高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.6对数与对数函数(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.6对数与对数函数(讲)原卷版+解析，共25页。

1．对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②； = 3 \* GB3 ③；
（3）对数恒等式algaN＝N
2.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
= 3 \* GB3 ③lgaab＝b(a>0，且a≠1)
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
3.反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【考点分类剖析】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例1】（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三其他模拟）已知实数，，满足，，，则（ ）
A．2B．1C．D．
2.【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【易错提醒】
(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现lg212＝lg2[(－3)×(－4)]＝lg2(－3)＋lg2(－4)的错误．
(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点二 ：对数函数的概念与图象
【典例3】（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2020·上海高一课时练习）函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例5】（2021·浙江金华市·高三期末）在同直角坐标系中，与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2. (1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
4．对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,05．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
【变式探究】
1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数y=ax2+bx与y=lgbax (ab≠0,a≠b)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点三 ：对数函数的性质及应用
【典例6】（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））设，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数 则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【典例10】【多选题】（2021·山东日照市·高三二模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数的定义域为 ．
【典例12】（2021·浙江高三专题练习）已知函数，则单调递增区间为__________；若函数在区间上单调，则a的取值范围为__________．
【易错提醒】
解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.
【变式探究】
1.（2018·全国高考真题（理））设，，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·浙江高三其他模拟）如图为函数）的部分图象，已知的定义域为，，若，则的取值范围为______．
【总结提升】
1.解对数不等式的类型及方法
（1）形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
（2）形如lgax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
新课程考试要求
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象、数学运算（例1.2等）、逻辑推理（例）、直观想象（例3.4.5）等核心数学素养.
考向预测
1.对数运算；
2.对数函数的图象和性质及其应用；
3.除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.常常与指数函数的性质结合考查对数函数图象和性质的应用，如比较函数值的大小、探究函数的图象等.
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
专题3.6 对数与对数函数
【知识清单】
1．对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②； = 3 \* GB3 ③；
（3）对数恒等式algaN＝N
2.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
= 3 \* GB3 ③lgaab＝b(a>0，且a≠1)
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
3.反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【考点分类剖析】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例1】（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由指数与对数关系可表示出，根据对数运算法则化简可求得结果.
【详解】
由得：，
.
故选：B.
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【答案】A
【解析】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三其他模拟）已知实数，，满足，，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【解析】
先利用指数式与对数式的互化关系表示出，，，进而得到，，，再根据换底公式和对数的运算法则即可得结果．
【详解】
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴ ．
故选：C
2.【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】
先判断，即可判断A； 利用判断B；利用B的结论判断C；利用C的结论判断D.
【详解】
因为，所以，即A不正确；
因为，所以，即B正确；
由可知，，C正确；
由可知，，则，即D正确．
故选：BCD.
【易错提醒】
(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现lg212＝lg2[(－3)×(－4)]＝lg2(－3)＋lg2(－4)的错误．
(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点二 ：对数函数的概念与图象
【典例3】（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【典例4】（2020·上海高一课时练习）函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.
当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.
故选：C
【典例5】（2021·浙江金华市·高三期末）在同直角坐标系中，与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
利用函数的单调性排除选项，以及根据函数的图象判断，再利用函数的对称性排除选项.
【详解】
函数的单调性与的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中，，当时，，即，
而关于点对称，因为，故排除D.
故选：A
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2. (1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
4．对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,05．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
【变式探究】
1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数y=ax2+bx与y=lgbax (ab≠0,a≠b)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
对于A、B两图，|ba|＞1 ，而ax2+bx=0的两根为0和−ba ，且两根之和为−ba，由图知0＜−ba＜1得-1＜ba＜0，矛盾，
对于C、D两图，0＜|ba|＜1，在C图中两根之和−ba＜-1，即ba＞1矛盾，C错，D正确．
故选：D．
2．（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
讨论、确定的单调性和定义域、在y轴上的截距，再讨论、，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】
当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.
当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.
∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
3．（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
讨论、确定的单调性和定义域、在y轴上的截距，再讨论、，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】
当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.
当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.
∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
【总结提升】
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点三 ：对数函数的性质及应用
【典例6】（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【典例7】（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
根据指数运算与对数运算得，，，再根据即可判断，进而得答案.
【详解】
因为，
，，
所以，即
所以
故选：A
【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数 则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
【典例9】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
为偶函数.
，
，.
在单调递减，，即.
故选：.
【典例10】【多选题】（2021·山东日照市·高三二模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确.
【详解】
对A，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，
所以，所以，故A正确；
对B，由A知，函数在上单调递减，因为，所以，
所以，即，即，
所以，所以，故B正确：
对C选项，当时，，故C错：
对D，
因为，所以，，，
，
所以，即，故D正确.
故选：ABD
【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
由题意可知，解得．
【典例12】（2021·浙江高三专题练习）已知函数，则单调递增区间为__________；若函数在区间上单调，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
根据复合函数单调性和函数定义域得到单调增区间；根据函数的奇偶性和单调性得到或，解得答案.
【详解】
，函数的定义域满足，解得或．函数单调递减，的单调减区间为，
故单调递增区间为．
函数为偶函数，定义域满足，解得或．
当时，单调递增，单调递减，故单调递减，
当时，单调递减，单调递减，故单调递增，
又函数在区间上单调，
则，解得，或，无解．
故．
故答案为：；．
【易错提醒】
解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.
【变式探究】
1.（2018·全国高考真题（理））设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
求出，得到的范围，进而可得结果.
详解：.
,即
又
即
故选B.
2.（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【解析】
因为与都是上的增函数，
所以是上的增函数，
又因为
所以等价于，
由，知,
当时，在上单调递减，故，从而；
当时，在上单调递增，故，从而，
综上所述， 的取值范围是或，故选C.
3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，
则，
即，解得：，
即a的取值范围为；
故选：C．
4.（2021·浙江高三其他模拟）如图为函数）的部分图象，已知的定义域为，，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
由已知条件推出为偶函数，然后由的部分图象得到，函数在上单调递增，从而将转化为即可得解．
【详解】
由题意知，所以为偶函数．
由的部分图象知，且函数在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即：，解得：．
故答案为：
【总结提升】
1.解对数不等式的类型及方法
（1）形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
（2）形如lgax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
新课程考试要求
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象、数学运算（例1.2等）、逻辑推理（例）、直观想象（例3.4.5）等核心数学素养.
考向预测
1.对数运算；
2.对数函数的图象和性质及其应用；
3.除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.常常与指数函数的性质结合考查对数函数图象和性质的应用，如比较函数值的大小、探究函数的图象等.
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数