高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题1.2全称量词与存在量词、充要条件(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题1.2全称量词与存在量词、充要条件(讲)原卷版+解析，共14页。

1. 充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若peq \(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若peq \(⇒,/)q且qeq \(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2. 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
【考点分类剖析】
考点一 充要条件的判定
例1.（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例3．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件； 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1.（2019年高考天津理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点二：充分条件与必要条件的应用
例4.（2021·浙江高一期末）的必要不充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
例5. 设：实数满足，：实数满足．
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【特别警示】
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点三：全称量词与存在量词
例6.（2021·安徽高三二模（文））命题“，”的否定是_____．
例7．（重庆高考真题（文））命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
例8. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A.，B.，，
C.，，D.，
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
4．常见词语的否定形式有：
【变式探究】
1．（全国高考真题（理））设命题，则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2. （2021·安徽高三三模（文））命题：“，”的否定是___________.
3．给出下列命题：
（1），；（2），；（3），，使得．
其中真命题的个数为______．
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
新课程考试要求
1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养
培养学生逻辑推理（例2、例4）、数学运算（例1、例4、例5）、直观想象能力（例2）
考向预测
1.全称量词与存在量词
2.充分条件与必要条件的判定
3.充分条件、必要条件的应用
命题
命题的否定
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件
【知识清单】
1. 充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若peq \(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若peq \(⇒,/)q且qeq \(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2. 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
【考点分类剖析】
考点一 充要条件的判定
例1.（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
例2.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
例3．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件； 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1.（2019年高考天津理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
2.（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
b=0 时，f(x)=csx+bsinx=csx, f(x)为偶函数；
f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x恒成立，
f(−x)=cs(−x)+bsin(−x)=csx−bsinx
csx+bsinx=csx−bsinx ，得bsinx=0对任意的x恒成立，从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.
3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题设，令公比为，分别确定、时的取值范围，即可判断它们的充分、必要关系.
【详解】
等比数列中，令公比为，
∴若，则有；若，则有或，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
考点二：充分条件与必要条件的应用
例4.（2021·浙江高一期末）的必要不充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】
解出一元二次不等式的解集，其必要不充分条件对应的集合应包含其解集，观察选项即可.
【详解】
,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
例5. 设：实数满足，：实数满足．
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（Ⅰ）当时，：，：或.
因为为真，所以，中至少有一个真命题.
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，：，
由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以，
故答案为.
【特别警示】
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点三：全称量词与存在量词
例6.（2021·安徽高三二模（文））命题“，”的否定是_____．
【答案】“，”
【解析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解.
【详解】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“，”的否定是“，”．
故答案为：“，”．
例7．（重庆高考真题（文））命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
【答案】D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选D．
例8. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A.，B.，，
C.，，D.，
【答案】B
【解析】
对于选项A，令，则，故A错；
对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；
对于选项C，令，则显然无解，故C错；
对于选项D，令，则显然不成立，故D错.
故选：B
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
4．常见词语的否定形式有：
【变式探究】
1．（全国高考真题（理））设命题，则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
2. （2021·安徽高三三模（文））命题：“，”的否定是___________.
【答案】，．
【解析】
根据全称命题的否定定义写出即可．
【详解】
“，”的否定是，．
故答案为：，．
3．给出下列命题：
（1），；（2），；（3），，使得．
其中真命题的个数为______．
【答案】1
【解析】
对于（1），当时，，所以（1）是假命题；
对于（2），，所以（2）是假命题；
对于（3），当，时，，所以（3）是真命题．
所以共有1个真命题，
故填：1.
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
新课程考试要求
1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养
培养学生逻辑推理（例2、例4）、数学运算（例1、例4、例5）、直观想象能力（例2）
考向预测
1.全称量词与存在量词
2.充分条件与必要条件的判定
3.充分条件、必要条件的应用
命题
命题的否定
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假