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高考数学一轮复习(新教材新高考)第01讲三角函数概念与诱导公式专项练习(学生版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习(新教材新高考)第01讲三角函数概念与诱导公式专项练习(学生版+解析)，共60页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，96等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·浙江嘉兴·统考二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
考点二、三角函数求值问题综合
1．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．（全国·高考真题）若则在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D．第二、四象限
3．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
1．（北京·高考真题）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
2．（全国·高考真题）若，且，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
4．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
5．（2023·山东青岛·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三、三角函数值的大小比较
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2023·上海·高三考试）的大小关系为
A．B．
C．D．
3．（全国·高考真题）设则
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·河南信阳·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（=天津·高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
考点四、同角三角函数的基本关系
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2020·全国·统考高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
1．（2023·广东潮州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 .
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考点五、诱导公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
2．（湖北·高考真题）（ ）
A．B．
C．D．
3．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
1．（全国·高考真题）化简的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（浙江·高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（湖北·高考真题）的值为 ．
4．（上海·高考真题）已知，且是第四象限的角，则
5．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
1．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南开封·统考三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川凉山·三模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
三、填空题
10．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知角的终边经过点，且，则 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．6
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
8．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为 ．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）由，可求得 .
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题）方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
4．（上海·高考真题）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（北京·高考真题）已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（全国·高考真题）设θ是第二象限的角，则必有（ ）
A．B．C．D．
7．（全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角
二、多选题
8．（全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
三、填空题
9．（上海·高考真题）若，则 ．
四、双空题
10．（2023·北京·统考高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
第01讲 三角函数概念与诱导公式
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，依题意，，且，解得，
而圆台的母线长，因此圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：C
2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：.
故选：A.
4．（2023·浙江嘉兴·统考二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
【答案】B
【分析】利用圆心角所对应的弧长是即可求解.
【详解】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故选：B.
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.
【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.
由已知可得，，所以.
如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有，所以.
所以圆台的侧面积为.
故选：C.
考点二、三角函数求值问题综合
1．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
2．（全国·高考真题）若则在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D．第二、四象限
【答案】A
【分析】先确定每个函数在各个象限的符号，进一步判断即可得出答案.
【详解】因为在第一、二象限为正，第三、四象限为负；在第一、四象限为正，第二、三象限为负.而，所以在第一、三象限.
故选：A.
3．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义求得，根据题意得到射线为角的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得和的值，进而求得点的坐标，得到答案.
【详解】因为，可得，由三角函数的定义，可得，
又由绕原点将顺时针旋转，可得且射线为角的终边，
所以，
，所以点的坐标为.
故选：B.
5．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
1．（北京·高考真题）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
【答案】C
【详解】∵，
∴ 当csθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当csθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，
故选C．
2．（全国·高考真题）若，且，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
3．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
4．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
5．（2023·山东青岛·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以终边经过的点为，
所以终边在第四象限，所以.
故选：B.
考点三、三角函数值的大小比较
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可.
【详解】由题图，，，，而，
所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，，.
故选：D
2．（2023·上海·高三考试）的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
单位圆中，，，故选A.
3．（全国·高考真题）设则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．
解：∵a=sin33°，b=cs55°=sin35°，
∴a＜b，
又，
∴c＞b＞a．
故选C．
考点：不等式比较大小．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【详解】先证明：当0＜x＜时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以
所以，即
故选：C．
1．（2022·河南信阳·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取，然后可得出答案.
【详解】因为，所以可取
因为，所以
故选：C
【点评】特殊值法是做选择题时常用方法.
2．（=天津·高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
3．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用时，判断的大小，由余弦函数性质判断大小可得．
【详解】考虑在时，．所以，即，从而，即；又，即，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为在上单调递增，,知道，再由，即可得的出答案．
【详解】解：因为在上单调递增，,所以，而，，故选C.
【点睛】本题考查利用正弦函数单调性判断大小，属于基础题．
考点四、同角三角函数的基本关系
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2020·全国·统考高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
4．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
1．（2023·广东潮州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为，解得，
所以，.
故选：A.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
3．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公式求得的值.
【详解】解：①，
由于代入①，得：，
由于，所以，故，
所以.
故选：C.
考点五、诱导公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
2．（湖北·高考真题）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将大角化小角，则，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.
【详解】由，
所以
则
故选：B
【点睛】本题考查正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属基础题.
3．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.
1．（全国·高考真题）化简的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.
【详解】
故选：D
2．（浙江·高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角，进而可求得结果.
【详解】由得，又，，，
故选：A.
3．（湖北·高考真题）的值为 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式转化即可.
【详解】，故答案为.
【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.
4．（上海·高考真题）已知，且是第四象限的角，则
【答案】.
【分析】由平方关系求得，进而由诱导公式可求得结果.
【详解】且是第四象限角，，故.
故答案为：.
5．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.
【详解】因为，则
,
故选:D．
【基础过关】
1．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义结合，即可判断.
【详解】设，则.
因为，所以，所以同号，且，则ABD错误.
故选：C
2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由单位圆可知，，且为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得，
所以，
所以.
故选：D
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求，再将目标式化为齐次式求解即可.
【详解】由已知得：，所以.
故选：A
4．（2023·河南开封·统考三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.
【详解】由题意得，所以.故选：B.
5．（2023·四川凉山·三模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点坐标作出终边，根据三角函数定义求出和，把化简再求值即可.
【详解】由题意知，，所以，，
因为
.
故选：C.
6．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，借助于诱导公式，即可求得结果．
【详解】，
的值为，
故选：
7．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.
【详解】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故选：B.
8．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.
【详解】设圆锥母线长，底面圆半径，
，所以，
圆锥表面积，扇形面积，
所以.
故选：D
二、多选题
9．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.
【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．
由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．
当时，，，所以C错误．
反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．
故选：AD．
三、填空题
10．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知角的终边经过点，且，则 ．
【答案】/0.96
【分析】根据三角函数的定义列出求解出，得到，结合诱导公式和正弦二倍角公式即可计算得到答案.
【详解】由题意知，，，
所以，
化简得
解得或
又因为，即，所以，
所以角的终边经过点，所以，
所以．
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：B.
2．（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.
故选：A.
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
【答案】D
【分析】由条件结合平方关系及二倍角公式可求，根据商的关系和二倍角公式及诱导公式化简，代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，即
又，
所以，
故选：D.
4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算计算可得.
【详解】
.
故选：A
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出正n边形的面积、正边形的面积为，由可得答案.
【详解】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
故选：B.
6．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，，得到，再构造函数，比较出，得到结论.
【详解】，
，，
下证时，，
设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点D，
单位圆与轴正半轴交于点，过点作⊥轴，交射线于点，连接，
则，
设扇形的面积为，因为，
所以，即，
故，所以，，
所以，
因为，令，，
则，其中，
令，则，，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以，即，
则
因为，
令，，
则，令，
则，令，
则，令，
则在上恒成立，
所以在单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
又，故，即，
故，
其中，
则，D正确.
故选：D
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，，
，
，
，
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先由化简得到，然后结合可求出，进而可求解.
【详解】因为，所以有，所以得到，
又，所以，可得且为第一象限角，
故，故A不正确，B正确；
又，故，所以，，故C正确；
由，，知，故D不正确．
故选：BC.
8．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.
【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
所以，
，
因为，所以，故，
综上：，A正确，B错误；
令，，则，
当时，，故在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故，
故，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.
三、填空题
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.
故答案为：或
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）由，可求得 .
【答案】
【分析】由题意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
，
或（舍．
故答案为：．
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
选C
2．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简计算即可.
【详解】
，
故选：B
3．（全国·高考真题）方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将原式配方得，解出的值，写出值即可.
【详解】原方程可化为,即,.
故选：C.
4．（上海·高考真题）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.
【详解】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
5．（北京·高考真题）已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设得，即可确定范围，进而求，即可得答案.
【详解】由题设，故为第二象限角，且，
所以且，故，而大小不定.
故选：B
6．（全国·高考真题）设θ是第二象限的角，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过变形得可判断AB；由θ是第二象限的角得，通过来判断CD.
【详解】
θ是第二象限的角，，
即，
，A正确，B错误;
θ是第二象限的角，即
当时，，
可得，D错误；
当时，，
可得，C错误；
故选：A.
7．（全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角
【答案】B
【分析】由是第二象限角，有，结合，即可求的范围，进而确定其所在象限.
【详解】因为
，
所以，即，
∵是第二象限角，故，，
∴，，
所以此时可能在第一象限角，也可能在第三象限角
又，
∴，.
所以在第三象限角
故选：B.
二、多选题
8．（全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
【答案】CD
【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，
此时，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，
∴，故B错；
如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，
∴，故C正确；
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
9．（上海·高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值，再利用余弦两角和公式化简，把得到的，代入即可．
【详解】解：若，
故答案为：.
四、双空题
10．（2023·北京·统考高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
三角函数求值
余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分
特殊角的三角函数值
由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分
正、余弦齐次式的计算
三角函数求值
二倍角的正弦公式
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数
是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
度
弧度
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
三角函数求值
余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分
特殊角的三角函数值
由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分
正、余弦齐次式的计算
三角函数求值
二倍角的正弦公式
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数
是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
度
弧度
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·浙江嘉兴·统考二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
考点二、三角函数求值问题综合
1．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．（全国·高考真题）若则在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D．第二、四象限
3．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
1．（北京·高考真题）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
2．（全国·高考真题）若，且，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
4．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
5．（2023·山东青岛·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三、三角函数值的大小比较
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2023·上海·高三考试）的大小关系为
A．B．
C．D．
3．（全国·高考真题）设则
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·河南信阳·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（=天津·高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
考点四、同角三角函数的基本关系
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2020·全国·统考高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
1．（2023·广东潮州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 .
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考点五、诱导公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
2．（湖北·高考真题）（ ）
A．B．
C．D．
3．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
1．（全国·高考真题）化简的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（浙江·高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（湖北·高考真题）的值为 ．
4．（上海·高考真题）已知，且是第四象限的角，则
5．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
1．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南开封·统考三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川凉山·三模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
三、填空题
10．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知角的终边经过点，且，则 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．6
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
8．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为 ．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）由，可求得 .
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题）方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
4．（上海·高考真题）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（北京·高考真题）已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（全国·高考真题）设θ是第二象限的角，则必有（ ）
A．B．C．D．
7．（全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角
二、多选题
8．（全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
三、填空题
9．（上海·高考真题）若，则 ．
四、双空题
10．（2023·北京·统考高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
第01讲 三角函数概念与诱导公式
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，依题意，，且，解得，
而圆台的母线长，因此圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：C
2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：.
故选：A.
4．（2023·浙江嘉兴·统考二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
【答案】B
【分析】利用圆心角所对应的弧长是即可求解.
【详解】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故选：B.
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.
【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.
由已知可得，，所以.
如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有，所以.
所以圆台的侧面积为.
故选：C.
考点二、三角函数求值问题综合
1．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
2．（全国·高考真题）若则在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D．第二、四象限
【答案】A
【分析】先确定每个函数在各个象限的符号，进一步判断即可得出答案.
【详解】因为在第一、二象限为正，第三、四象限为负；在第一、四象限为正，第二、三象限为负.而，所以在第一、三象限.
故选：A.
3．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义求得，根据题意得到射线为角的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得和的值，进而求得点的坐标，得到答案.
【详解】因为，可得，由三角函数的定义，可得，
又由绕原点将顺时针旋转，可得且射线为角的终边，
所以，
，所以点的坐标为.
故选：B.
5．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
1．（北京·高考真题）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
【答案】C
【详解】∵，
∴ 当csθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当csθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，
故选C．
2．（全国·高考真题）若，且，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
3．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
4．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
5．（2023·山东青岛·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以终边经过的点为，
所以终边在第四象限，所以.
故选：B.
考点三、三角函数值的大小比较
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可.
【详解】由题图，，，，而，
所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，，.
故选：D
2．（2023·上海·高三考试）的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
单位圆中，，，故选A.
3．（全国·高考真题）设则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．
解：∵a=sin33°，b=cs55°=sin35°，
∴a＜b，
又，
∴c＞b＞a．
故选C．
考点：不等式比较大小．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【详解】先证明：当0＜x＜时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以
所以，即
故选：C．
1．（2022·河南信阳·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取，然后可得出答案.
【详解】因为，所以可取
因为，所以
故选：C
【点评】特殊值法是做选择题时常用方法.
2．（=天津·高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
3．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用时，判断的大小，由余弦函数性质判断大小可得．
【详解】考虑在时，．所以，即，从而，即；又，即，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为在上单调递增，,知道，再由，即可得的出答案．
【详解】解：因为在上单调递增，,所以，而，，故选C.
【点睛】本题考查利用正弦函数单调性判断大小，属于基础题．
考点四、同角三角函数的基本关系
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2020·全国·统考高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
4．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
1．（2023·广东潮州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为，解得，
所以，.
故选：A.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
3．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公式求得的值.
【详解】解：①，
由于代入①，得：，
由于，所以，故，
所以.
故选：C.
考点五、诱导公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
2．（湖北·高考真题）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将大角化小角，则，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.
【详解】由，
所以
则
故选：B
【点睛】本题考查正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属基础题.
3．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.
1．（全国·高考真题）化简的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.
【详解】
故选：D
2．（浙江·高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角，进而可求得结果.
【详解】由得，又，，，
故选：A.
3．（湖北·高考真题）的值为 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式转化即可.
【详解】，故答案为.
【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.
4．（上海·高考真题）已知，且是第四象限的角，则
【答案】.
【分析】由平方关系求得，进而由诱导公式可求得结果.
【详解】且是第四象限角，，故.
故答案为：.
5．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.
【详解】因为，则
,
故选:D．
【基础过关】
1．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义结合，即可判断.
【详解】设，则.
因为，所以，所以同号，且，则ABD错误.
故选：C
2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由单位圆可知，，且为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得，
所以，
所以.
故选：D
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求，再将目标式化为齐次式求解即可.
【详解】由已知得：，所以.
故选：A
4．（2023·河南开封·统考三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.
【详解】由题意得，所以.故选：B.
5．（2023·四川凉山·三模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点坐标作出终边，根据三角函数定义求出和，把化简再求值即可.
【详解】由题意知，，所以，，
因为
.
故选：C.
6．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，借助于诱导公式，即可求得结果．
【详解】，
的值为，
故选：
7．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.
【详解】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故选：B.
8．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.
【详解】设圆锥母线长，底面圆半径，
，所以，
圆锥表面积，扇形面积，
所以.
故选：D
二、多选题
9．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.
【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．
由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．
当时，，，所以C错误．
反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．
故选：AD．
三、填空题
10．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知角的终边经过点，且，则 ．
【答案】/0.96
【分析】根据三角函数的定义列出求解出，得到，结合诱导公式和正弦二倍角公式即可计算得到答案.
【详解】由题意知，，，
所以，
化简得
解得或
又因为，即，所以，
所以角的终边经过点，所以，
所以．
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：B.
2．（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.
故选：A.
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
【答案】D
【分析】由条件结合平方关系及二倍角公式可求，根据商的关系和二倍角公式及诱导公式化简，代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，即
又，
所以，
故选：D.
4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算计算可得.
【详解】
.
故选：A
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出正n边形的面积、正边形的面积为，由可得答案.
【详解】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
故选：B.
6．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，，得到，再构造函数，比较出，得到结论.
【详解】，
，，
下证时，，
设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点D，
单位圆与轴正半轴交于点，过点作⊥轴，交射线于点，连接，
则，
设扇形的面积为，因为，
所以，即，
故，所以，，
所以，
因为，令，，
则，其中，
令，则，，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以，即，
则
因为，
令，，
则，令，
则，令，
则，令，
则在上恒成立，
所以在单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
又，故，即，
故，
其中，
则，D正确.
故选：D
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，，
，
，
，
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先由化简得到，然后结合可求出，进而可求解.
【详解】因为，所以有，所以得到，
又，所以，可得且为第一象限角，
故，故A不正确，B正确；
又，故，所以，，故C正确；
由，，知，故D不正确．
故选：BC.
8．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.
【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
所以，
，
因为，所以，故，
综上：，A正确，B错误；
令，，则，
当时，，故在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故，
故，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.
三、填空题
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.
故答案为：或
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）由，可求得 .
【答案】
【分析】由题意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
，
或（舍．
故答案为：．
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
选C
2．（全国·高考真题）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简计算即可.
【详解】
，
故选：B
3．（全国·高考真题）方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将原式配方得，解出的值，写出值即可.
【详解】原方程可化为,即,.
故选：C.
4．（上海·高考真题）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.
【详解】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
5．（北京·高考真题）已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设得，即可确定范围，进而求，即可得答案.
【详解】由题设，故为第二象限角，且，
所以且，故，而大小不定.
故选：B
6．（全国·高考真题）设θ是第二象限的角，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过变形得可判断AB；由θ是第二象限的角得，通过来判断CD.
【详解】
θ是第二象限的角，，
即，
，A正确，B错误;
θ是第二象限的角，即
当时，，
可得，D错误；
当时，，
可得，C错误；
故选：A.
7．（全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角
【答案】B
【分析】由是第二象限角，有，结合，即可求的范围，进而确定其所在象限.
【详解】因为
，
所以，即，
∵是第二象限角，故，，
∴，，
所以此时可能在第一象限角，也可能在第三象限角
又，
∴，.
所以在第三象限角
故选：B.
二、多选题
8．（全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
【答案】CD
【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，
此时，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，
∴，故B错；
如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，
∴，故C正确；
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
9．（上海·高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值，再利用余弦两角和公式化简，把得到的，代入即可．
【详解】解：若，
故答案为：.
四、双空题
10．（2023·北京·统考高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
三角函数求值
余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分
特殊角的三角函数值
由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分
正、余弦齐次式的计算
三角函数求值
二倍角的正弦公式
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数
是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
度
弧度
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
三角函数求值
余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分
特殊角的三角函数值
由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分
正、余弦齐次式的计算
三角函数求值
二倍角的正弦公式
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数
是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
度
弧度
0
0
1
0
0
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