[数学]江苏省无锡市江阴某校2024届高三下学期5月高考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]江苏省无锡市江阴某校2024届高三下学期5月高考模拟试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
所以，
故选：A．
2. 在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据幂函数性质知道，
定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误；
奇函数且在单调递增，故B正确；
为偶函数，且在单调递增，故C错误；
为奇函数，且在单调递减，故D错误.
故选：B．
3. 在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ）
A. 16B. 15C. 14D. 13
【答案】D
【解析】由题意可得：，则，
可得，所以.
故选：D．
4. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，则由平面平行的性质定理：得；
但当，时，可能有，也可能有相交，
如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，
另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】关于轴对称，
则，
又因为，则当时，.
故选：C.
6. 设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由等差数列的前项和公式，可得，
可得，
又由且，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
7. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设为圆锥高，为圆锥母线长

以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，
在中，，可得，
且，则，解得，
所以圆锥的侧面积为.
故选：C.
8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误是（ ）
A.
B. P的坐标为
C. B的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】D
【解析】C选项，因为，所以，
解得，
因为，所以，
故，所以，C正确；
B选项，，
将点绕点逆时针旋转得到点，
则，
设，则，
所以，解得，
则P的坐标为，B正确；
A选项，，
故，A正确；
D选项，在方向上的投影向量为，D错误.
故选：D.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. “＂是“＂的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】设，
对于选项A：因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B正确；
对于选项C：若，例如，满足，
但，，即，故C错误；
对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立；
若，例如，且，
但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；
综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD.
10. 某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（ ）
A. 13B. 12C. 11D. 10
【答案】BC
【解析】因为，则，
且，
则，
不妨设最大，
①若，则不成立，故A错误；
②若，例如，满足题意，故B正确；
③若，例如，满足题意，故C正确；
④若，则，
可得，可知该方程组无正整数解，故D错误；
故选：BC．
11. 在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 与平面所成的角相等
B.
C. 二面角的大小可能为
D. 若，则球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心，
连接，则平面，
因为是的中点，所以，所以平面，
点是是的中点，，所以，
又，所以，所以，故A正确；

对于B，
，故B正确；
对于C，因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
做，交于点，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以即为的平面角，若，
则，而在直角三角形中，斜边，
这是不可能的，故C错误；

对于D，若，则，，
所以，外接球半径，
，故D正确

故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．
【答案】
【解析】先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，
则总分法有种，
其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，
则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．
13. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)
【答案】
【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，由可得，，
所以，解得：，故σ至多为．
14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】由题意得，圆，圆心，半径，
设点，则，
故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，

则，，
则，即的最大值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;
（2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
解：（1），则，
故曲线在处的切线为，
即，
当时，此时切线为，不符合要求
当时，令，有，
令，有，故，即，故.
（2），
①当时，在上单调递增，
的最大值是，解得，舍去;
②当时，由，得，
当，即时，时，时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
又在上的最大值为;
当，即时，在上单调递增，，
解得，舍去.
综上所述，存在符合题意，此时.
16. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
解：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
由，且，得．
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．
（1）证明：O，P，三点共线；
（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．
（1）证明：，所以，
而，
所以，即O，P，三点共线．
（2）解：连接，，，所以，，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又为BD的中点，，．
，，即．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）可得，P为线段三等分点，
所以，，，，
设平面PAB的法向量为，则
令，则，．
设直线与平面PAB所成角为，
则，
直线与平面PAB所成角的正弦值为．
18. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足.
（1）求的平分线所在的直线的方程；
（2）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
（3）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程.
解：（1）设的平分线与轴交于点，
由，则，由，有，故，
故，则，解得，故，
由角平分线的性质可得，所以，
解得，故，则有，
即直线的方程为；

（2）假设存在两点关于直线对称，则，所以，
设直线的方程为，联立，
得，则，
即，
所以的中点坐标为，因为的中点在直线，
所以，所以，所以的中点坐标为，
与点重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点；
（3）由题意知，，
设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为，
设它们的一个交点坐标为，它们的交点为顶点的四边形面积记，
所以，
当且仅当取得等号，因为，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为.

19. 已知数列，记集合.
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
解：（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，
由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.