高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.4幂函数(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.4幂函数(讲)原卷版+解析，共19页。

1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
【考点分类剖析】
考点一 ：幂函数的概念
例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.
【总结提升】
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
【变式探究】
（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
考点二 ：幂函数的图象
例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 （ ）
A. B. C. D.
例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数的图像过点，则________，_________．
【总结提升】
1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.
【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A．B．
C．D．
3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当时，是增函数D．的图像是一条直线
考点三 ：幂函数的性质
例5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数在上是减函数，则整数a的值是________．
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
【变式探究】
1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.
考点四：幂函数综合问题
例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【变式探究】
1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．-1
2.（2020·上海高一课时练习）若，求实数a的取值范围．
新课程考试要求
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数
，的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、直观想象（例2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；
2.幂函数的图象与性质的应用.
3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
专题3.4 幂函数
【知识清单】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
【考点分类剖析】
考点一 ：幂函数的概念
例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.
【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) eq \f(－1±\r(13),2).(4)－1±eq \r(2).
【解析】 (1)若f(x)为正比例函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))，∴m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))，∴m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))，∴m＝eq \f(－1±\r(13),2).
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq \r(2).
【总结提升】
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
【变式探究】
（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
利用幂函数的性质逐一验证选项即可．
【详解】
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，
故选：A.
考点二 ：幂函数的图象
例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.
故选：B.
例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ，
作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知
如图，
故选D．
例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数的图像过点，则________，_________．
【答案】
【解析】
将点的坐标代入解析式求解即可.
【详解】
由题意知，，所以可得，所以，可知.
故答案为：；
【总结提升】
1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.
【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
，该函数的定义域为，所以排除C；
因为函数为偶函数，所以排除D；
又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.
故选A．
2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
方法一 曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.显然对应，对应.
方法二 令，分别代入，得，，
所以曲线相对应的依次为.
故选：.
3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当时，是增函数D．的图像是一条直线
【答案】B
【解析】
幂函数的图像都过点,但不一定过点，如，所以A错；
因为当时，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对；
当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；
的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.
故选:B
考点三 ：幂函数的性质
例5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.
【详解】
由题得.
函数是上的增函数.
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：A
例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
【答案】，的取值范围为
【解析】
先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.
【详解】
∵幂函数经过点，
∴，
即
∴=.解得=或=.
又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.
由得解得.
∴的取值范围为.
例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数在上是减函数，则整数a的值是________．
【答案】2
【解析】
由在上是减函数，可得，进而可得结果.
【详解】
因为在上是减函数，所以，
解得，又函数为偶函数，且，
当时，为奇函数
当时，为偶函数
当时，为奇函数；
所以
故答案为：2
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
【变式探究】
1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【答案】D
【解析】
根据题意，点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，则有28＝3n+1，解可得n＝3；
则f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上为增函数，
又由1＜lnπ，则有c＜a＜b.
故选：D.
2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，不满足题意
当时，幂函数和直线重合，不满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
综上，
故答案为
3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.
【答案】2
【解析】
∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，
解得m＝2或-1（舍）．
故答案为2．
考点四：幂函数综合问题
例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
【答案】－1或
【解析】
设点，则
令
令
（1）当时，时取得最小值，，解得
（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值
，解得
综上可知：或
所以答案应填：-1或.
例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．
【解析】
（）∵为幂函数，∴，∴或．
当时，在上单调递减，
故不符合题意．
当时，在上单调递增，
故，符合题意．∴．
（），
令．∵，∴，∴，．
当时，时，有最小值，
∴，．
②当时，时，有最小值．∴，（舍）．
③当时，时，有最小值，
∴，（舍）．∴综上．
（），
易知在定义域上单调递减，
∴，即，
令，，
则，，∴，∴，
∴．
∵，
∴，∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．∴．
【变式探究】
1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．-1
【答案】C
【解析】
设幂函数，图象过点，故
故，，令，则，，
∴时，.
故选：C
2.（2020·上海高一课时练习）若，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
由幂函数的定义域为，
且满足，所以函数为偶函数，
又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，
又由，则满足 ，解得或，
所以实数a的取值范围．
新课程考试要求
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数
，的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、直观想象（例2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；
2.幂函数的图象与性质的应用.
3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇