四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，120分钟完成）
姓名_________班级_________
A卷（满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
2. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是
A. a（x+y）=ax+ay
B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】C
【解析】
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是先解不等式再画数轴，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：C．
4. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图线段垂直平分线以及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法和线段垂直平分线性质是解决问题的关键．根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一性质即可得到答案．
【详解】解：在中，
分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，
是线段的垂直平分线，
，，
，
，
故选：B
5. 在同一直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 随的增大而减小B.
C. 方程组的解为D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，
解得，
∴与的交点为，
∴方程组的解为：，故选项C正确，不符合题意；
D、把代入得，
解得，
∴与的交点为，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为，
由图象可知：当时，，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 菱形的面积等于对角线的乘积
D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，菱形面积的计算，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法．
【详解】解： A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A不符合题意；
B 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B不符合题意；
C 、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故C不符合题意；
D 、每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，故D符合题意；
故选： ．
7. 为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程．
设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时，
依题意，可列方程为，
故选：A．
8. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 分解因式：__________.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．解题的关键在于正确的分解因式．
10. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是______边形．
【答案】六
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．设这个多边形的边数为，根据多边形外角和等于360度和多边形内角和公式列方程解之即可．
【详解】解：设这个多边形为边形
根据题意可知，这个边形的内角和为
则
解得：
故答案为：六．
11. 若分式的值为0，则x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位，
的对应点的坐标为．
故答案为：．
13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为______．

【答案】18
【解析】
【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得出，即可得出，最后求周长即可．
【详解】解：由题意可知为的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长为28，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的周长为18．
故答案：18．
三、解答题（共48分）
14. （1）解方程：；
（2）解不等式组
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程；
（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）去分母，得，
去括号，得，
解得：，
当时，分母，
故原分式方程的解为；
（2）解不等式，得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．
15. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
详解】解：原式

，
∵，时，分式分母为0，
∴，
∴原式．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________；
（2）画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图1所示，△即为所求．
由图可得，点，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2所示，即为所求．
由图可得，点，
故答案为：．
17. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
且，
，
∴
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
∵，
，
，
，
，
．
18. 如图，D是异于A，B的一点，在和中，，，，，B、D、E三点不在一条直线上．
（1）如图1，连接并延长交于点F．
①证明：；
②求证：；
（2）如图2，，，，的延长线交于点F，则的长是______．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①利用“”即可证明；
②过点C作交延长线于点G，利用“”证明，即可证明结论；
（2）过点B作交延长线于点K，过点A作交于点H，根据等腰三角形的性质，得到，再根据直角三角形的性质，得到，进而得到，利用勾股定理求得，由（1）同理可证，，，得到，，，然后证明是等边三角形，得到，最后求出，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：①如图，
，
，
，
在和中，
，
；
②如图，过点C作交延长线于点G，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，过点B作交延长线于点K，过点A作交于点H，
，，
，
，
，，
，
，
， ，，
，
由（1）同理可证，，，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
B卷（满分50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知，则代数式的值为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
．
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键．
20. 若关于的分式方程有增根，则的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
分式方程有增根，
，即，
将代入，得：，
故答案为：2．
21. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键．
【详解】解：的解集是，
∴
，，
，
，
，
．
故答案为：
22. 点P是矩形的边上一动点，连接、，将、分别沿、翻折，得到、．当P、、共线时，称点P为边上的“叠合点”．
①如图，在矩形中，，，点P为边上的“叠合点”，求的长为：___________．
②若在矩形中，，点P是边上的“叠合点”，则___________．
【答案】 ①. 或 ②.
【解析】
【分析】①设，根据矩形的性质和勾股定理得到，，再根据翻折的性质，推出，利用勾股定理列方程求得或，即可求出的长；
②设，根据矩形的性质和勾股定理得到， ，再根据翻折的性质，推出，利用勾股定理列方程求得或，即可求出的值．
【详解】解：①四边形是矩形，
，，，
设，则，
中，，
在中，，
由翻折的性质可知，，，
，
在中，，
，
解得：或，
的长为2或8，
当时，；
当时，；
综上可知，的长为或；
故答案为：或；
②四边形是矩形，，
，，，
设，则，
在中，，
在中，，
由①得：，
在中，，
，
解得：或，
当时，，
；
当时，，
，
综上可知，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用勾股定理列方程并正确求解是解题关键．
23. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元．
（1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？
（2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
【答案】（1）元/千克
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
（2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：水果店第一次购进蓝莓进价为元/千克．
【小问2详解】
设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
即y的最小值为．
答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元．
25. 如图1，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，直线交直线于点C，D是上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值；
（3）在（2）条件下，P在直线上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等．
（1）由勾股定理可求，即点点用待定系数法可求直线解析式；
（2）设，则可求出，进而得到，，据此可得答案；
（3）过点作，过点作轴，设点，解直角三角形得到，设，则，用勾股定理建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的值即可求解．
【小问1详解】
解：解：，
∴，
∴
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为： ．
【小问2详解】
解：设，
在中，当时，，当时， ，
∴，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：过点作于H，过点作轴于T，
设点，
在中，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∵，
∴，
则
∴．
26. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．
（1）如图1，若，，，求的度数（用含的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接，当为等腰三角形时，求出此时的值．
【答案】（1）见解析 （2）；证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解；
（2）在上截取，连接，交于点H，连接，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，再解即可；
（3）连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
在上截取，连接，交于点H，

∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，记与的交点为点N，

∵，
∴，
由轴对称知，
当点G在边上时，由于，
∴当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点G在延长线上时，只能是，如图：

设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．