在点的切线方程为：，即．
（2）证明：由得
函数导数为：．
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以函数的极大值为：．
要证明，即证明，
设，且.
则导数为：，
所以当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
即
即，
所以．
17. 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望．
解：（1）根据题意得，选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：
第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，
其概率为：；
第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，
其概率为：；
记“选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A，
∴．
（2）根据题意得：X的可能取值为：0，200，600，1200，
∴，
，
，
，
∴X的分布列为：
∴X的期望为：．
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，两焦点，与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线交于点D．
①设内切圆的圆心为I，求的最大值；
②设，，证明：为定值．
（1）解：由题意得：解得，
∴椭圆C的标准方程是．
（2）如图，
①解：因为I为的内切圆圆心，则，
显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时，最大，
即须使最大，又，则须使最小，
在椭圆中，，，
在中，由余弦定理，
．
当且仅当时取等号，即当时，
为正三角形时，取得最大值，∠IAB取最大值，
此时的最大值为；
②证明：由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0，
设l的方程为，则，令可得．
联立方程得，，
设，，则，，
由可得，
则有，解得，同理．
∴
．
故为定值．
19. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．
（1）设，，求证：是的一个周期，且恒成立；
（2）已知数列的通项公式为，设．
①求证：；
②求的值．
（1）解：．
故是的一个周期．
当时，，，故．
由于周期为，故对任意，都有．
（2）①证明：记．
，则．
∵
，∴．
而
．
∴．
∴，∴．
②解：由①知，则．
由（1）知：对任意，都有，
∴．∴．
∵，∴．
令，
∵；
．
∵，∴．X
0
200
600
1200
P