[数学][二模]天津市和平区2024届高三下学期考试试卷(解析版)

这是一份[数学][二模]天津市和平区2024届高三下学期考试试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】复数，
所以的共轭复数．
故选：C．
2. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不等式等价于，
使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，
由此对照各项，可知只有A项符合题意．
故选：A．
3. 为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
首先选取种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有种．
故选：B．
4. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当
时，是减函数，设，，，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，则，
又函数为偶函数，则，
即，所以函数是周期为2的函数，
则，，
且当时，是减函数，
由可得，即.
故选：C.
5. 已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 函数的图象的对称中心为
【答案】C
【解析】由图象可知，，所以，所以，
所以，将代入得：，
所以，由于，所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
由，所以，所以，
解得，即不等式解集为，故C正确；
令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误.
故选：C.
6. 如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出四棱锥，如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，
正四棱锥高为，
设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，
则高线与斜高的夹角为，则，
则,
，，
这个正四棱锥的内切球的体积为．
故选：B．
7. 过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆的圆心为，
直线关于直线对称时，与直线垂直，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
故选：A.
8. 已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线：的焦点为，依题意可得，
直线方程为，即，
联立，可得，解得或，
又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，
由，所以，
在点处的切线斜率为，
又在点处的切线平行于的一条渐近线，
双曲线的一条渐近线的斜率为，
双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
9. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，，，
可得，故，
又，所以，
以为直径作圆，则，，，四点共圆，
如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），
则，
又表示在上的投影，
由图可知，，，
故（此时点在劣弧的中点位置），
即的最小值为．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10. 设集合，，，则______．
【答案】
【解析】，，
故.
11. 在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】二项式的展开式通项公式为．
令，解得，
故展开式的常数项为．
12. 过点作曲线y=2xx∈R的切线，则切点的坐标为______．
【答案】
【解析】设切点的坐标为，由，y'=2xln2，
所以过切点的切线方程为：，
把代入得：-2t=-t⋅2tln2，即tln2=1，
所以t=1ln2，则切点坐标为：即.
13. 为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为______；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为______．
【答案】
【解析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，
则，，，
所以，，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，
则这个问题回答正确的概率．
14. 已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项．
【答案】
【解析】因为，
当时，，解得；
当时，，
两式相减得，即，
经检验当时也成立，所以；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以数列的最大项为第项.
15. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
【答案】,,．
【解析】方程，即，
结合，得，
原方程可化为，
①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；
②，记，
的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，
因为在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为，
结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
③，则，
在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，
的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，
当时，即时，函数的最小值，
观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
当时，函数的最小值，
方程即的根的判别式
△，
且方程即的根的判别式
△，
结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．
综上所述，或，即实数的取值范围是,,．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求角B的大小；
（2）求b的值；
（3）求的值．
解：（1）因为，由正弦定理有，
因为,所以，所以，即，
由于B∈0,π,所以，故，解得；
（2）因为，
所以由余弦定理，即，解得；
（3）由正弦定理有，有，
因为，所以为锐角，故，
又，
则
，
．
17. 如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点D到平面的距离．
（1）证明：因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
设长为，则
，，
因为，所以，则有，．
所以，，，，，，．
因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为．
所以，所以，
又因为平面，所以平面．
（2）解：因为为中点，所以，则，
有，又，设直线与平面所成角为，
，
则直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：因为，平面的法向量为，
所以，点D到平面的距离为．
18. 已知为等差数列的前n项和，，．
（1）若为数列的前n项和，求；
（2）等差数列满足，数列满足．
（i）求数列与数列的通项公式；
（ii）求．
解：（1）设数列an公差为，由公式，，
有，求得，即，所以．
设，前项和为，．
当时，．
当时，．
所以
（2）（ⅰ）设数列bn公差为，由（1）得，又，
即，解得，所以．
.
（ⅱ），
设，
，①
，②
①－②得，
．
所以，．
设
，
所以，．
．
所以，．
19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解：（1）依题意，，解得，
又因为，所以．
（2）设直线的方程为，椭圆的方程为，
设点，联立方程组，整理得，
解得，①，
直线AF方程为，
设点，，
联立方程组，解得，②，
又因为，
设，则有，
即，所以，所以．
所以，则有，
代入①②有，解得，
由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．
20. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，，且an>0.求证：当，且时，不等式成立.
（1）解：当时，函数，
函数定义域为，
且，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：由已知有恒成立，设，即，
又函数定义域为，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，即，解得，
即的取值范围为.
（3）证明：由，，an>0，
因为等价于.
一方面，要证明，
由（2）可知当时，有，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，又an>0，所以，
因为，所以，
因此当时，.
所以，当时，时成立，即成立.