高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点10函数与数学模型(4种题型与基础、易错专练)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点10函数与数学模型(4种题型与基础、易错专练)专项练习(原卷版+解析)，共86页。试卷主要包含了考点清单，题型方法，刷基础等内容，欢迎下载使用。

一．填空题（共2小题）
1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 ．
2．（2022•浙江）已知函数f（x）＝则f（f（））＝ ；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 ．
二、考点清单
一．函数最值的应用
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？
解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则
＝2400m+6（）m…（6分）
求导可得
令，可得x＝40…（11分）
∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减
∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．
这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．
【高考预测】
应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．
二．分段函数的应用
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlgax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
四．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为
三、题型方法
一．函数最值的应用（共6小题）
1．（2022•和平区三模）设a，b＞0，a+b＝5，则+的最大值为 ．
2．（2022•兴庆区校级一模）若函数f（x）＝•csx+3在[﹣，]上的最大值与最小值之和为（ ）
A．6B．3C．4D．8
3．（2022•商洛一模）声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化．已知声压x与声音大小y的关系式为．根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB．若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（ ）
A．2N/m2B．20N/m2C．0.2N/m2D．0.02N/m2
4．（2022•合肥二模）已知函数f（x）＝x2﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）是区间上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝2时，证明：函数f（x）在区间（0，π）上有且仅有一个零点．
（多选）5．（2022•福建模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0．对于任意的，函数f（x）在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期小于
B．函数f（x）在内不一定取到最大值
C．
D．函数f（x）在内一定会取到最小值
6．（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）
二．分段函数的应用（共18小题）
7．（2023•新疆模拟）已知函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1，若函数f（x）图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•呼和浩特模拟）若函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2023•海口模拟）函数f（x）＝x2﹣4|x|+3的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）和（0，2）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）和（2，+∞）
10．（2023•青秀区校级一模）已知函数，那么f（f（﹣1））＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
11．（2023•宜宾模拟）若函数的最小值是﹣2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0
12．（2023•永州三模）若函数y＝f（x）和y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”．已知区间[1，2023]为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）
14．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•九江模拟）设函数f（x）＝4x+|x﹣a|，其中a∈R．
（1）当a＝6时，求曲线y＝f（x）与直线4x﹣y+8＝0围成的三角形的面积；
（2）若a＜0，且不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，﹣3），求a的值．
16．（2023•北京模拟）已知函数，若方程f（x）＝1的实根在区间（k，k+1），k∈Z上，则k的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．2
17．（2023•古冶区校级模拟）已知函数，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023•湖北模拟）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A．（e，+∞）B．C．D．
19．（2023•东城区二模）设函数，若f（x）为增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）
20．（2023•嘉定区校级三模）已知函数，若满足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（3，2023.5）B．（3，2024）C．[3，2024）D．[3，2025）
21．（2023•嵊州市模拟）已知函数，若p≠q，且f（p）+f（q）＝2，则p+q的最小值是（ ）
A．2﹣2ln2B．3﹣2ln2C．4﹣2ln3D．2
22．（2023•南昌三模）函数若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（2023•丹东模拟）设函数y＝f（x）由关系式x|x|+y|y|＝1确定，函数，则（ ）
A．g（x）为增函数
B．g（x）为奇函数
C．g（x）值域为[﹣1，+∞）
D．函数y＝f（﹣x）﹣g（x）没有正零点
24．（2023•黄埔区校级模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
三．根据实际问题选择函数类型（共18小题）
25．（2023•全国二模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化规律是，其中p0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为 米．（答案保留整数，参考数据ln3≈1.1）
26．（2023•西城区校级三模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．6升B．8升C．10升D．12升
27．（2023•驻马店三模）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min•m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min•m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（ ）（参考数据：）
A．4个B．5个C．6个D．7个
28．（2023•密云区三模）血药浓度（PlasmaCncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．（2023•广西模拟）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010）
A．35B．25C．15D．9
30．（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用﹣的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
31．（2023•潍坊二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 ．
32．（2023•哈尔滨二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．
圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C．
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为 ．
33．（2023•济南一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为Dp（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p），其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝ex上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为 ．
34．（2023•重庆模拟）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为0.3%，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）．
（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
（2）若王先生采取等额本息的还贷方式．银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批．（不考虑其他因素）参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437
35．（2023•郴州模拟）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的．所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的起点和终点．例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S＝A（1+r）n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？
（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1）问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）
参考数据：（1+2.5%）10≈1.28
36．（2023•丰城市模拟）某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力，成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元，现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：
记x表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数．
（1）若n＝6，求y与x的函数关系式；
（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6≤x≤8的概率；
（3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断应购买7次还是8次维修服务？
37．（2023•海淀区校级三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．75B．74C．73D．72
38．（2023•苏州三模）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至12000，则C大约增加了（ ）（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990）
A．25%B．30%C．36%D．45%
39．（2023•无锡三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（ ）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg11≈1.041）
A．82B．84C．86D．88
40．（2023•南昌二模）足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，l1∥l2，这两平行线间的距离为3m，CA⊥AB，|AC|＜|AB|，|BC|＝10m，点B在直线l上，且l⊥l2，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与l1的夹角为α，已知站位B，C两点队员跑动速度都是8m/s，现要求接球点满足下面两个条件：
①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点；
②接球点在直线l的左侧（包括l）；则tanα的取值范围是 ．
41．（2023•平顶山模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm．
42．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1﹣图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．
（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．
四．带绝对值的函数（共3小题）
43．（2023•咸阳校级模拟）已知函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|﹣2
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）若f（x）⩾kx+2k，求实数k的取值范围．
44．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．
（1）在直角坐标系中画出y＝f（x）和y＝g（x）的图象；
（2）若f（x）+a≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
45．（2023•船山区校级模拟）设函数f（x）＝|2x﹣a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求实数k的取值范围．
四、刷基础
一．选择题（共12小题）
1．（2023•咸阳二模）某商场要将单价分别为36元/kg，48元/kg，72元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为（ ）
A．52元/kgB．50元/kgC．48元/kgD．46元/kg
2．（2023•温州模拟）某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使两项费用之和最小，仓库和车站的距离为（ ）
A．4kmB．5kmC．6kmD．7km
3．（2023•德阳模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点P（﹣1，﹣2）处出发，河岸线对应的直线方程为x+y＝2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．（2023•合肥模拟）Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N（t）与时间t关系时，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）（ln6.3≈1.84）
A．2B．3C．4D．5
5．（2023•酒泉模拟）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用I（单位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（L≥0，其中是人们平均能听到的声音的最小强度）．若某小区内公共场所因施工声音的强度水平升高了20分贝，则声音的强度应变为原来的（ ）
A．5倍B．100倍C．10倍D．20倍
6．（2023•4月份模拟）某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
7．（2023•鼓楼区校级模拟）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631 ）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.4%
8．（2023•湖北模拟）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以1m/s游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的（ ）
A．7倍B．8倍C．9倍D．10倍
9．（2023•重庆模拟）生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1﹣3﹣λt），λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
10．（2023•合肥三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.一年后“进步”的是“退步”的倍．如果每月的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）月后“进步”的是“退步”的一万倍．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．20B．21C．22D．23
11．（2023•青秀区校级一模）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx+b（y为保鲜时间，x为储存温度），若该食品在冰箱中0°C的保鲜时间是144小时，在常温20°C的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40°C的保鲜时间是（ ）
A．16小时B．18小时C．20小时D．24小时
12．（2023•大荔县一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2（1+）．它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．10%B．16%C．26%D．33%
二．多选题（共2小题）
（多选）13．（2023•韶关二模）已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，．设F（x）＝f（x）+f（x﹣1），则（ ）
A．函数y＝F（x）是奇函数也是周期函数
B．函数y＝F（x）的最大值为1
C．函数y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减
D．函数y＝F（x）的图像有对称中心也有对称轴
（多选）14．（2023•张家口一模）已知函数f（x）＝|sinx|+cs|x|，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的最小值为
C．f（x）在区间上单调递增
D．方程在区间[0，4π]内的所有根的和为8π
三．填空题（共3小题）
15．（2023•陕西模拟）已知函数f（x）＝则f[f（x）]＜2的解集是 ．
16．（2023•全国一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度t℃应满足的不等关系式是 ．
17．（2023•重庆模拟）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，至少需要 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下．（lg3＝0.477）
四．解答题（共1小题）
18．（2023•西山区校级模拟）春见柑橘的学名是春见，俗称粑粑柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：
未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量
已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．
（1）根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；
（2）已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．
五.刷易错
一．选择题（共7小题）
1．（2023•南宁二模）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为M＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：lg2≈0.30）（ ）
A．1.53hB．1.60hC．1.75hD．2.33h
2．（2023•南宁二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（2023•河南模拟）著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为N0（N0＞0），经过t（天）时间之后的热搜度变为N（t）＝N0e﹣αt，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数α＝0.3，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t至少为（ ）（ln2≈0.693，t取整数）
A．7B．6C．4D．3
4．（2023•河东区二模）已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}
5．（2023•绍兴二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：≈1.732）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
6．（2023•江西模拟）已知λ∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣4x+1+2λ，若关于x的方程f（g（x））＝λ有6个解，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，]B．（0，）C．（，1）D．（，）
7．（2023•遂川县校级一模）已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）
二．填空题（共1小题）
8．（2023•徐汇区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是 ．
三．解答题（共1小题）
9．（2023•重庆模拟）正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V（t）＝Asin（2πft+φ），其中V（t）表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而A＞0表示正弦信号的幅度，f是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为R1，R2，R3，R4（单位：Ω）．
V1（t）和V2（t）是两个输入信号，V0（t）表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，V0（t）与V1（t）和V2（t）的关系为：．
例如当R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cst时，输出信号：．
（1）若R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cst，则V0（t）的最大值为_____；
（2）已知R2＝1Ω，R3＝2Ω，R4＝3Ω，输入信号，．若（其中A＞0），则R1＝_____；
（3）已知R3＝1Ω，R4＝1Ω，0＜R2＜R1≤1Ω，且V1（t）＝sint，V2（t）＝cs2t．若V0（t）的最大值为，则满足条件的一组电阻值R1，R2分别是_____．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2023年5月1日
12
35000
2023年5月15日
60
35500
维修次数
5
6
7
8
9
频数（台）
50
100
150
100
100
第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
30
32
33
30
34
30
34
33
第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
40
39
40
37
42
38
42
42
考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）
一、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．填空题（共2小题）
1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 1 ．
【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．
当a＝0时，f（x）＝，不是奇函数，故a≠0；
当a＝1时，f（x）＝，是奇函数，故满足条件，
综上，a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．
2．（2022•浙江）已知函数f（x）＝则f（f（））＝ ；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 3+ ．
【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，
∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．
故答案为：；3+．
【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
二、考点清单
一．函数最值的应用
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？
解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则
＝2400m+6（）m…（6分）
求导可得
令，可得x＝40…（11分）
∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减
∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．
这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．
【高考预测】
应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．
二．分段函数的应用
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlgax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
四．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为
三、题型方法
一．函数最值的应用（共6小题）
1．（2022•和平区三模）设a，b＞0，a+b＝5，则+的最大值为 3 ．
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）＝18，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
2．（2022•兴庆区校级一模）若函数f（x）＝•csx+3在[﹣，]上的最大值与最小值之和为（ ）
A．6B．3C．4D．8
【分析】f（x）＝•csx+3＝•csx+3，x∈[﹣，]，令g（x）＝•csx，x∈[﹣，]，由函数的奇偶性，可得g（x）是[﹣，]上的奇函数，则g（x）max+g（x）min＝g（x0）+g（﹣x0）＝g（x0）﹣g（x0）＝0，即可得出答案．
【解答】解：f（x）＝•csx+3＝•csx+3，x∈[﹣，]，
令g（x）＝•csx，x∈[﹣，]，
g（﹣x）＝•cs（﹣x）＝•csx＝﹣•csx，
所以g（x）＝g（﹣x），
所以g（x）是[﹣，]上的奇函数，
根据奇函数性质，g（x）在x＝x0有最大值，则g（x）在x＝﹣x0最小值，
所以g（x）max+g（x）min＝g（x0）+g（﹣x0）＝g（x0）﹣g（x0）＝0，
所以f（x）max+f（x）min＝f（x0）+f（﹣x0）＝g（x0）+3+g（﹣x0）+3＝6，
故选：A．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
3．（2022•商洛一模）声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化．已知声压x与声音大小y的关系式为．根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB．若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（ ）
A．2N/m2B．20N/m2C．0.2N/m2D．0.02N/m2
【分析】y＝10×lg（）2，令y＝60，可得60＝10×lg（）2，即可得出答案．
【解答】解：y＝10×lg（）2，
令y＝60，可得60＝10×lg（）2，
得lg＝3，
所以＝103，
所以x＝2×10﹣5×103＝0.02（N/m2），
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
4．（2022•合肥二模）已知函数f（x）＝x2﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）是区间上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝2时，证明：函数f（x）在区间（0，π）上有且仅有一个零点．
【分析】（1）求导f′（x）＝2x﹣acsx．又因为g（x）＝f′（x）＝2x﹣acsx，求导，根据函数g（x）是区间上的增函数，由g′（x）≥0在区间上恒成立求解；
（2）求导f′（x）＝2x﹣2csx，利用导数法证明．
【解答】解：（1）∵f′（x）＝2x﹣acsx，
又因为g（x）＝f′（x）＝2x﹣acsx，
∴g′（x）＝2+asinx，
∵函数g（x）是区间上的增函数，
∴g′（x）＝2+asinx≥0在区间上恒成立，
若x＝0，则g′（x）＝2≥0恒成立，此时a∈R；
若x∈（0，]，此时0＜sinx≤1，
∴g'（x）＝2+asinx≥0恒成立，
即a恒成立；
∴a≥﹣2．
综合上：a的取值范围是[﹣2，+∞）；
（2）证明：当a＝2时，f（x）＝x2﹣2sinx﹣1，x∈（0，π），
则f′（x）＝2x﹣2csx，
∵f″（x）＝2+2sinx≥0，
∴f'（x）在区间（0，π）上单调递增．
∵f'（）＝2（﹣）＜0，f′（）＝2（﹣0）＞0，
∴存在x0∈（，），使得f′（x0）＝0．
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
又f（0）＝﹣1＜0，f（π）＝π2﹣1＞0，
∴函数f（x）在区间（0，π）上有且仅有一个零点．
【点评】本题考查了导数的综合运用及恒成立问题，关键点是确定确定函数的单调性，属于中档题．
（多选）5．（2022•福建模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0．对于任意的，函数f（x）在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期小于
B．函数f（x）在内不一定取到最大值
C．
D．函数f（x）在内一定会取到最小值
【分析】先根据f（x）在区间上至少能取到两次最大值可得，据此可得ω＞12，从而可得判断AB的正误，再根据ωx+φ的范围可得判断CD的正误，注意ω范围的进一步探究．
【解答】解：由题意可知，，即A正确；
因为，所以ω＞12，
则当时，，
又，
所以函数f（x）在上一定有最大值点，即B错误；
由题意可知，任意，总存在k∈Z，使得：
，故，
整理得，
可得，即C错误；
当时，，
又因为，
故，
所以函数f（x）在上一定有最小值点，即D正确．
故选：AD．
【点评】对于含参数的正弦型函数问题，注意根据最值的特征合理刻画函数的性质，从而得到参数的取值范围内，此类问题，整体法是处理此类问题的基本策略．
6．（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）
【分析】（1）利润＝收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）＝；
（2）当0≤x≤400时，f（x）＝﹣（x﹣300）2+25000，
所以当x＝300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）＝60000﹣100x是减函数，
所以f（x）＝60000﹣100×400＜25000．
所以当x＝300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
二．分段函数的应用（共18小题）
7．（2023•新疆模拟）已知函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1，若函数f（x）图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数f（x）图象上存在关于原点对称的点仅有两对，可得y＝ax﹣（x+1）2与y＝﹣2x﹣1在（0，+∞） 上有两个不同的交点，即方程ax﹣（x+1）2＝﹣2x﹣1在（0，+∞）上有两个不同的实数根，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，数形结合即可得解．
【解答】解：y＝﹣2x+1关于原点对称的函数为﹣y＝2x+1，即y＝﹣2x﹣1，
若函数f（x）图象上存在关于原点对称的点仅有两对，
则y＝ax﹣（x+1）2与y＝﹣2x﹣1在（0，+∞） 上有两个不同的交点，
所以方程ax﹣（x+1）2＝﹣2x﹣1在（0，+∞）上有两个不同的实数根，
即ax＝x2（x＞0）在（0，+∞） 上有两个不同的实数根，
由lnax＝lnx2，得lna＝，即lna＝，
令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，得x＝e，
所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，g（e）＝，
如图所示，所以ax＝x2（x＞0）有两个不同的实数根等价于y＝lna与y＝g（x）有两个交点，
则满足0＜lna＜，解得1＜a＜，即实数a的取值范围为（1，）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的对称性质，以及运用导数手段求函数的单调性研究零点问题，考查学生的综合应用数学知识分析问题、解决问题的能力，考查化归与转化思想的应用．
8．（2023•呼和浩特模拟）若函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣2）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣2）＝4+1＝5，
则f（f（﹣2））＝lg28＝3．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
9．（2023•海口模拟）函数f（x）＝x2﹣4|x|+3的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）和（0，2）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）和（2，+∞）
【分析】根据题意，将f（x）写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣4|x|+3＝，
其递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，2）．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
10．（2023•青秀区校级一模）已知函数，那么f（f（﹣1））＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣1）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
则f（﹣1）＝1+1＝2，则f（f（﹣1））＝f（2）＝22＝4；
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
11．（2023•宜宾模拟）若函数的最小值是﹣2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0
【分析】利用导数求出函数f（x）在[0，+∞）上的极小值，然后对实数m的取值进行分类讨论，结合f（x）min＝﹣2可求得实数m的取值范围．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝2x3﹣3x2，则f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
所以，函数f（x）的极小值为f（1）＝﹣1，
因为函数f（x）的最小值为﹣2，当m≥0时，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
此时，函数f（x）在（﹣∞，0）上无最小值，不合乎题意；
当m＜0时，函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，在（m，0）上单调递增，
此时，函数f（x）在（﹣∞，0）上的极小值为f（m）＝﹣2，且﹣2＜﹣1，则f（x）min＝f（m）＝﹣2，
综上所述，m＜0．
故选：A．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，属于基础题．
12．（2023•永州三模）若函数y＝f（x）和y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”．已知区间[1，2023]为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出f（﹣x）的解析式，进而分2种情况讨论：当a≥0时，写出f（x）与f（﹣x）的解析式，分析易得不符合题意，当a＜0时，将f（x）与f（﹣x）写成分段函数的形式，分析可得关于a的不等式，取出a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝|（）x+a|，f（﹣x）＝|2x+a|，
若区间[1，2023]为函数的“稳定区间”，则f（x）与f（﹣x）在区间[1，2023]上单调性相同，
当a≥0时，f（x）＝（）x+a在[1，2021]单调递减，f（﹣x）＝2x+a在[1，2021]单调递增，不符合题意；
当a＜0时，f（x）＝|（）x+a|＝，f（﹣x）＝|2x+a|＝，
又f（﹣x）在（﹣∞，lg2（﹣a）]上单调递减，在（lg2（﹣a），+∞）上单调递增，
f（x）在（﹣∞，﹣lg2（﹣a）]上单调递减，在（﹣lg2（﹣a），+∞）上单调递增，
或，
所以lg2（﹣a）≤1且﹣lg2（﹣a）≤1，解可得﹣2≤a≤﹣，即a的取值范围为[﹣2，﹣]．
分析选项：B符合．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于中档题．
13．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）
【分析】结合图象，可知f（x）在R上单调递增，由此解不等式f（a）＜f（6﹣a）．
【解答】解：根据函数f（x）的图象，可得f（x）在R上单调递增，
若f（a）＜f（6﹣a），则有a＜6﹣a，
∴2a＜6，∴a＜3，
则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．
14．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分a＜1和a＞1两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：由题意，函数，
当a＜1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得41﹣a＝21，即22﹣2a＝21，解得；
当a＞1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得4a﹣1＝2a﹣（1﹣a），即22a﹣2＝22a﹣1，此时方程无解，
综上可得，实数a的值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
15．（2023•九江模拟）设函数f（x）＝4x+|x﹣a|，其中a∈R．
（1）当a＝6时，求曲线y＝f（x）与直线4x﹣y+8＝0围成的三角形的面积；
（2）若a＜0，且不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，﹣3），求a的值．
【分析】（1）根据题意，分析可得f（x）＝，求出曲线与直线4x﹣y+8＝0的交点坐标，进而计算答案；
（2）根据题意，结合a的范围，分析求出不等式的解集，由此可得关于a的方程，解可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，当a＝6时，f（x）＝4x+|x﹣6|＝，
f（6）＝24，设C（6，24）；
直线4x﹣y+8＝0与y＝3x+6交于点A（﹣2，0），与直线y＝5x﹣6交于点B（14，64），
且|AB|＝16，
点C（6，24）到直线4x﹣y+8＝0的距离d＝，
则要求图形的面积S＝×|AB|×d＝64；
（2）当x≥a时，f（x）＝5x﹣a，f（x）＜2即5x﹣a＜2，解可得x＜，此时有a≤x＜，
当x＜a时，f（x）＝3x+a，f（x）＜2即3x+a＜2，解可得x＜，
又由a＜0，则＞a，此时有x＜a，
综合可得：不等式的解集为{x|x＜}，
则有＝﹣3，解可得a＝﹣17；
故a＝﹣17．
【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解集，属于基础题．
16．（2023•北京模拟）已知函数，若方程f（x）＝1的实根在区间（k，k+1），k∈Z上，则k的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．2
【分析】根据x的取值范围不同，分别解出f（x）＝1根即可得出答案．
【解答】解：当x≤﹣2时，f（x）＝x2﹣5，当f（x）＝1时，解得；
当x＞﹣2时，f（x）＝xlg（x+2），其中f（1）＝lg3＜1，f（2）＝2lg4＝lg16＞1，
当f（x）＝1时，解得x∈（1，2），综上k的最大值是1．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
17．（2023•古冶区校级模拟）已知函数，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】讨论分段函数各段上的函数性质，结合分类讨论研究函数最小值，进而确定a≥0的情况下有满足要求的情况，再比较两分段上最小值列不等式求参数范围．
【解答】解：由x≤a，则x﹣a﹣1≤﹣1，仅当x＝a时等号成立，
所以|x﹣a﹣1|＝a+1﹣x≥1，在（﹣∞，a]上递减，且最小值为1，
对于y＝x2﹣1在（a，+∞）上，当a＜0时ymin＝﹣1；当a≥0时y＞a2﹣1，无最小值；
显然，a＜0时f（x）的最小值不为1，不合题意；
所以a≥0，此时必有a2﹣1≥1，可得．
故选：B．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
18．（2023•湖北模拟）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A．（e，+∞）B．C．D．
【分析】先分析f（x）的单调性，可得对称点分别位于y＝ae﹣x（x≤1）与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数φ（x）＝ex+x得到lna＝lnx0﹣x0，再构造函数h（x）＝lnx﹣x，x∈（1，+∞），由此得解．
【解答】解：因为，
所以当x≤1时，f（x）＝ae﹣x在（﹣∞，1]上单调递减；
当x＞1时，在（1，+∞）上单调递增；
又f（x）的图象上存在关于y轴对称的两点，
所以这两个对称点分别位于y＝ae﹣x（x≤1）与的图象上；
设P（x0，y0）在的图象上，则P′（﹣x0，y0）在函数y＝ae﹣x的图象上，且x0＞1，
故有，即，
进而；
设φ（x）＝ex+x，则φ（lna+x0）＝φ（lnx0），
又φ′（x）＝ex+1＞0恒成立，故φ（x）在R上单调递增，
所以lna+x0＝lnx0，即lna＝lnx0﹣x0，
令h（x）＝lnx﹣x，x∈（1，+∞），则在（1，+∞）上恒成立，
故h（x）在（1，+∞）上单调递减，
故h（x）＜h（1）＝﹣1，则lna＜﹣1，于是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
19．（2023•东城区二模）设函数，若f（x）为增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）
【分析】在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝2x，与y＝x2的图象，结合函数为增函数，即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：，
在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝2x，与y＝x2的图象如图：
由图可知，要使函数为增函数，则2≤a≤4．
∴实数a的取值范围是[2，4]．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
20．（2023•嘉定区校级三模）已知函数，若满足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（3，2023.5）B．（3，2024）C．[3，2024）D．[3，2025）
【分析】作出函数f（x）的图像，根据三角函数对称性得a+b＝1，解0≤lg2023（c﹣1）＜1，得c∈[2，2024），进而得答案．
【解答】解：作出函数的图像，不妨设a＜b＜c，如图，
根据三角函数的对称性得可得a+b＝1，
由0≤lg2023（c﹣1）＜1，得c∈[2，2024），
∴a+b+c∈[3，2025），
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
21．（2023•嵊州市模拟）已知函数，若p≠q，且f（p）+f（q）＝2，则p+q的最小值是（ ）
A．2﹣2ln2B．3﹣2ln2C．4﹣2ln3D．2
【分析】由p≠q，且f（p）+f（q）＝2，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设p＜1，q＞1，由f（p）+f（q）＝2，得p＝1﹣2lnq，得到p+q＝﹣2lnq+q+1，q＞1，构造函数h（x）＝﹣2lnx+x+1，x＞1，利用导数求其最小值即可．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝4lnx+1≥1，
当x＜1时，f（x）＝2x﹣1＜1，
由p≠q，且f（p）+f（q）＝2，得p与q一个大于1，一个小于1，
不妨设p＜1，q＞1，
则2p﹣1+4lnq+1＝2，即p＝1﹣2lnq，
∴p+q＝﹣2lnq+q+1，q＞1，
令h（x）＝﹣2lnx+x+1，x＞1，，
可得当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴当x＝2时，h（x）取得最小值为3﹣2ln2．
∴p+q的最小值是3﹣2ln2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2023•南昌三模）函数若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】讨论x＞0时不等式f（x）≥0可化为a≤，构造函数g（x）＝，利用导数求g（x）的最小值，可求出a的取值范围，当x≤0时根据二次函数与一元二次不等式的关系，求出不等式f（x）≥0的解集，从而求得a的取值范围．
【解答】解：因为函数，
当x＞0时，f（x）＝ex﹣ax2，由f（x）≥0，可得a≤，
设g（x）＝，可得g′（x）＝，则g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（2）＝，
所以a≤；
当x≤0时，f（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+2a＝﹣（x+2）（x﹣a），
当a＞﹣2时，f（x）≥0的解集为[﹣2，a]；
当a≤﹣2时，f（x）≥0的解集为[a，﹣2]，不满足题意，舍去．
因为关于x的不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，+∞），
当a≥0时，[﹣2，a]∩（﹣∞，0]＝[﹣2，0]，满足[﹣2，0]∪（0，+∞）＝[﹣2，+∞）；
当﹣2＜a＜0时，[﹣2，a]∩（﹣∞，0]＝[﹣2，a]，不满足[﹣2，a]∪（0，+∞）＝[﹣2，+∞）．
综上，a的取值范围是[0，]．
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想，是难档题．
23．（2023•丹东模拟）设函数y＝f（x）由关系式x|x|+y|y|＝1确定，函数，则（ ）
A．g（x）为增函数
B．g（x）为奇函数
C．g（x）值域为[﹣1，+∞）
D．函数y＝f（﹣x）﹣g（x）没有正零点
【分析】根据题意，在同一坐标系内画出函数y＝f（x）和g（x）的图象，结合图象判断选项中的命题是否成立即可．
【解答】解：因为函数y＝f（x）由关系式x|x|+y|y|＝1确定，所以y＝f（x）＝，
作出f（x）的图象，如图所示：
因为函数g（x）＝，
在同一坐标系中作出g（x）的图象，如图所示：
g（x）在整个定义域R上不是增函数，选项A错误；
因为g（0）＝﹣1≠0，所以g（x）不是定义域R上的奇函数，选项B错误；
g（x）的值域是R，所以选项C错误．
当x≥0时，函数f（﹣x）的图象在函数g（x）的上方，y＝f（﹣x）﹣g（x）有零点是0，
当x＜0时，函数f（﹣x当x≥0时，函数f（﹣x）的图象在函数g（x）的上方，y＝f（﹣x）﹣g（x）有零点是0，
所以函数y＝f（﹣x）﹣g（x）没有正零点，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了分段函数的图象和性质应用问题，也考查了分类讨论与数形结合思想，是难题．
24．（2023•黄埔区校级模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）当m＝5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2在x＝﹣1取得最小值2，f（x）在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．
【解答】解：（1）当m＝5时，，…（3分）
由f（x）＞2得不等式的解集为．…（5分）
（2）由二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该函数在x＝﹣1取得最小值2，
因为，在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，…（8分）
所以要使二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，
只需m﹣2≥2，即m≥4．…（10分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三．根据实际问题选择函数类型（共18小题）
25．（2023•全国二模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化规律是，其中p0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为 8730 米．（答案保留整数，参考数据ln3≈1.1）
【分析】根据题意解方程即可得解．
【解答】解：由题意可知：，解得﹣kh＝﹣ln3，
所以＝≈8730（m）．
故答案为：8730．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
26．（2023•西城区校级三模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．6升B．8升C．10升D．12升
【分析】由表格信息，得到该车加了60升的汽油，跑了500千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．
【解答】解：由表格得到从5月1日到15日，该车加了60升的汽油，这段时间行驶的路程为35500千米−35000千米＝500千米，
所以该车每100千米平均耗油量60÷5＝12（升）．
故选：D．
【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力，属于基础题．
27．（2023•驻马店三模）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min•m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min•m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（ ）（参考数据：）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据已知公式和数据代入计算即可．
【解答】解：由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，
得，
再由保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min•m2，
得，
即保护对象的水雾喷头的数量N约为6个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
28．（2023•密云区三模）血药浓度（PlasmaCncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据图象，结合题意，逐一判断每个选项即可．
【解答】解：由图可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用所以①正确；
服用该药物1单位后，药物的持续作用时间约为5.5小时，所以②错误，③正确；
首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中毒，所以④错误．
所以正确的有①③，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，考查学生的阅读能力和数据分析能力，属于基础题．
29．（2023•广西模拟）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010）
A．35B．25C．15D．9
【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，再利用对数的运算性质求出x的值即可．
【解答】解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，
则，
∴x＝＝＝＝＝≈35，
即大约经过35天“进步”的值是“退步”的值的2倍．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
30．（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用﹣的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．
【解答】解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝h（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t），
对于A选项，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力．由图可知，h（t1）﹣h（t2）＞g（t1）﹣g（t2），
所以h（t）＞g（t），即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知，h（t）在t2时刻的切线斜率小于g（t）在t2时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，
在[t1，t2]时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．
31．（2023•潍坊二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 3 ．
【分析】根据题意分析可得|PH|+|PB|＝4，故点P的轨迹为以B，H为焦点的椭圆，结合椭圆的性质分析运算．
【解答】解：如图，连接BD，PB，BH，
因为ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，
所以|PH|+|PB|＝|PH|+|PD|＝|DH|＝4＞|BH|，
故点P的轨迹为以B，H为焦点的椭圆，
可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，
所以|PB|的最大值为a+c＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
32．（2023•哈尔滨二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．
圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C．
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为 ．
【分析】分析可知曲线C是以F、E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立平面直角坐标系，求出曲线C的方程，结合椭圆的有界性可求得|OM|的最小值．
【解答】解：设点F关于折痕的对称点为点A，由对称性可知|MF|＝|MA|，且A、M、E三点共线，
如图，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
所以，|ME|+|MF|＝|EA|＝4＞|EF|＝2，
所以，曲线C是以F、E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，
则，可得a＝2，c＝1，则，
所以，曲线C的方程为，
设点M（x0，y0），则，所以且﹣2≤x0≤2，
所以，
当且仅当x0＝0时，等号成立，故|OM|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
33．（2023•济南一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为Dp（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p），其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝ex上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为 2 ．
【分析】利用导数可证得1+et≥t+2＞t，由此可分别在x≤t、t＜x＜1+et和x≥1+et的情况下，去掉绝对值符号，则可化简D1（M，N）得到最小值．
【解答】解：设N（x，x﹣1），M（t，et），则，
令f（x）＝1+et﹣x，则f′（x）＝ex﹣1，
∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）＝2，即1+et≥t+2＞t，
当x≤t时，≥et﹣t+1≥2，
当t＜x＜1+et时，；
当x≥1+et时，≥2（1+et）﹣t﹣1﹣et＝1+et﹣t≥2，
综上所述：D1（M，N）的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
34．（2023•重庆模拟）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为0.3%，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）．
（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
（2）若王先生采取等额本息的还贷方式．银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批．（不考虑其他因素）参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437
【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；
（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论．
【解答】解：（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，
则a1＝15000，a120＝6500，故，
故王先生该笔贷款的总利息为：1290000﹣1000000＝290000元；
（2）设王先生每月还货额为x元，
则有x+x（1+0.003）1+x（1+0.003）2+⋯+x（1+0.003）119＝1000000×（1+0.004）120，
即x，
故．
因为，故王先生该笔贷款能够获批．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
35．（2023•郴州模拟）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的．所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的起点和终点．例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S＝A（1+r）n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？
（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1）问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）
参考数据：（1+2.5%）10≈1.28
【分析】（1）分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案．
（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，T＝2（1+2.5%）10+2.1（1+2.5%）9++2.9（1+2.5%），由错位相减法即可求出T．
【解答】解：（1）若全款购置，则25万元10年后的价值
25（1+2.5%）10≈32.00（万元），
若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为
S＝3（1+2.5%）10+3（1+2.5%）9+...+3（1+2.5%）≈34.44（万元），
因此，付全款较好．
（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，
T＝2（1+2.5%）10+2.1（1+2.5%）9++2.9（1+2.5%），
记1+2.5%＝q，an＝﹣0.1n+3，则
①，
②，
①﹣②作差可得：（1﹣q）T＝2.9q﹣0.1（q2+q3++q10）﹣2q11，
整理得到：（万元）．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
36．（2023•丰城市模拟）某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力，成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元，现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：
记x表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数．
（1）若n＝6，求y与x的函数关系式；
（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6≤x≤8的概率；
（3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断应购买7次还是8次维修服务？
【分析】（1）用分段函数表示；
（2）直接求出满足条件的与总数的比值即可．
（3）分别求出每台购买7次和8次维修服务所需费用的平均值，比较它们的大小可得
【解答】解（1）当x≤6时，y＝6×1000＝6000；
当x＞6时，y＝6000+1500（x﹣6）＝1500x﹣3000，
故y与x的函数关系式为：y＝ （x∈N）；
（2）6≤x≤8的概率为：＝0.7；
（3）购买7次维修服务所需要费用的平均数为（300×7000+100×8500+100×10000）＝7900；
购买8次维修服务所需要费用的平均数为（400×8000+100×9500）＝8300；
因为7900＜8300；
故应该购买7此维修服务．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，同时考查了将实际问题转化为数学问题的能力，属中档题
37．（2023•海淀区校级三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．75B．74C．73D．72
【分析】由已知可得，由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
【解答】解：由题设可得0.5D＝0.4，则，
所以，即G＞18lg＝＝≈72．
故所需的训练洪代轮数至少为72次．
故选：D．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
38．（2023•苏州三模）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至12000，则C大约增加了（ ）（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990）
A．25%B．30%C．36%D．45%
【分析】根据题意将信噪比分别为1000，12000代入香农公式，列出等式，利用换底公式，求解即可．
【解答】解：因为当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计，
所以当＝1000时，C1＝Wlg21000，
当时 C2＝Wlg212000，
所以＝，
所以，
所以C大约增加了36%．
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
39．（2023•无锡三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（ ）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg11≈1.041）
A．82B．84C．86D．88
【分析】利用对数的运算性质结合估算即可求得结果．
【解答】解：设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，
可得1.2x＝1.1x×1500，
两边取对数得xlgl.2＝xlg1.1+lg1500，
x（lg12﹣1）＝x（lg11﹣1）+lg15+2，
，
又因为g15＝lg（3×5）＝lg3+lg5＝lg3+1﹣lg2≈0.477+1﹣0.301＝1.176，
lg12＝lg3+lg4＝lg3+2lg2≈0.477+0.602＝1.079，
所以≈84．
故选：B．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
40．（2023•南昌二模）足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，l1∥l2，这两平行线间的距离为3m，CA⊥AB，|AC|＜|AB|，|BC|＝10m，点B在直线l上，且l⊥l2，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与l1的夹角为α，已知站位B，C两点队员跑动速度都是8m/s，现要求接球点满足下面两个条件：
①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点；
②接球点在直线l的左侧（包括l）；则tanα的取值范围是 ．
【分析】以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设接球点为P，根据|PC|﹣|PB|＝8m，可得点P在以C，B为焦点的双曲线的右支上，根据AC⊥AB，求得A点的坐标，直线l与双曲线的右支交于P1，P2（P1在P2的上方），求出P1，P2两点的坐标，再求出AP1，AP2的斜率，结合图象即可得解．
【解答】解：如图，以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，
则B（5，0），C（﹣5，0），
设接球点为P，若|PC|﹣|PB|＝8m，
得点P在以C，B为焦点的双曲线的右支上，
设A（xA，3），则，
因为AC⊥AB，
所以，解得xA＝﹣4，
即A（﹣4，3），
设直线l与双曲线的右支交于P1，P2（P1在P2的上方），
令x＝5，则，所以，
则接球点为P位于双曲线右支与直线l围成的区域内或边界，则4≤xP≤5，
，
因为直线AP的倾斜角与α互补，
由图可知，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
41．（2023•平顶山模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是 [10，13] cm．
【分析】求出长方形纸片的面积，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为S1，S2，则，分三种情况，表达出折痕的平方，根据得到自变量的取值范围，结合函数的单调性，求出折痕长度的取值范围．
【解答】解：由题意得长方形纸片的面积为12×10＝120（cm2），
不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为S1，S2，且S1：S2＝1：3，
则，．
如图，其中AB＝12cm，AD＝10cm，
当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，
设AM＝xcm，AN＝ycm，则，解得，
则，
令t＝x2，t∈[36，144]，则，，
当t∈（36，60）时，f'（t）＜0，当t∈（60，144）时，f'（t）＞0，
故f（t）在[36，60]上单调递减，在[60，144]上单调递增，
又f（36）＝136，f（60）＝120，f（144）＝169，故f（t）∈[120，169]，
故．
当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，
设AM＝xcm，DN＝ycm，则，解得，
则MN2＝（x﹣y）2+100＝（2x﹣6）2+100，0＜x＜6，
根据二次函数的性质可知，MN2∈[100，136），则．
当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，
设AM＝xcm，BN＝ycm，则，解得，
则MN2＝（x﹣y）2+144＝（2x﹣5）2+144，0＜x＜5，
根据二次函数的性质可知，MN2∈[144，169），则MN∈[12，13）．
综上所述，折痕长度的取值范围为[10，13]．
故答案为：[10，13]．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
42．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1﹣图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．
（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．
【分析】（1）建系，根据三角函数的定义，两点间距离公式，即可求解；
（2）设∠POA＝θ，从而可构建修建的总路长为y关于θ的函数模型，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出函数的最值；
（3）根据比较设计方案总路径的大小，即可作答．
【解答】解：（1）如图，以O原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
∵点Q为弧的中点，∴，即，
又可以计算得，
∴（米），
∴QC的长约为346米；
（2）设∠POA＝θ，
则P（200csθ，200sinθ），M（400，200sinθ），，
设修建的总路长为y＝f（θ）＝，
则
＝，
∴f'（θ）＝﹣200+200sinθ﹣200csθ，
令f'（θ）＝0，则sinθ﹣csθ＝1，，解得，
∴当时，f'（θ）＜0，函数y＝f（θ）单调递减；
当时，f'（θ）＞0，函数y＝f（θ）单调递增，
∴y＝f（θ）的最小值为 （米），
∴修建的总路长的最小值约为651米；
（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于AB段附近居民前往）．
【点评】本题考查坐标法的应用，两点间距离公式的应用，函数模型的建立，函数思想的应用，属中档题．
四．带绝对值的函数（共3小题）
43．（2023•咸阳校级模拟）已知函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|﹣2
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）若f（x）⩾kx+2k，求实数k的取值范围．
【分析】（1）利用定义去掉绝对值，再画出函数f（x）的图象；
（2）设g（x）＝kx+2k，画出g（x）、f（x）的图象，利用数形结合法求出k的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|﹣2＝，
作出函数f（x）的图象，如图1所示；
（2）设g（x）＝kx+2k，则g（x）＝kx+2k＝k（x+2），是恒过定点P（﹣2，0）的直线，
如图2所示，由图形知直线l1的斜率为﹣3，直线l2的斜率为＝，
由题意知满足条件f（x）⩾kx+2k，实数k的取值范围是[﹣3，]．
【点评】本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
44．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．
（1）在直角坐标系中画出y＝f（x）和y＝g（x）的图象；
（2）若f（x）+a≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）将f（x），g（x）表示为分段函数的形式，进而画出图象．
（2）通过平移f（x）的图象来求得a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|＝，
g（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|＝，
画出y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图：
（2）f（x）+a≥g（x），说明把函数f（x）的图象向上或向下平移|a|单位以后，
f（x）的图象在g（x）的上方，由图象观察可得：a≥4，
所以a的取值范围为[4，+∞）．
【点评】本题考查带绝对值的函数，考查学生的画图能力，及运算能力，属于中档题．
45．（2023•船山区校级模拟）设函数f（x）＝|2x﹣a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）依题意，解不等式|2x﹣a|+2a≤6，可得a﹣3≤x≤3﹣a，利用不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，可列方程组，解得实数a的值；
（Ⅱ）依题意，可得|2x+2|+1≤（k2﹣1）x，构造函数g（x）＝|2x+2|+1＝，通过作图分析可得不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空的条件是：k2﹣1＞2或k2﹣1≤﹣1，解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣a|+2a≤6，
∴|2x﹣a|≤6﹣2a，
∴2a﹣6≤2x﹣a≤6﹣2a
∴a﹣3≤x≤3﹣a，
又不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，
∴解得a＝﹣2…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝|2x+2|﹣4，由不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5得
|2x+2|﹣4≤（k2﹣1）x﹣5，
化简得|2x+2|+1≤（k2﹣1）x；
令g（x）＝|2x+2|+1＝，y＝g（x）的图象如图所示
要使不等式不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，
只需k2﹣1＞2或k2﹣1≤﹣1，
∴实数k的取值范围是{k|k＜﹣或k＞或k＝0}…10分
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查构造函数思想与数形结合思想的综合运用，考查推理分析与运算的能力，属于难题．
四、刷基础
一．选择题（共12小题）
1．（2023•咸阳二模）某商场要将单价分别为36元/kg，48元/kg，72元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为（ ）
A．52元/kgB．50元/kgC．48元/kgD．46元/kg
【分析】本质上是求3种糖果单价的加权平均值，只需将三种糖果的单价加权平均即可．
【解答】解：定价＝（元/kg）．
故选：D．
【点评】本题主要考查加权平均值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023•温州模拟）某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使两项费用之和最小，仓库和车站的距离为（ ）
A．4kmB．5kmC．6kmD．7km
【分析】设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可得y1＝，y2＝x，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
由题意可设y1＝，y2＝k2x，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝，
所以y1＝，y2＝x，
费用之和y＝y1+y2＝+x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．
当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．
故选：B．
【点评】本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能，属于基础题．
3．（2023•德阳模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点P（﹣1，﹣2）处出发，河岸线对应的直线方程为x+y＝2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据对称性即可找出点P关于直线x+y＝2的对称点，即可解出．
【解答】解：设点P关于直线x+y＝2的对称点Q（a，b），连接PQ，OQ，
∴，解得，
所以Q（4，3），所以|OQ|＝＝5，
又军营所在区域为x2+y2≤1，
故“将军饮马”问题中的最短总路程为5﹣1＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
4．（2023•合肥模拟）Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N（t）与时间t关系时，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）（ln6.3≈1.84）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知有：＝6.3，由此求t即可．
【解答】解：由已知有：＝6.3，
得e0.46t＝6.3，
两边取以e为底的对数，得：0.46t＝ln6.3≈1.84，
t＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了对数运算，属于基础题．
5．（2023•酒泉模拟）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用I（单位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（L≥0，其中是人们平均能听到的声音的最小强度）．若某小区内公共场所因施工声音的强度水平升高了20分贝，则声音的强度应变为原来的（ ）
A．5倍B．100倍C．10倍D．20倍
【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为L1，L2，相应声音的强度为I1，I2，由题意得L2﹣L1＝20，代入求解即可．
【解答】解：设该小区内公共场所声音的强度水平为L1，L2，相应声音的强度为I1，I2，
由题意，得L2﹣L1＝20，即，
则，解得I2＝100I1．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（2023•4月份模拟）某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】根据条件计算每张订单打折前原金额不少于500元，确定每张订单订单至少11件，由此可求得答案．
【解答】解：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”，
即每张订单打折前原金额不少于500元．
由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，
而要购入商品共45件，所以最少需要下的订单张数为4张．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2023•鼓楼区校级模拟）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631 ）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.4%
【分析】由题意Xn＝100X0，代入lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，解方程即可得解．
【解答】解：由题意知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，
即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
所以1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数模型的应用，属于基础题．
8．（2023•湖北模拟）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以1m/s游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的（ ）
A．7倍B．8倍C．9倍D．10倍
【分析】根据题意，结合对数的运算，代入即可得到结果．
【解答】解：由得Q＝100×32v．
当v＝0时，Q0＝100，
当v＝1时，Q1＝900，
故，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查对数的运算，属于基础题．
9．（2023•重庆模拟）生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1﹣3﹣λt），λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合当t＝8时，y＝λ，以及函数的关系式，即可求解．
【解答】解：当t＝8时，y＝λ，y＝λ（1﹣3﹣λt），
则，化简整理可得，3﹣8λ＝3﹣2，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
10．（2023•合肥三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.一年后“进步”的是“退步”的倍．如果每月的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）月后“进步”的是“退步”的一万倍．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．20B．21C．22D．23
【分析】设大约经过x月后“进步”的是“退步”的一万倍，则10000×（1﹣0.2）x＝1.2x，再结合对数公式，即可求解．
【解答】解：设大约经过x月后“进步”的是“退步”的一万倍，
则10000×（1﹣0.2）x＝1.2x，即，
则x＝＝≈．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数公式是解本题的关键，属于基础题．
11．（2023•青秀区校级一模）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx+b（y为保鲜时间，x为储存温度），若该食品在冰箱中0°C的保鲜时间是144小时，在常温20°C的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40°C的保鲜时间是（ ）
A．16小时B．18小时C．20小时D．24小时
【分析】根据题意列出方程组，整理化简得到，再将x＝40代入y＝e40k+b，求解即可．
【解答】解：由题意，，即，
于是当x＝40时，y＝e40k+b＝（e20k）2•eb＝（）2×144＝16，
故选：A．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
12．（2023•大荔县一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2（1+）．它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．10%B．16%C．26%D．33%
【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得C的增长率．
【解答】解：当时，C1＝Wlg21000，
当时，C2＝Wlg26000，
∴，
∴C的增长率约为26%．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，对数的实际应用等知识，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）13．（2023•韶关二模）已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，．设F（x）＝f（x）+f（x﹣1），则（ ）
A．函数y＝F（x）是奇函数也是周期函数
B．函数y＝F（x）的最大值为1
C．函数y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减
D．函数y＝F（x）的图像有对称中心也有对称轴
【分析】根据题意，分析F（x）在区间[﹣2，2]上的解析式和图象，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，且当0≤x≤2时，，
当﹣2≤x≤0时，f（x）＝，
而F（x）＝f（x）+f（x﹣1），
当1≤x≤2时，有0≤x﹣1≤1，此时F（x）＝2﹣x+x﹣1＝1，
当0≤x≤1时，有﹣1≤x﹣1≤0，此时F（x）＝f（x）+f（x﹣1）＝2x﹣1，
当﹣1≤x≤0时，有﹣2≤x﹣1≤﹣1，此时F（x）＝x+[﹣2﹣（x﹣1）]＝﹣1，
当﹣2≤x≤﹣1时，有﹣3≤x﹣1≤﹣2，此时F（x）＝﹣2﹣x﹣1﹣x＝﹣2x﹣3，
则F（x）＝，
其函数图象在[﹣2，2]上的草图如图：
由此分析选项：
对于A，f（x）是周期为4的奇函数，则F（x+4）＝f（x+4）+f（x+3）＝f（x）+f（x﹣1）＝F（x），则F（x）是周期为4的周期函数，
当F（0）＝f（0）+f（﹣1）＝f（0）﹣f（1）＝﹣1≠0，F（x）不是奇函数，A错误；
对于B，结合F（x）的草图，F（x）在[﹣2，2]上的最大值为1，
f（x）为奇函数，且当0≤x≤2时，，
而F（x）是周期为4的周期函数，故F（x）的最大值为1，B正确；
对于C，F（x）是周期为4的周期函数，当x∈（2022，2023）时，x﹣2024∈（﹣2，﹣1），
则F（x）在（2022，2023）上的单调性与（﹣2，﹣1）上的单调性相同，则y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减，C正确；
对于D，结合函数F（x）的草图，F（x）关于直线x＝﹣对称，关于点（，0）对称，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
（多选）14．（2023•张家口一模）已知函数f（x）＝|sinx|+cs|x|，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的最小值为
C．f（x）在区间上单调递增
D．方程在区间[0，4π]内的所有根的和为8π
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）＝|sinx|+cs|x|，其定义域为R，有f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+cs|﹣x|＝|sinx|+cs|x|＝f（x），f（x）为偶函数，故A正确；
对于B，由cs（﹣x）＝csx，得cs|x|＝csx，f（x）＝|sinx|+csx，f（x+2π）＝|sin（x+2π）|+cs（x+2π）＝|sinx|+csx＝f（x），
所以函数f（x）是以2π为周期的周期函数，，
即，故函数f（x）的图象如图：
所以函数f（x）的最小值为﹣1，所以B错误；
对于C，由函数的图象，当时，，函数f（x）单调递增，所以C正确；
对于D，函数f（x）与直线y＝在区间[0，4π]有四个交点，
则方程在区间[0，4π]有四个根x1＜x2＜x3＜x4，且，所以x1+x2+x3+x4＝8π，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
15．（2023•陕西模拟）已知函数f（x）＝则f[f（x）]＜2的解集是 （﹣∞，1﹣ln2） ．
【分析】根据题意，分析函数的单调性，由此可得f[f（x）]＜2⇔f[f（x）]＜f（1）⇔f（x）＜1⇔f（x）＜f（1﹣ln2），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝有f（1）＝2；
在区间（﹣∞，1）上，f（x）＝2ex﹣1，是增函数，且f（x）＜f（1）＝2，
在区间[1，+∞）上，f（x）＝x3+x，是增函数，且f（x）≥f（1）＝2，
故f（x）在R上为增函数；
若f（x）＝1，则有2ex﹣1＝1，解可得x＝1﹣ln2，
f[f（x）]＜2⇔f[f（x）]＜f（1）⇔f（x）＜1⇔f（x）＜f（1﹣ln2），
必有x＜1﹣ln2，即不等式的解集为（﹣∞，1﹣ln2）．
故答案为：（﹣∞，1﹣ln2）．
【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
16．（2023•全国一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度t℃应满足的不等关系式是 t＞39 ．
【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式．
【解答】解：依题意，t＞36×＝39．
故答案为：t＞39．
【点评】本题考查函数模型的应用，不等式的应用，属于基础题．
17．（2023•重庆模拟）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，至少需要 7 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下．（lg3＝0.477）
【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：设光线未通过玻璃时的强度为a，至少需要x块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下，
则，即，
所以x（2lg3﹣1）≤﹣lg2，解得x≥，
由x≥1，且x∈N，可得x＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数公式是解本题的关键，属于基础题．
四．解答题（共1小题）
18．（2023•西山区校级模拟）春见柑橘的学名是春见，俗称粑粑柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：
未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量
已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．
（1）根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；
（2）已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．
【分析】（1）根据表格的数据，并结合平均数公式，即可求解．
（2）先求出基地使用新技术后春见柑橘的年总产量，再结合对应的价格，即可求解．
【解答】解：（1）未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量的平均值千克，
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量的平均值千克，
故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为．
（2）该基地使用新技术后春见柑橘的年总产量约为40×40×55＝88000千克，
故该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润约为88000×0.8×（10﹣5）+88000×0.2×（10×0.8﹣5）＝404800＝40.48万元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．
五.刷易错
一．选择题（共7小题）
1．（2023•南宁二模）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为M＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：lg2≈0.30）（ ）
A．1.53hB．1.60hC．1.75hD．2.33h
【分析】根据题意，利用函数解析式求出e﹣k，再计算M＝0.2M0时t的值．
【解答】解：在M＝M0e﹣kt中，t＝1时，M＝50%×M0＝M0，
所以e﹣k＝，
当M＝（1﹣80%）M0＝0.2M0时，e﹣kt＝＝0.2，
两边取对数，得tlg＝lg0.2，﹣tlg2＝﹣1+lg2，
解得t＝﹣1≈﹣1≈2.33，
所以过滤掉80%的污染物需要的时间约为2.33h．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的实际应用，也考查了运算求解能力，是基础题．
2．（2023•南宁二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】写出年平均费用函数，利用基本不等式求出函数y取最小值时x的值即可．
【解答】解：由题意知，年平均费用为y＝＝++ （x∈N*）．
因为y＝++≥2+＝+＝，
当且仅当＝，即x＝9时等号成立，此时函数y有最小值，
所以这套设备年平均费用最少时的年限为9年．
故选：C．
【点评】本题考查了利用基本不等式求函数最值的应用问题，是基础题．
3．（2023•河南模拟）著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为N0（N0＞0），经过t（天）时间之后的热搜度变为N（t）＝N0e﹣αt，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数α＝0.3，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t至少为（ ）（ln2≈0.693，t取整数）
A．7B．6C．4D．3
【分析】由N（t）＝N0e﹣αt＜N0，代入数值求解即可．
【解答】解：由题意得N（t）＝N0e﹣αt＜N0，
即e﹣0.3t＜，
两边取对数，得﹣0.3t＜ln＝﹣ln2，
解得t＞≈＝2.31，
所以经过3天后，热搜度下降到初始热搜度的50%以下．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，以及转化思想和运算求解能力，是基础题．
4．（2023•河东区二模）已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．
【解答】解：y＝lga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x，
则Δ＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，
解得a＝或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．
5．（2023•绍兴二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：≈1.732）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
【分析】如图设横截面为等腰梯形ABCD，BE⊥AD于E，求出资金3万元都用完时，AB+BC+CD的值，设BC＝x，再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解．
【解答】解：如图设横截面为等腰梯形ABCD，BE⊥AD于E，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则100×（AB+BC+CD）×100＝30000，解得AB+BC+CD＝3米，
设BC＝x，则AB＝3﹣2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3﹣x，且0＜x＜，
梯形ABCD的面积S＝＝（﹣x2+2x），
当x＝1时，Smax＝，
此时BE＝≈0.87，
即当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为0.87米．
故选：B．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
6．（2023•江西模拟）已知λ∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣4x+1+2λ，若关于x的方程f（g（x））＝λ有6个解，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，]B．（0，）C．（，1）D．（，）
【分析】令g（x）＝t，画出y＝f（t）与y＝λ的图象，则方程f（t）＝λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1＝﹣1﹣λ，t2＝﹣1+λ，t3＝10λ再由g（x）＝t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．
【解答】解：令g（x）＝t，则方程f（t）＝λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．
且三个解分别为t1＝﹣1﹣λ，t2＝﹣1+λ，t3＝10λ，
则x2﹣4x+1+2λ＝﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+2λ＝﹣1+λ，
x2﹣4x+1+2λ＝10λ，均有两个不相等的实根，
则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，
即16﹣4（2+3λ）＞0且16﹣4（2+λ）＞0，解得0＜λ＜，
当0＜λ＜时，△3＝16﹣4（1+2λ﹣10λ）＞0即3﹣2λ+10λ＞0恒成立，
故λ的取值范围为（0，）．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．
7．（2023•遂川县校级一模）已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）
【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x＝﹣1对称，x3x4＝1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，
0＜x3＜1＜x4，
则|lg2x3|＝|lg2x4|，
即﹣lg2x3＝lg2x4，
则lg2x3+lg2x4＝0
即lg2x3x4＝0
则x3x4＝1；
当|lg2x|＝1得x＝2或，
则1＜x4≤2；≤x3＜1；
故＝﹣2x3+，≤x3＜1；
则函数y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，
则故x3＝取得最大值，为y＝1，
当x3＝1时，函数值为﹣1．
即函数取值范围是（﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
8．（2023•徐汇区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是 ．
【分析】分类讨论a的值，求出二次函数的单调性和最值，从而得到分段函数的最值．
【解答】解：①若a＜0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝，
∴当x＜0时，f（x）min＝f（）＝﹣++1，
又∵当x≥0时，f（x）≥0＞2a，
∴﹣++1＝2a，∴a2+6a﹣4＝0，∴a＝﹣﹣3或a＝﹣3（舍去），
②若a＝0时，则f（x）＝，∴f（x）＞1＞2a，∴a≠0，
③若a＞0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝＞0，
∴当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+a+1单调递减，∴f（x）＞f（0）＝+1，
当x≥0时，f（x）＝，
∴f（x）≥a+2，∴a+2＝2a，∴a＝2，
又∵+1＞2a，∴0＜a＜，∴a≠2，
综上所述：a∈{﹣﹣3}．
故答案为：{﹣﹣3}．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，是中档题．
三．解答题（共1小题）
9．（2023•重庆模拟）正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V（t）＝Asin（2πft+φ），其中V（t）表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而A＞0表示正弦信号的幅度，f是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为R1，R2，R3，R4（单位：Ω）．
V1（t）和V2（t）是两个输入信号，V0（t）表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，V0（t）与V1（t）和V2（t）的关系为：．
例如当R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cst时，输出信号：．
（1）若R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cst，则V0（t）的最大值为_____；
（2）已知R2＝1Ω，R3＝2Ω，R4＝3Ω，输入信号，．若（其中A＞0），则R1＝_____；
（3）已知R3＝1Ω，R4＝1Ω，0＜R2＜R1≤1Ω，且V1（t）＝sint，V2（t）＝cs2t．若V0（t）的最大值为，则满足条件的一组电阻值R1，R2分别是_____．
【分析】（1）根据输出信号函数计算V0（t）的最大值即可；
（2）利用信号函数列出方程，根据系数相等列方程组，由此求出R1的值；
（3）利用输出信号函数求出V0（t）取最大值时R1与R2的关系，再方程求出R1、R2的值．
【解答】解：（1）根据题意知，输出信号V0（t）＝（1+）•＝sint+cst＝sin（t+），
所以V0（t）的最大值为；
（2）由题意知，Asin（t+）＝（1+）•，
整理得sint+Acst＝[（sint+cst）+（cst﹣R1sint），
所以sint+Acst＝sint+cst，
所以，解得R1＝（Ω）；
（3）由题意得，V0（t）＝（1+）•
＝[R2•sint+R1（1﹣2sin2t）]
＝（﹣2R1sin2t+R2sint+R1）
＝[﹣2R1+]，
又0＜R2＜R1≤1Ω，所以0＜＜，
当sint＝时，V0（t）取得最大值为•＝，
令＝，整理得2﹣6R1R2+＝0，
两边都除以，得﹣6（）+2＝0，解得＝3±，
又因为0＜R2＜R1≤1Ω，所以＝3﹣，取R1＝1，R2＝2﹣即满足题意，
所以R1＝1Ω，R2＝（3﹣）Ω（答案不唯一）．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2023年5月1日
12
35000
2023年5月15日
60
35500
维修次数
5
6
7
8
9
频数（台）
50
100
150
100
100
第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
30
32
33
30
34
30
34
33
第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
40
39
40
37
42
38
42
42