高考数学第一轮复习导学案(新高考)第04讲不等式及性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第04讲不等式及性质(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了两个实数比较大小的依据，不等式的性质，常见的结论，两个重要不等式等内容，欢迎下载使用。

1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔
(2)a－b＝0⇔ .
(3)a－b＜0⇔ .
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔ ；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ ；
(3)可加性：a>b⇔ ；a>b，c>d⇒ ；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ ;
a>b>0，c>d>0⇒ ；  c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)04、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
1、【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3、若a>1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式2、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用；
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
(2) 若a＝ eq \f(ln 2,2)，b＝ eq \f(ln 3,3)，则a______b；(填“＞”或“＜”)
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与 eq \f(3,1－a)的大小．
变式1、已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
变式2、设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1变式1、 (1) 已知－1(2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(3) 已知1≤lg (xy)≤4，－1≤lg eq \f(x,y)≤2，求lg eq \f(x2,y)的取值范围．
方法总结：求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围
1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
A．EQ \F(1,a)＜EQ \F(1,b) B．a2＞b2 C．EQ \F(a,c\S(2)＋1)＞EQ \F(b,c\S(2)＋1) D．a|c|＞b|c|
2、（2021·广州市第一中学高三月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)
若a>b>0，则一下几个不等式中正确的是（ ）
A. B. lg> C. D. 2->
4、（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）（多选题）已知a，b，c均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·广东佛山·模拟预测）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
6、（2022·广东·华南师大附中三模）（多选题）如果aA．B．C．D．
7、已知－18、若α，β满足－eq \f(π,2)<α<βA．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－eq \f(3π,2)<2α－β第04讲 不等式及性质
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c⇒aeq \a\vs4\al(>)c；
(3)可加性：a>b⇔a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；  c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒aneq \a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒eq \r(n,a)eq \a\vs4\al(>) eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)04、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
1、【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
2、（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，取，，则，A错误；
对于B，取，，则，B错误；
对于C，取，，则，C错误；
对于D，因，则，即，D正确．
故选：D
3、若a>1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
【答案】 B
【解析】由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，
即2a>a＋1，
∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝lgax在定义域上单调递增，
∴m>p>n.
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】对选项A，设，，，满足，
此时不满足，故A错误；
对选项B，因为，且，所以，故B正确.
对选项C，设，，，满足，
此时，，不满足，故C错误；
对选项D，因为，所以，，
所以，故D正确.
故选：BD
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
变式2、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
【答案】BC
【解析】
若，，则，故A错；
若，，则，化简得，故B对；
若，则，又，则，故C对；
若，，，，则，，，故D错；
故选：BC．
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
【答案】BC
【解析】
对于A，因为，所以，，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，当且仅当即时取等号，因为，所以取不到等号，所以的最小值不为4，所以D错误，
故选：BC
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用；
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
【答案】 M>N
【解析】 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1).因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.
(2) 若a＝ eq \f(ln 2,2)，b＝ eq \f(ln 3,3)，则a______b；(填“＞”或“＜”)
【答案】 ＜
【解析】 易知a，b都是正数，
eq \f(b,a)＝ eq \f(2ln 3,3ln 2)＝lg89＞1，所以b＞a.
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与 eq \f(3,1－a)的大小．
【解析】 a＋2－ eq \f(3,1－a)＝ eq \f(－a2－a－1,1－a)＝ eq \f(a2＋a＋1,a－1).
因为a2＋a＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)>0，
所以当a>1时，a＋2> eq \f(3,1－a)；
当a<1时，a＋2< eq \f(3,1－a).
变式1、已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
【答案】 M>N
【解析】
方法一 M－N＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)－eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021＋1e2 023＋1－e2 022＋12,e2 022＋1e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021＋e2 023－2e2 022,e2 022＋1e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021e－12,e2 022＋1e2 023＋1)>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝eq \f(ex＋1,ex＋1＋1)
＝eq \f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq \f(1,e)＋eq \f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
变式2、设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
解法一(作差法)：
eq \f(a2－b2,a2＋b2)－eq \f(a－b,a＋b)＝
＝．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以>0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0．
所以eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝＝eq \f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1．
所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1【解析】 因为－1【答案】 (－4，2) (1，18)
变式1、 (1) 已知－1(2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(3) 已知1≤lg (xy)≤4，－1≤lg eq \f(x,y)≤2，求lg eq \f(x2,y)的取值范围．
【解析】 (1) 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，))
即3x＋2y＝ eq \f(5,2)(x＋y)＋ eq \f(1,2)(x－y).
因为－1所以－ eq \f(5,2)< eq \f(5,2)(x＋y)<10，1< eq \f(1,2)(x－y)< eq \f(3,2)，
所以－ eq \f(3,2)< eq \f(5,2)(x＋y)＋ eq \f(1,2)(x－y)< eq \f(23,2)，
即－ eq \f(3,2)<3x＋2y< eq \f(23,2)，
故3x＋2y的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).
(2) 由题意，知f(－1)＝a－b，
f(1) ＝a＋b，f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3，))
所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).
因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤f(－2)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10].
(3) 由1≤lg (xy)≤4，－1≤lg eq \f(x,y)≤2，
得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2.
又lg eq \f(x2,y)＝2lg x－lg y＝ eq \f(1,2)×(lg x＋lg y)＋ eq \f(3,2)×(lg x－lg y)，
所以－1≤lg eq \f(x2,y)≤5，
故lg eq \f(x2,y)的取值范围是[－1，5].
方法总结：求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围
1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
A．EQ \F(1,a)＜EQ \F(1,b) B．a2＞b2 C．EQ \F(a,c\S(2)＋1)＞EQ \F(b,c\S(2)＋1) D．a|c|＞b|c|
【答案】C
【解析】由题意可知， 若a＞0＞b，则EQ \F(1,a)＞EQ \F(1,b)，故选项A错误；若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，故选项B错误；因为a＞b，且EQ \F(1,c\S(2)＋1)＞0，所以EQ \F(a,c\S(2)＋1)＞EQ \F(b,c\S(2)＋1)，故选项C正确；若c＝1，则选项D错误；综上，答案选C．
2、（2021·广州市第一中学高三月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，故A正确；
若，，满足，但此时，故B错；
因为，由不等式的可开方性，可得，故C正确；
因为函数为增函数，由可得，故D正确.
故选：B.
3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)
若a>b>0，则一下几个不等式中正确的是（ ）
A. B. lg> C. D. 2->
【答案】BCD
【解析】A.因为，，故错误；
B.，故正确；
C.，故正确；
D.，，所以，所以，故正确.
故选：BCD.
4、（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）（多选题）已知a，b，c均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，取特殊值，满足，但，故A不正确；
对于B，因为a，b，c均为非零实数，且，所以，所以，故B正确；
对于C，取特殊值，满足非零实数，此时，但，故C不正确；
对于D，因为a，b，c均为非零实数，且，所以，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BD.
5、（2022·广东佛山·模拟预测）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AD
【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
6、（2022·广东·华南师大附中三模）（多选题）如果aA．B．C．D．
【答案】BD
【解析】取，则，，故AC不正确；
因为，所以，故B正确；
因为，所以，故D正确.
故选：BD
7、已知－1【答案】 (－4,2) (1,18)
【解析】 ∵－1∴－3<－y<－2，
∴－4由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
8、若α，β满足－eq \f(π,2)<α<βA．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－eq \f(3π,2)<2α－β【答案】C
【解析】：∵－eq \f(π,2)<α∵－eq \f(π,2)<β∴－eq \f(3π,2)<2α－β又α－β<0，α故－eq \f(3π,2)<2α－β

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