高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.2基本不等式及其应用(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.2基本不等式及其应用(讲)原卷版+解析，共14页。

1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
【考点分类剖析】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例1. （2021·山西高三二模（文））证明：；
例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.求证:
2.已知、、都是正数，求证：
考点二：利用基本不等式求最值
例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式探究】
1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．3
2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.
【总结提升】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考点三：基本不等式的实际应用
例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式探究】
（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
考点四：基本不等式的综合运用
例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.
例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
【总结提升】
基本不等式的综合应用求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
【变式探究】
1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列an中，若m，，满足aman2=a42，则2m+1n的最小值为__________．
2.设函数fx=x2−3x
（Ⅰ）若不等式fx≥m对任意x∈0,1恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当m取最大值时，设x>0，y>0且2x+4y+m=0，求1x+1y的最小值.
新课程考试要求
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..
核心素养
培养学生数学运算（例）、数学建模（例5）、逻辑推理（例）等核心数学素养.
考向预测
1.利用基本不等式求最值
2.利用基本不等式解决实际问题
3.基本不等式的综合应用
专题2.2 基本不等式及其应用
【知识清单】
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
【考点分类剖析】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例1.（2021·山西高三二模（文））证明：；
【答案】证明见解析.
【解析】
由不等式，令，则有，即可证得.
例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
【答案】见解析
【解析】∵，，，
∴.同理，.∴
＝，当且仅当，即时取“＝”．
∴，当且仅当时等号成立．
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.求证:
【答案】见解析
【解析】证明:由基本不等式和得
=
当且仅当即时取等号.
2.已知、、都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
考点二：利用基本不等式求最值
例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【答案】ACD
【解析】
根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】
因为且，
所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．
【详解】
因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，
则，
时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，
所以的最小值是．
故答案为：．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式探究】
1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为
所以的最小值为.
【总结提升】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考点三：基本不等式的实际应用
例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得，结合基本不等式求得时取得最大值，进而求得圆锥的体积.
【详解】
设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线，
所以圆锥的侧面积为，且，
所以圆锥的体积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时.
故选：D.
【规律方法】
1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式探究】
（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
考点四：基本不等式的综合运用
例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.
【答案】2
【解析】
结合的范围求出角的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，解得，
由余弦定理得，则，
所以，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，解得，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，
故答案为：2
例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.；（3）.
【解析】
（1）①当即时，，不合题意；
②当即时，
，即，
∴，∴
（2）即
即
①当即时，解集为
②当即时，
∵，∴解集为
③当即时，
∵，所以，所以
∴解集为
（3）不等式的解集为，，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则，，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，，
所以
【总结提升】
基本不等式的综合应用求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
【变式探究】
1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列an中，若m，，满足aman2=a42，则2m+1n的最小值为__________．
【答案】1
【解析】设等比数列an公比为q，则首项a1=q，
由aman2=a42得：a1qm−1⋅a1qn−12=a1q32，
则：qm+2n=q8 ， ∴m+2n=8，
∴2m+1n=18⋅2m+1nm+2n=18⋅2+4nm+mn+2=18⋅4+4nm+mn，
，∴4nm>0,mn>0.
则4nm+mn≥24nm⋅mn=4（当且仅当4nm=mn，即2n=m时取等号）
∴2m+1nmin=18×4+4=1.
故填1.
2.设函数fx=x2−3x
（Ⅰ）若不等式fx≥m对任意x∈0,1恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当m取最大值时，设x>0，y>0且2x+4y+m=0，求1x+1y的最小值.
【答案】(1)m≤−2;(2)3+22.
【解析】
（Ⅰ）因为函数f(x)=x2−3x的对称轴为x=32，且开口向上，
所以f(x)=x2−3x在x∈0,1上单调递减，
所以f(x)min=f1=1−3=−2，
∴m≤−2.
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得m=−2，
即2x+4y−2=0，
所以x+2y=1.
所以x+2y=1.
∵x>0，y>0
则1x+1y=(1x+1y)(x+2y)
=(3+2yx+xy)
≥3+2xy⋅2yx
=3+22
当且仅当2yx=xy，即x=2−1，y=1−22时，等号成立.
所以1x+1y的最小值为3+22.
新课程考试要求
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..
核心素养
培养学生数学运算（例）、数学建模（例5）、逻辑推理（例）等核心数学素养.
考向预测
1.利用基本不等式求最值
2.利用基本不等式解决实际问题
3.基本不等式的综合应用